Lê Văn Hoàng 17/02/1999

Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số
y=ax4 +bx2 +c và ứng dụng
Lê Văn Hoàng -12A 1 -PT Nguyễn Mộng Tuân
I.Cơ sở lý thuyết
Xét hàm số y=ax4 +bx2 +c (a≠0) trên R .
Ta có y’=4ax3 +2bx=2x(2ax2+b).
’

Suy ra y =0 




x =0
2 ax 2 +b=0 (1)

Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi y’=0
có ba điểm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
ab
2)Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
Ta có ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB=AC=BC  AB2 =BC2

b 4 − 8ab
2b

=
−
<=> b 3 + 24a = 0
2
a
16a
Tính chất 2.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác đều khi và chỉ khi ab 90 
Khi đó ABC là tam giác tù .Vì tam giác ABC cân tại A nên ∠BAC = α .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có
BC2 =AB2 +AC2 -2AB.AC.cos ∠BAC  BC2=2AB2(1-cos α )
2b
b 4 − 8ab
= 2.

a

Tính chất 4. Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị A,B,C thảo mãn
điều kiện =OA (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi ab
4a

Từ tam giác vuông AHC ,ta có :
Sin ∠ACH =

AH AH
=
.
AC
AB

Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABC được
2R=

AB
sin ∠ACH

b 3 − 8a
R=
.
AB 2 b 4 − 8ab 4 a
8
a
b
=
=
. 2 suy ra
2
AH



 m>0
 R = b − 8a ⇔  R = ( −2m) − 8 ⇔ 
m3 + 1
R=


8ab
8(−2m)

2m


1 2 1
Suy ra R= ( m + ) . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ,ta
2
m
có

3 1
33
1
1
1
1
1 1
2.
R= (m 2 +
= .3 =
+

 R = b − 8a ⇔  R = m + 1 .


8ab
2m


m3 + 1
Theo đề bài R=1 suy ra 1=
2m

⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 ⇔ (m − 1)(m 2 + m − 1) = 0
m =1

⇔
− 1 ± 5 đối chiếu với điều kiện m>0 ta được m=1 ,m= − 1 ± 5 .
2
m =
2

Ví dụ 3.Cho hàm số y= x 4 − 2mx 2 + m + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có ột góc bằng 30 
Lời giải : theo tính chất 3 ,đò thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác cân có một góc α = 30  khi và chỉ khi ta có hai trường hợp
sau
• Nếu góc ở đỉnh α = 30  thì
Chúc các bạn thành công !

4


3
b + 8a + (b − 8a) cos 2α = 0

2m < 0

⇔ 3
3

8m +8 +(8m −8) cos 60 = 0

 m