Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông các điểm đặc biệt trên đồ thị
hàm số (các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định của họ đồ thị, điểm
không đi qua của họ đồ thị,…) là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả những
người học toán và làm toán. Các bài tập này rất phong phú và đa dạng.Vì
vậy các bài toán liên quan đến các điểm đặc biệt của hàm số thường
xuyên có mặt trong các kì thi phổ thông trung học cũng như trong các kì
thi học sinh giỏi và các đề thi đại học cao đẳng.
Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt
và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tuy nhiên đứng trước
một bài toán về các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số thì mỗi người đều
phải có hướng xuất phát riêng của mình. Nói như vậy có nghĩa là có rất
nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán. Điều quan
trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu nhất.Thật là
khó nhưng cùng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết
nó.
Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân cùng với sự hướng
dẫn nhiệt tình của thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực
hiện bài khóa luận của mình với tựa đề: “ Các điểm đặc biệt trên đồ thị
của hàm số”
2. Mục đích nghiên cứu
Nhận dạng và thể hiện là một trong những việc quan trọng trong
quá trình rèn luyện khả năng làm toán của mỗi người. Lời giải của bài
toán sẽ tốt hơn nếu ta xác định được đúng đối tượng.

Đinh Thị Quế



NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị :
Định lý Fecmat: Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục trong (a,b) và
x0 (a,b)
Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì
f’(x0) = 0
Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng. Có hàm số có đạo
hàm f ' x
  = 0 tại xo nhưng không đạt cực trị tại xo (VD y = x3), có hàm
số đạt cực trị tại xo nhưng không có đạo hàm tại xo ( VD y = |x|).
3

Ví dụ: y = x có tập xác định D  □
2

y '= 3x
=>

y ' = 0 khi và chỉ khi x =
0 x > 0 : f(x) > f(0)
x < 0 : f(x) < f(0)

=> f không có cực trị tại x = 0
1.2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
- Dấu hiệu 1:
Cho hàm số y = f x có đạo hàm tại lân cận của điểm x (có thể
 


f ' x không xác định)

Bước 3. Xét dấu

f ' x và kết luận về cực trị của hàm số (nếu có)

2) Qui tắc 2.
Bước 1. Tính f ' x

Bước 2. Giải phương trình

f ' x  = 0, tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,

...) và các điểm x0 trong TXĐ mà y' không xác định.
Bước 3. Tính f ' xi  , xác định dấu và kết luận về cực trị của hàm
số.
4

2

VD. Tìm cực trị của hàm số : y = x - 2x .
Chú ý: Phân tích tính khả dụng của các qui tắc.


1.4. Cực trị của các hàm số thường gặp
y
y

y  ax4  bx2  c

Bước 1: Tập xác định D  □ .
Bước 2: Tính đạo hàm

2
y ' y  f   x  3ax  2bx  c
,

rồi giải phương trình y ' = 0.


Bước 3: Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận.
a>0

a
2

b  3ac



3a
Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu
2

2

tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán
sau đây:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
f  x   1 x  b     2  b 2  

f x  c 
x  d  bc 

3
9a 
3
3a
9a


hay




1

y  f x r x  2 c b

1
3

2

x  d  bc
9a

3a
  x 0 nên y  f  x  r x   2 c b2 x  d  bc
f  
2

2
2
3 3a 2
 2

   

b) Ví dụ
Tìm khoảng tăng giảm và cực trị của hàm số
3

2


-1

y’

+

y

0

3
-

0

+
+

10
-

+
-22

Vậy, ta được:
● Hàm số đồng biến trong các khoảng (–; –1) và (3, +).
● Hàm số nghịch biến trong khoảng (–1, 3).
● Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và giá trị cực đại yCĐ = 10
● Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3 và giá trị cực tiểu yCT = – 22.

  '  0

Hàm số có cực đại cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  
iv.

 a  0
  '  0

Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện

K. Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 

 a  0

  '  0

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức vi-et.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K.
v. Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I
 phương trình (1) có hai nghiệm trong khoảng I.
vi.

Hàm số có cực đại trong khoảng I. Ta xét hai trường hợp:
(1)  2bx  c 


Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I  xCĐ  I.
Tương tự cho trường hợp cực tiểu.
vii.

Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a > 0  
viii.

Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ > xCT

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a < 0  
 y '(x0 )  0
0

 y ''(x0 )  0
 y '(x0 )  0
x. Hàm số đạt cực đại tại x 
0

 y ''(x0 )  0

 a  0
  '  0
 a  0
  '  0

ix . Hàm số đại cực tiểu tai x 

Hệ quả:


y   x  2x  2 m  m  2
2

y  x  x  2  m  m  2 x  3m  1 
2

2

2

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì
 
 y 2  0
 y   2  0

2
     
m  4m  3  0  m 1 m 3 0



2
m  m 1  0
m  m  0

m3

2. Cho
3


Vậy  > 0 a  f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số
có CĐ, CT.
2. Theo Viet ta có: x  x  3sin a  cos a ; x  41  cos 2a
x
x x  x
2

1

2

2

1

1

2

 x  2  2x x
2

1

2

 3sin a  cosa 2  81 cos2a

1

2

(*)

