Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Chủ đề 9:
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VÀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
I- TỔNG QUAN CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng toán: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ TOẠ ĐỘ NGUYÊN
Phương pháp: Thông thường, ta gặp dạng toán này đối với hàm nhất biến và hàm hữu tỷ.
ax b
+ Với hàm số y
, ad bc .
cx d
ax b a
bc ad
1
bc ad
.
Phân tích: y
a
cx d
c c cx d c
cx d
Gọi M x 0 ; y0 C có toạ độ nguyên, khi đó:
cx
d
ax 2 bx c
+ Với hàm số y
, aa ' 0 .
a ' x b '
2
a ' c b ' a ' b b ' a
ax 2 bx c
1
.
2 a.a ' x a ' b ab '
Phân tích: y
a ' x b '
a ' x b '
a
a
a
'
x
b
'
chọn được x 0, y 0 .
2
a ' c b ' a ' b b ' a
a
.
1
ax 0 by 0 c
a 2 b2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Đặc biêt: : x a 0 d M 0; x 0 a và : y b 0 d M 0 ; y0 b .
Ox d M 0 ;Ox y0 và Oy d M 0 ;Oy x 0
Lưu ý: Sử dụng các BĐT, phương pháp đạo hàm để giải các bài toán cực trị.
Dạng toán:
CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐỐI XỨNG
Phương pháp: Điểm M x 0 ; y0 .
+ Điểm đối xứng với M qua Ox là: M1 x 0 ; y0 .
+ Điểm đối xứng với M qua Oy là: M 2 x 0 ; y0 .
+ Điểm đối xứng với M qua gốc O là M / x 0 ; y0 .
+ Điểm A, B được gọi là đối xứng với nhau qua I khi thoả mãn đẳng thức trung điểm.
+ Điểm A, B được gọi là đối xứng với nhau qua là đường trung trực của AB.
II- BÀI TẬP MINH HOẠ:
2x 1
Bài tập 1: Cho hàm số y
. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là các số
3x 2 5x 14
Bài tập 2: Cho hàm số y
. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là
6x 1
các số nguyên.
1
1
53
Bài giải: TXĐ: D \
. Ta có y 2x 3
6
4
6
x
1
Điểm M 0 x 0 ; y0 trên đồ thị có tọa độ nguyên
2x 3
6
x
1
6x 1
6
x
1
6x 1 1
6x 1 53
6x 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x 0 y 14
x 9 y 4
Vậy trên đồ thị có 2 điểm có tọa độ nguyên là M1 0;14, M 2 9; 4 .
Bài tập tương tự: Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của mỗi hàm số sau, sao cho toạ độ
của chúng là các số nguyên:
x2
1 2x
3x 2 2
x 2
a) y
b) y
c) y
d) y
2x 1
x 2
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là: M1 1;1 và M 2 4; 6 .
x 2 2x 2
Bài tập 2: Cho hàm số y
C . Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng
x 1
khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
Bài giải:
TXĐ: D R \ 1 .
Ta có: lim y x 1 d1 : x 1 0 là tiệm cận đứng của (C).
x 1
và lim y x 1 0 y x 1 d2 : x y 1 0 là tiệm cận xiên của (C).
x
x 02 2x 0 2
1
Gọi M 0 x 0 ; y0 (C ) y 0
x0 1
x 1
x0 1
x0 1 0
* Khoảng cách từ M đến d1 là h1 x 0 1 .
* Khoảng cách từ M đến d 2 là h2
Khi đó: h1 h2 x 0 1
nên h1 h2 min bằng
4
4
0
2
1
1
2
2
x0 1
x0 1
1
1
2
2 x0 1
x 0
1 y0
42
4
4
2
2
1
1
1
1
Vậy có 2 điểm thỏa y.c.bt là M 1
1;
x
x
tiệm cận xiên của (C).
Ta có:
+ Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là d1
x y 2
2
7
2 x 2
+ Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d 2 x 2
Ta có d1.d 2
7
2 x 2
. x 2
7
2
: hằng số (đ.p.c.m)
Bài tập 3: Cho hàm số y x 3 6x 2 9x 4 C . Tìm trên đồ thị (C) những điểm từ đó
kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị.
