SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM
SỐ BẬC BA.

Người thực hiện: Đỗ Thị Toàn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2017


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1.Một số công thức và quy tắc tính đạo hàm



2.3.3. Các bước áp dụng

7

2.3.4. Bài tập tự luyện

14

2.4. Hiệu quả của SKKN

16

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

17
17
17
18
19
2


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của tôi là những bài toán liên quan đến viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba và
các bài toán liên quan.
Đề tài được áp dụng cho học sinh trung bình và khá của lớp 12A5, 12A7,
năm học 2016 - 2017
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liên quan ,SGK,tài
liệu về cực trị.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm.

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

3


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Để sử dụng được phương pháp này học sinh phải nắm được một số vấn đề
sau đây:
2.1.1. Một số công thức và quy tắc tính đạo hàm.
+ ( c ) ' = 0 (với c là hằng số) [ 3]
n
n −1
+ ( x ) ' = n.x [ 3]


[ 4]
+ ∆1 P∆ 2 ⇔ 
b
≠
b
1 2

+ ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ a1.a2 = −1 [ 4]
a1 = a2
[ 4]
+ ∆1 ≡ ∆ 2 ⇔ 
b
=
b
1 2

+ ∆1 tạo với ∆ 2 một góc α thì tan α =

a1 − a2
, ( α ≠ 900 ) [ 4]
1 + a1.a2

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

4


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ


5


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

 f ' ( x1 ) = 0
+ Gọi x1 ; x2 là hai điểm cực trị của hàm số ,khi đó ta có:  '
 f ( x2 ) = 0
2∆ '
bc

y1 = −
x1 + d −
'

 f ( x1 ) = 0

9a
9a
[ 3]
Do  '
nên hai cực trị của hàm số là 
'
f
(
x
)
=
0

f ( x) =  + ÷ f ' ( x ) + g ( x) ⇔ g ( x) = f ( x ) −  + ÷ f ' ( x )
 3 9a 
 3 9a 
Trong đó g ( x ) là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của
đồ thị hàm số.
x b 3ax + b 6ax + 2b
y"
y"
=
=
=
=
Xét h( x) = +
. [ 1]
3 9a
9a
18a
3.6a 3. y '
Với : f "( x ) = 6ax + 2b;f'''(x) = 6a
Như vậy:
f"(x).f'(x)
y ''. y '
g ( x) = f ( x) −
= y−
[ 1]
3 f '''(x)
3 y '''
Với công thức 2 chúng ta dùng máy tính cầm tay Casio Fx570 tìm
nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số như
sau:

- Kết luận về đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số.
2.3.2. Các bước thực hiện bài toán : " Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,(a ≠ 0)"
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
'
2
+ Tính đạo hàm: y = 3ax + 2bx + c
'
+ Hàm số có hai cực trị khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac > 0
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại ,cực tiểu của
đồ thị hàm số.
Cách 1:
+ Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số A ( x1; y1 ) ,B ( x2 ; y2 ) .
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
x − xA
y − yA
=
[ 4]
Phương trình đường thẳng AB :
xB − x A y B − y A
Cách 2: Áp dụng công thức 1.
'
2
2
+Tính đạo hàm y = 3ax + 2bx + c; ∆ ' = b − 3ac
+ Xác định: a, b, c, d , ∆ '
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

y = qx + p [ 1]
+ Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực hiện các bước tương tự:
y ' y ''
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' ( m gán bằng M)
3y
- Bấm CALC, gán x = i, M = 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)
được kết quả dạng p + qi với p, q là các hằng số được ở dạng lũy thừa của 100.
Thế 100= m để được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại,cực tiểu
của đồ thị hàm số phụ thuộc vào m
- Kết luận về đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số.
Nhận xét:
Tuy nhiên trong các đề thi ta lại thường gặp các bài toán liên quan đến
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số khi đó
chúng ta phải thực hiện thêm bước 3.
Bước 3: Giải các điều kiện liên quan
* Một số điều kiện thường gặp:
Giả sử đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là:
( ∆ ) : y = p + qx
Cho đường thẳng ( ∆ ) : y = k + hx . Khi đó
p = k
'
+ ∆ P∆ ⇔ 
q ≠ h
'
+ ∆ ⊥ ∆ ⇔ pk = −1
p = k
'
+ ∆≡∆ ⇔
q = h

x =1
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1
+ Với x = 1 ⇒ y = −1
x = −1 ⇒ y = 3
+ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 1; −1) ; B ( −1;3)
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
x −1 y +1
=
⇔ y = −2 x + 1
−1 − 1 3 + 1
Đáp án: B
Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8 [ 3] là:
A. y = −6 x + 6
B. y = 6 x − 6
C. y = 6 x + 6
D. y = −6 x − 6
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3x − 6 x − 6
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x − 6 = 0
+ Có ∆ ' = 27 > 0 ,hàm số có hai điểm cực trị.
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = −3; c = −6; d = 8; ∆ ' = 27
2∆ '
bc
2.27
(−3).(−6)