Với điều kiện này thì f  x  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm
số f (x) đạt cực trị tại x1, x2.
Theo định lý Viet ta có: x  x  2m; x x  m
suy ra:
1
2
1 2
2

x1  x 2  8  x1  x2

 64 



x1  x 2

2

 4x1 x2  64

2

 4m  4m  64
 m 2  m 16  0  m 


, 

65

2

c) Bài tập tương tự
1. Tìm m để hàm số
3
2
f  x  1 mx   m 1 x  3 m  2 x  1 , m_tham số thực
3
3
đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn x  2x  1.
1
2
Gợi ý : - Xét điều kiện để hàm số có cực trị
- Áp dụng viet
- Đáp án : m  2  m 

2
3


2. Cho hàm số

3
2
2
f  x  2 x   m  1 x   m  4m  3 x 3


– Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2
– Ta có :
* f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D
=> f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0
*Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0
=> Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : y = Cx + D
b) Ví dụ
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số y  x3  x2  94x  95 .


Giải:
Tập xác định D  □ .
Đạo hàm:
2

2

y '  3x  2x  94  y '  0  3x  2x  94  0  x
1,2

1
 (1 
3

283)

Đó chính là hoành độ điểm cực đại và cực tiểu.
Để xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực



9
9
9
0
0
0
0
3
9
9
● Các điểm cực đại và cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình:
566
761
y 9 x 9 .
Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số có dạng:
566
761
y 9 x 9 .
2. Cho hàm số

y  2x  3 m 1 x  6  m  2 x 1
3

2

(1)


để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.
Giải
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Tập xác định : D  □
- Ta có đạo hàm :
- Xét:

2

y '  x  2mx 1.
2

g(x; m)  x  2mx 1  0

1  '  m2  1  0m  R .

Chứng tỏ hàm số luôn có CĐ,CT .
- Bằng phép chia đa thức :

y

2
2
1 m
2
x
y '  m  1 x  m  1.


3


 

2

 m1
2

3


2

 x21x 2  2  m2  121x x 

 AB 

3

xx
2

1

4

1

 AB  2






- Đặt :
f (t) 
t  m  1  1  AB  2

4 3
t 
t9

2

 g(t) 

4

3

2

t  t; g '(t)  4t  1  0t  1
3
Hàm số g(t) luôn đồng biến . Do đó min g(t)=g(1)=7/3.
- Vậy min AB  2 7
3

2


- Đáp án: nếu a < 0 thì m  3  a ; nếu a  0 thì không tồn tại m
thoả mãn.
2. Tìm m để

f  x  2x  3 m 1 x  6m1  2m x
3

2

có CĐ, CT

nằm trên đường thẳng (d): y  4x.
Gợi ý :
Ta có:

f   x  6 x   m 1 x  m1 2m  0
2



2
g  x  x   m 1 x  m 1 2m  0

- Tìm điều kiện để hàm số có CĐ, CT
- Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
f  x   2x  m  1 g  x  3m  1 2 x  m m 11  2m
 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
y   3m  1 2 x  m  m  11  2m .
- Cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)
- Từ đó suy ra điều kiện của m


c
 xx 
3

1 2
Bước 3 : thực hiện phép chia đa thức y cho y ' được :
y  y '.g(x)  h(x)
 y1  y(x1 )  h(x1 ) & y2  y  x2   h(x2 )
Vậy tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(x1, y1) & B(x2,
y2). Bước 4 : Kiểm tra điều kiện K.
b) Ví dụ
Tìm m để hàm số

f  x  x  3x  m x  m có cực đại, cực tiểu
3

đối xứng nhau qua (): y  1 x  5
2
2
Hàm số có CĐ, CT 

2

2

Giải

f   x  3x  6x  m  0
2

y

1
2
3
3
 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d):

Các
điểm

f   x 2   0 nên

  2  m  3 x  m  m

fx

1

f   x1  

2

2

2

3

2

1

suy ra
 2  m 2  3  1  1
2
3
 m0
m  0
(*)  
2
m
5

 2  m  3 1  2  m  1 1 
m  m  1  0
3
3
2
2
c) Bài tập tương tự
Tìm m để hàm số

f  x  x  3x  m x  m có cực đại, cực tiểu
3

2

2

đối xứng nhau qua (): y  1 x  5

có





 cã

3 nghiÖm
ph©n biÖt

 cã 3 cùc trÞ gåm C§ vµ CT


a>0

Phương trình
y'0

a
x

  ax
0

4

 bx 3  cx 2  dx

0

0

0

 e . Trong trường
0

hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:

Đinh Thị Quế

24

Lớp K35C Toán


Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
f  x   q  x . f   x  



suy ra f

Vậy hàm số có cực tiểu f

CT

CT

= f (2) = –25.

= –25 và không có cực đại.

1.4.2.2 Tìm ĐK để HS có cực trị.
a) Phương pháp chung: Ta
có:
● Tập xác định D  □ .
● Đạo hàm :
y '  4ax3  3bx2  2cx  d, y '  0  4ax3  3bx2  2cx  d  0
i.

Hàm số không có cực trị:
a0


 y' không đổi dấu  b  0 & c  0 & d  0

 b  0 & (1)  0

(1)