Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y = ax 4 + bx 2 + c VÀ ỨNG DỤNG
Các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong các năm gần đây, chúng ta thường
4
2
gặp câu khảo sát hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) và các vấn đề liên quan đến các điểm cực trị
của đồ thị hàm số này. Để giúp học sinh ôn thi có hiệu quả, bài viết này đưa ra các tính chất
thường gặp của các điểm cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c và một số ứng dụng của nó.

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

4
2
Xét hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) trên ¡ .

x = 0
3
2
Ta có y′ = 4ax + 2bx = 2 x ( 2ax + b ) . Suy ra y′ = 0 ⇔ 
2
 2ax + b = 0 (1)
Ở đây chúng ta chỉ xét trường hợp hay gặp là đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm
cực trị phân biệt.
Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi y′ = 0 có ba
nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ab < 0 (*)
x = 0

Với điều kiện (*) ta có y′ = 0 ⇔ 

2b
b 4 − 8ab
2
2
= 2.
Khi đó BC = AB 2 ⇔ BC = 2 AB ⇔ −
⇔ b 3 + 8a = 0
a
16a 2
Tính chất 1: Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
ab < 0
tam giác vuông khi và chỉ khi  3
.
b + 8a = 0
2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Ta có tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC ⇔ AB 2 = BC 2
b 4 − 8ab
2b
⇔
=−
⇔ b3 + 24a = 0 .
2
16a
a

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

1



Trường hợp 3: α < 900 .
µ =C
µ = α thì µA = 1800 − 2α , suy ra cos A = cos ( 1800 − 2α ) = − cos 2α .
+ Nếu B
·
Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos BAC
2b
b 4 − 8ab
⇔ BC 2 = 2 AB 2 ( 1 + cos 2α ) ⇔ −
= 2.
( 1 + cos 2α ) ⇔ −16a = ( b3 − 8a ) ( 1 + cos 2α )
2
a
16a
3
3
⇔ b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = 0 .
3
3
+ Nếu µA = α thì tương tự trường hợp 1, ta có b + 8a − ( b − 8a ) cos α = 0 .

Tính chất 3. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của
một tam giác cân có một góc α cho trước khi và chỉ khi ab < 0 và
3
3
hoặc b + 8a − ( b − 8a ) cos α = 0 nếu α > 900
hoặc b3 + 8a = 0 nếu α = 900
3
3
µ =C


Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó H

b2 
b2
b2
=
có tọa độ H  0; c − ÷. Suy ra AH = −
.
4a 
4a 4 a

Vậy diện tích tam giác ABC là S ABC

1
2b b 2
1
b5
= BC. AH = . − .
.
= −
2
a 4a
2
32a 3

Tính chất 5. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh
ab < 0

của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi 

=
× 2
16a 2
b
sin ·ACH AH

b3 − 8a
.
8ab

Tính chất 6. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh
ab < 0

b3 − 8a .
của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi 
R
=

8ab


II. ỨNG DỤNG
Ví dụ 1. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2012 khối A và khối A1)
4
2
2
Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m (1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lời giải.
Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC khi
−
ab < 0
m > −1
 2 ( m + 1) < 0
⇔ 2
⇔ 2
và chỉ khi  2
⇔ m = 2±2 2 .
ac
+
2
b
=
0
m
−
4
m
−
4
=
0
m
−
4
m

1 2 1 

⇔
m3 + 1 . Suy ra R =  m + ÷.
2
m
R =
2m

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có
1
1
1  1 3 2 1 1
3 1
3
R =  m2 +
+
.
= . 3 = .3 2 .
÷ ≥ .3. m .
2
2m 2m  2
2m 2m 2 4 4
1
1
3
1
⇔ m3 = ⇔ m = 3 .
Vậy min R = . 3 2 ⇔ m 2 =
2

8ab
8 ( −2m )
2m



m3 + 1
2
Theo đề bài ta có R = 1 , suy ra 1 =
⇔ m3 − 2m + 1 = 0 ⇔ ( m − 1) ( m + m − 1) = 0
2m
m = 1
−1 + 5
⇔
.
 m = −1 ± 5 . Đối chiếu với điều kiện m > 0 ta được m = 1 , m =
2

2
4
2
2
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5

( Cm )

Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 2, đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm

Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có
ab < 0
một góc α = 1200 khi và chỉ khi  3
3
b + 8a − ( b − 8a ) cos α = 0
m > 0
−2m < 0
m > 0

⇔
⇔ 3
⇔
1




3
3
3
0
3
12m − 4 = 0
8m − 8 − ( 8m + 8 ) cos120 = 0
8m − 8 − ( 8m + 8 )  − 2 ÷ = 0



m > 0
m > 0

=
−
S = −

3
3
32a

32.1

m > 0
m > 0
⇔
⇔ 2
⇔ m = 4.

5
2
5
32
=
m
m
=
32


Ví dụ 8. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m − 1 .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một
góc bằng 300 .

0
3
=0
8m + 8 − ( 8m − 8 ) cos30 = 0
8m + 8 − ( 8m − 8 ) .
2

m < 0
m < 0
2

⇔ 3
⇔
2 ⇔ m = −3 2 + 3
3
m = − 2 + 3
 2 − 3 m + 2 + 3 = 0
m < 0
2m < 0
m < 0

⇔ 3
⇔ 3
Và (2) ⇔  3
1
3
0
3
3m + 1 = 0
8m + 8 + ( 8m − 8 ) cos 60 = 0


)

)

III. BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 1 .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
ĐS: m = 3 3
Bài tập 2. Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 + m 2 + m .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
2
1
ĐS: m = 3 2 + 3 hoặc m = 3
300 .
3
4
2
Bài tập 3. Cho hàm số y = 2 x − 2mx − m + 1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo
bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
3
ĐS: min R = ⇔ m = 1
4
4
2
Bài tập 4. Cho hàm số y = 2 x − 2 ( m + 3) x + m + 1 (1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa
độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
ĐS: m = ± 5

7


Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MỤC LỤC
Mở đầu ……………………………………………………………………………..trang 1
I. Cơ sở lý thuyết ……………………………………………………………………….. 1
1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác vuông. ………………………………………………………………. 1
Tính chất 1
2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác đều. …………………………………………………………………. 1
Tính chất 2
3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác cân có một góc α cho trước………………………………………….2
Tính chất 3
4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC = OA
(với O là gốc tọa độ) …………………………………………………………. 2
Tính chất 4
5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác và tính diện tích tam giác đó………………………………………... 2
Tính chất 5
6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC……………… 3
Tính chất 6
II. Ứng dụng
Ví dụ 1……………………………………………………………………………. 3
Ví dụ 2 …………………………………………………………………………… 3

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Xếp loại: .......................................................................
Ngày .........tháng..........năm ...........

PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………
Ngày .........tháng..........năm ...........

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

9