9


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

- Bấm CALC, gán x = i với i là đơn vị số phức (bấm ENG) được kết
quả: 6 − 6i
- Đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số có phương
y = −6 x + 6
trình là:
Đáp án: A
Nhận xét 1:
Ở VD1 ta tính được ∆' là số chính phương nên chúng ta có thể viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách một khá dễ dàng.
Ở VD2 ta tính được ∆' không phải là số chính phương nên việc chúng ta
viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách 1 sẽ khó khăn
hơn, khi đó chúng ta sử dụng cách 2 hoặc cách 3 sẽ thuận lợi hơn rất nhiều.
3
2
Ví dụ 3: Giả sử đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3 ( m + 6 ) x + 1 có hai điểm cực trị.
Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
2
2
2
A. y = 2 x + m + 6m + 1
B. y = 2 ( − m + 6m + 6 ) x + m + 6m + 1
2
C. y = −2 x + m + 6m + 1


''
'''
Viết theo cách 3: Ta có y = 3x − 6mx + 3 ( m + 6 ) ; y = 6 x − 6m; y = 6
Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN
PLUS thực hiện theo các bước:
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức
'

2

3x 2 − 6mx + 3 ( m + 6 )  ( 6 x − 6 )
y ' y ''
3
2
y − ''' = [x − 3mx + 3 ( m + 6 ) x + 1] −
3y
18
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

10


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

- Bấm CALC, gán x = i, m = 100 với i là đơn vị số phức (bấm ENG)
được kết quả : 10601 − 19788i
Ta có:
10601 − 19788i = 1002 + 6.100 + 1 − ( 2.100 2 − 2.100 − 12 ) i
⇒ y = m 2 + 6m + 1 + 2 ( − m 2 + m + 6 ) i

∆ , = 3 > 0 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị.
+Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = 0; c = −1; d = m; ∆ , = 3
0.( −1)
2∆ '
bc
2.3
2
y=−
x+d −
=−
x+m−
=− x+m
9a
9a
9.1
9.1
3
'
2
''
'''
Viết theo cách 3: Ta có y = 3 x − 1; y = 6 x; y = 6
+ Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS hoặc fx -570VN PLUS
thực hiện theo các bước:
- Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

11

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
3
2
3
thị hàm số y = x − 3mx + 3m song song với đường thẳng (∆) : y = −2 x + 2017 ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3x − 6mx
∆ , = 9m 2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ , = 9m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −2m 2 x + 3m 3
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường
−2m 2 = −2
⇔ m = ±1
thẳng (∆) : y = −2 x + 2017 khi:  3
3m ≠ 2017
Đáp án: C
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6 x [ 1] vuông góc với đường thẳng
(∆) : x − 5 y + 2017 = 0?
A. m = −4; m = 2
B. m = −2
C. m = 4; m = −2
D. Đáp án khác

 m = −4(t / m)
⇔
 m = 2(t/ m)

Đáp án: A
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1[ 3] tạo với đường thẳng
(∆) : y = 3x + 1 một góc 450 ?
A. m = 1; m = 5
B. m = 3 ± 2
C. m = 2 ± 3
D. m ∈∅
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 6 x + 6( m − 1) x + 6 ( m − 2 )
∆ , = 9(m 2 − 6m + 9)
,
2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ = 9(m − 6m + 9) > 0 ⇔ m ≠ 3
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −( m 2 − 6m + 9) x − ( m 2 − 3m + 2 )
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường
thẳng (∆ ) : y = 3 x + 1
một
góc
khi:
450
3 + m 2 − 6m + 9
3 + m 2 − 6m + 9


1
3
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y = −(9m 2 − 6m + 1) x + (m − 1) ( −2m 2 + m )
,
2
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ = 9(9m − 6m + 1) > 0 ⇔ m ≠