Bài giải:
0
x x 0 2x 6 x 0 0
x x 0 6
2
Để từ đM kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị thì điều kiện là:
x 0 6
x 0 x 0 2 y0 2
2
Vậy điểm cần tìm là M 2; 2 .
2
Bài tập 4: Cho hàm số y
x2
C . Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (C) sao cho
x 1
độ dài AB ngắn nhất.
Bài giải: TXĐ: D \ 1 .
Ta có: lim y ; lim y x 1 là tiệm cận đứng của (C).
x 1
x 1
Gọi A x A; yA , B x B ; yB nằm trên hai nhánh của (C) khi:
2
1
2
b
a
2
a 2b2 ab
Theo BĐT Cauchy: a b 2 ab , suy ra:
1
2
4
AB 4ab 2 2 2 8ab 8
ab
ab
ab
4
2 32 , suy ra AB 2 32 8 8 1 2
ab
4
4
4
4
2
2
2
2
Theo BĐT Cauchy: 8ab
Bài tập 1: Cho hàm số y 2x 2 3x 1 có đồ thị (P) và đường thẳng : y x 5 . Tìm
các điểm M P , N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: D .
Gọi M m;2m 2 3m 1 P , N n; n 5 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2
2 m n m 2 2m 3 2 m 2 2m 3
2
2
2
2
2 m 2m 3 2 m 1 2 8 MN 2 2 .
m 1
m 1 M 1; 0
Đẳng thức xảy ra
.
m n m 2 2m 3 0
n 3 N 3; 2
khoảng cách đến đường thẳng : 3x y 6 0 nhỏ nhất.
Bài giải: D .
x 2 4x 5
0
C , x 2 .
Gọi M x 0 ; 0
0
x 0 2
Bài tập 1: Cho hàm số y
Gọi d là khoảng cách từ M đến đường thẳng : 3x y 6 0 .
4x 02 16x 0 17
1
1
2 10
4 x 0 2
Ta có: d M ;
.
x0 2
x0 2
5
10
10
x 3 y 5
0
4
x 1 . Do M cách đều hai trục tọa độ nên
x0 1 0
M nằm trên hai đường thẳng y x hoặc y x , suy ra:
Gọi M x 0 ; y0 (C ) y0 x 0 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyờn KHO ST HM S
x 1 4 x x 3 y 3
0
0
0
0
x0 1
4
x 0 1
x 0 vô nghiệm
x
x0 2
2
2 2
x
2
0
x 0 1
x 1
x0 2 x0 2
x 2 y 1 2
y 0
y0 0
0
0
x 0 2
x0 2
3
3
M, N i xng nhau qua trc tung.
Bi gii: TX: D
Gọi M x1; y1 , N x 2 ; y2 C đối xứng nhau qua Oy. Lúc đó ta có:
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0 3
x1
x 13
11
11
2
y
y
x 1 3x 1 x 12 3x 1
1
2
3
3
3
16
16
16
16
Vậy có 2 cặp điểm thỏa y.c.b.t là M 3; ; N 3; hoặc M 3; ; N 3; .
3
3
3
3
34: Cho hm s y
2x 4
(C). Tỡm trờn th (C) hai im A, B i xng nhau qua
x 1
là trung điểm của đoạn đoạn AB
Gọi I
; 2
2
a 1 b 1
Theo yêu cầu của bài toán ta có
3
3
b a
0
AB
MN
AB
.
MN
0
7
a 1 b 1
2
Vậy A 2; 0 ; B 0; 4 hoặc B 2; 0 ; A 0; 4
a 2
b 0
a 0
b2
Đề 11: (ĐH B-2003) Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3x 2 m có hai điểm phân biệt đối
a b 2.1
a b 2
a b 2
2a 1 2b 1
2a 1 2b 1
ab 8
2. 2
4
a
Có thể trình bày cách khác, thông qua bài tập sau:
x 2 3x 6
Bài tập 7: Tìm trên (C): y
tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua
x 2
1
I ;1 .
2
Bài giải: TXĐ: D \ 2
1
Gọi M x ; y , M ' x '; y ' C , x, x ' 2 và đối xứng nhau qua I ;1 .
2
x x ' 1
x ' 1 x
Khi đó ta có hệ:
M ' 1 x ;2 y .
y
y
x 2 y 4
x2 x 6 0
x 2 3x 6 x 2 x 4
2
x
1;
x
2
x 2
x 1
x 3 y 6
Vậy trên (C) có đúng1 cặp điểm là M 2; 4, M ' 3;6 .
Bài tập 7: Tìm trên (C): y
x2
các điểm A, B đối xứng nhau qua : y x 1
m 1
xA xB
2 .
Khi đó, x A, x B là các nghiệm của (1):
m
x x
2
A B
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x x A x B
A
2
2
+ Với m 1 , ta được: (1) 2x 2 1 0
.
2
2
2
x B
yB
2
2
2 2 2
; B 2 ; 2 2 là các điểm cần tìm.
Vậy A ;
2
2
2
2
Điểm I
Bài tập 4: Xác định k để trên (C): y
xQ yQ k
yQ xQ k
Do đó, P, Q là 2 giao điểm phân biệt của và (C).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và (C):
x 2 2x 2
x k g x 2x 2 k 3 x k 2 0, x 1
x 1
Để tồn tại P, Q thoả yêu cầu bài toán Phương trình g x 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
g 0
k
3
8 k 2 0
k 2 2k 7 0
Ta có: lim y d1 : x 0 là tiệm cận đứng của (C).
x 0
1
1
1
x 0y
x d2 :
x y 0 là tiệm cận xiên của (C).
và lim y
x
3
3
3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
1
Gọi M 0 x 0 ; y0 (C ) y0
x0
3
x0 3
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
3
3
3
x0 3
x0 3
0
Điểm M cách đều 2 đường tiệm cận khi chỉ khi
3
h1 h2
x 0 x 02 3
x0
Vậy có 1 cặp điểm thỏa y.c.b.t là M 1
x 3 y 3
0
0
x 0 3 y 0 3
Bài giải: TXĐ: D \ m
m 2b
2m b
Xét B b;
C AB b;
b m m
m b
Ta có I m; 1 AI m; 2 .
AB
.AI 0
Tam giác ABI vuông cân tại A
2
AB AI 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
11
2
m 2b
m 2b 2
2
2
2
2
m 4 b
m 4 b
2
m b
4
2 m2 b2 4 4 b2 4 0 b2 4 m2 4 0 b2 4 b 2 .
m m 2 3m 4 0
m 2
Bài tập 7: Xác định tất cả những điểm M trên đồ thị C : y
số C tiếp xúc với đường tròn tâm I 1;2 tại M .
2x 2
sao cho đồ thị hàm
x 1
Bài giải: TXĐ: D \ 1
2x 2
.
Cách 1: Giả sử M x 0 ; 0
x 0 1
Phương trình tiếp tuyến tại M : y
hay
4
x
1
2
0
4
Vectơ chỉ phương của đường thẳng : u 1;
2
x 0 1
4
.
Ta có IM x 0 1;
x 0 1
x 3 M 3; 4
16
0 0
Mặt khác u.IM 0 x 0 1
3
x 0 1 M 1; 0
x 0 1
Cách 2: Nhận thấy I 1;2 là tâm của hypebol. Do đó C tiếp xúc với đường tròn tâm I
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x 3
4
.
0
x
1
x0 1
0
Vậy M 3; 4; M 1; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dấu “=” xảy ra x 0 1
Bài tập 7: (ĐH A-2014) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): y
M đến đường thẳng y x bằng
x 2
sao cho khoảng cách từ
x 1
2.
Bài giải: TXĐ: D \ 1
a 2
C : y mx
m
3
3mx 2 2m 1 x 3 m là lớn nhất.
Bài giải: TXĐ: D
Ta có: y ' 3mx 2 6mx 2m 1
C có hai điểm cực trị y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt đồng thời đổi dấu hai lần qua mỗi
m
m 0
nghiệm đó, tức là ta luôn có:
2
3
m
3
m
0
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
Đặt : y 2 2m x 10 m : 2 2m x 3y 10 m 0
3
2m 1
1
Cách 1: d I ;
2
18
6
2 2m 9
1
2
2
m
1
2
m
1
Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên , khi đó d I ; IN IM , do đó
từ I đến bằng IM khi và chỉ khi IM tức
2 2m
5
kIM .k 1
.1 1 m .
3
2
Chú ý: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TOẠ ĐỘ NGẮN NHẤT
khoảng
cách
VỚI HÀM SỐ y
là
ax b
.
cx d
Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này, thể hiện qua các bài tập sau:
Bài tập 1: Tìm trên (C): y
trục toạ độ là nhỏ nhất.
x 1
những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2
x 2
3
TH 1: Xét 0 x d M x y x
.
x
x 1
2
x 2
x 2
x 2
Suy ra: d M d M ,Ox d M ,Oy
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
1
3
3
0; f x
Hàm số f x x 1
, x 0; f / x 1
0,
1
1
2
2
2
x 0;
2
1
x 1
TH 2: Xét x 0 d M x y x
.
2
x 2
x 1
3
x 1
x 2
x 2
1
3
3
Hàm số f x x 1
2
1
; 0 .
2
1
1
, tại điểm M 1 0; .
2
2
1
Vậy điểm cần tìm là M 1 0; .
2
Bài tập 2: Tìm trên (C): y
trục toạ độ là nhỏ nhất.
x 1
những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2
x 1
m 1
m 1
2
Lúc đó: d M d M ,Ox d M ,Oy m
m 1
2
m 1
m 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
2 m 1.
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
2
2 2 2 2 . Vậy min d M 2 2 2 khi m 1
m 1
m 1
m 2 1 M
x 2
sao cho độ dài AB ngắn nhất.
x2 x 1
Bài tập 1: Xác định m để trên (C): y
có 2 điểm P, Q khác nhau thoả mãn
x 1
x P yP m
điều kiện:
.
xQ yQ m
Bài tập 1: Cho hàm số y x 3 3x 2 4 C . Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục
tọa độ.
Bài tập 1: Xác định m để (C): y x 3 m 3 x 2 mx m 5 có 2 điểm đối xứng
nhau qua gốc toạ độ.
Bài tập 1: Xác định m để (C): y x 3 1 m x 2 4 m x 1 có 2 điểm đối xứng
nhau qua gốc toạ độ.
Bài tập 1: Xác định m để (C): y x 3 mx 2 7x 3 có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc
toạ độ.
x 2 4mx 5m
Bài tập 1: Xác định m để (C): y
có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ
x 2
độ.
x 2 mx m 2
Bài tập 1: Xác định m để (C): y
x 1
x 2 3x 4
Bài tập 1: Tìm hai điểm A, B thuộc (C): y
đối xứng nhau qua : y x .
2x 2
IV- TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1) Tuyển tập đề thi ĐH - CĐ toàn quốc
Bộ giáo dục và đào tạo
2) Phương pháp hàm số
Lê Hồng Đức
3) Tuyển tập đề thi thử ĐH trên toàn quốc
4) 18 Chủ đề Giải tích 12
Nguyễn Phú Khánh-Nguyễn Tất Thu
5) Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
NXB Giáo dục Việt Nam
6) Các bài viết chuyên đề từ các website Toán học
P/S: Các bài tập trong tài liệu chưa nhận được sự cho phép của quí thầy cô và các cơ
quan liên quan, nhưng tài liệu biên soạn chỉ với mục đích chia sẽ cho đồng nghiệp và tặng
cho các em học sinh có nguồn tư liệu quí để phục vụ khả năng tự học nên chúng tôi xin phép
các tác giả, xin cảm ơn các tác giả!
Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi sai sót, kính mong quí thầy cô và các em
học sinh đóng góp để các bản update tiếp theo được hoàn thiện hơn! Xin chân thành cám
ơn!
CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO.
Đơn vị công tác: Trường THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế.
Email:
Facebook: Lê Bá Bảo
Số điện thoại: 0935.785.115
Copyright: Tài liệu đại học ©