3
2
+ Để đồ thị hàm số y = 2 x + 3(m − 1) x + 6m ( 1 − 2m ) x − 1 có hai điểm cực trị
nằm trên đường thẳng (∆) : y = −4 x khi đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số trùng với đường thẳng (∆) : y = −4 x
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với đường thẳng
1

m
=
1
∨
m
=
−
2

−9( m − 6m + 1) = −4
3
(∆) : y = −4 x khi: 
⇔

B. m = − ; m = 3
3
3
1
1
C. m = ; m = 3
D. m = − ; m = −3
3
3
Hướng dẫn:
+ Ta có : y ' = 3 x 2 + 6 x − 3(m − 1) ; ∆ , = 9m
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ , = 9m > 0 ⇔ m > 0
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
(∆) : y = −2mx + m − 1
 m −1 
;0 ÷ . Với m > 0 ta có:
+ ( ∆ ) ∩ Ox = A ( 0; m − 1) ; ( ∆ ) ∩ Oy = B 
 2m 
m = 3
1
1
1
1
m −1 1
2
S∆ABC = ⇔ OA.OB = ⇔ m − 1 .
= ⇔ 3m − 10m + 3 = 0 ⇔ 
1 (t / m)
m =
3

2
2
Hướng dẫn:
'
2
+ Ta có : y = 3 x − 3m
∆ , = 9m
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi ∆ , = 9m > 0 ⇔ m > 0
+ Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
( ∆ ) : y = −2mx + 2 ⇔ ( ∆ ) : 2mx + y − 2 = 0
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt đường tròn tâm
I ( 1;1) ,bán kính r = 1 tại M , N .Diện tích tam giác IMN được xác định:
1
1
1
·
·
·
S∆IMN = IM .IN .sin IMN
= r 2 .sin IMN
= sin IMN
2
2
2
·
·
Do sin IMN ≤ 1 nên S ∆IMN lớn nhất khi sin IMN
= 1 ⇔ IM ⊥ IN .Khi đó
∆IMN vuông cân tại I .
2

C. y = −2 x + 4
D. y = −2 x − 4
Bài 2: Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào đi qua hai điểm cực trị của
3
2
đồ thị hàm số y = x + 3x + 4 x − 2 là:
1
1
A. y = 2 x − 3
B. y = x +
C. y = 2 x − 10 D. 2 x − 3 y − 10 = 0
3
3
GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

15


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ
3
2
2
3
Bài 3:Giả sử hàm số y = x + 3mx + 3(m − 1) x + m − 3m + 2 có hai điểm cực trị.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đó là:
A. 2 x + y + 2m − 2 = 0
B. 2 x − y + 2m + 2 = 0

C. x − 2 y + 2m − 2 = 0

D. m ≠ 3
3
3
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
3
2
2
3
2
thị hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m + 2017 đi qua điểm A ( 1;2017 ) ?
A. m = 1; m = −2
B. m = −1; m = 2
C. m = −1; m = −2 D. m ∈∅
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
3
2
3
thị hàm số y = x − 3mx + 4m + 3 song song với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + 7 ?
A. m = ±

D. m = 3 − 1
2
m
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
3
2
thị hàm số y = x − 3x − mx + 2 tạo với trục Ox một góc bằng 450 ?
3
7
3

B. m = −1

)

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

C. m = 1

(

)

16


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

2.4. Hiệu quả của SKKN
Sau khi được cung cấp kĩ thuật và rèn luyện qua hệ thống kiến thức
trên, hầu hết các em học sinh trung bình và khá đã thấy thích thú và thực hiện tốt
việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc
ba, đồng thời các em cũng đã giải được các bài toán liên quan. Các em đã biết
tìm chọn và làm được các bài tập tương tự trong các tài liệu tham khảo. Qua đây
các em cũng được rèn luyện nhiều kĩ năng khác như: Kĩ năng biến đổi đại số, kĩ
năng giải phương trình, bất phương trình …
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc kiểm tra bài cũ, kiểm tra 15 phút, kết quả
thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):


12A5
12A7

43
39

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
38
88.37
32
82.05

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.63
7
17.95

17


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Đỗ Thị Toàn

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

18


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số bậc ba qua một số ví dụ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương trình đường thẳng đi qua cực đại ,cực tiểu của hàm số bậc 3 của
thạc sĩ Phùng Quyết Thắng trên Toán Math
2. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-Nguyễn Huy Đoan chủ biên-Nhà xuất
bản Giáo dục ,2008
3. Tuyển tập các chuyên đề LTĐH môn Toán Hàm số của Trần Phương ,nhà
xuất bản Hà Nội ,2006
4. Tuyển tập các chuyên đề LTĐH môn Toán Hình Giải tích của Trần PhươngLê Hồng Đức ,nhà xuất bản Hà Nội ,2006

GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn

19


Rèn luyện kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị