Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hoctoancapba.com
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
A. PHẦN MỞ ĐẦU 2
I. Lí do chọn đề tài 2
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài 2
Bản đồ tư duy 3
B. PHẦN NỘI DUNG: 4
I/Các kiến thức cơ bản: 4
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp: 4
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A và có VTPT
r

. 4
Dạng 2: Viết pt mp (P) đi qua Avà // mp (Q). 4
Dạng 3: Viết pt mp(P) đi qua Avà vuông góc với đường thẳng (d). 5
Dạng 4: Viết pt mp (P) đi qua A và vuông góc với 2 mp(Q) , mp(R). 5
Dạng 5: Viết pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng . 5
Dạng 6: Viết pt mp (P) đi qua A,B và vuông góc mp (Q). 6
Dạng 7: Viết pt mp (P) đi qua A ;vuông góc mp(Q) và song song với dt (d). 6
Dạng 8: Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau. 6
Dạng 9: Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau. 7
Dạng 10: Viết pt mp (P) là trung trực của AB. 8
Dạng 11: Viết pt mp (P) chứa (d) và đi qua A. 8
Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và song song dt (d’). 8
Dạng 13: Viết pt mp(P) chứa (d) và vuông (Q). 9
Dạng 14: Viết pt mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h. 9
Dạng 15: Viết pt mp (P) chứa (d) và d(A,(P))=h. 9
Dạng 16: Viết pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc
α

2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Khi học đến chương phương pháp tọa độ trong không gian học sinh thường gặp
khó khăn khi gặp bài toán viết phương trình mặt phẳng và dạng phương trình mặt
phẳng có nhiều dạng. Để giúp học sinh có thể giải tốt các bài tập về viết phương
trình mặt phẳng thường gặp trong chương trình lớp 12 nên tôi chọn đề tài “Rèn
luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz”
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài :
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông,
Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị
những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. Nhằm giúp các em giải
tốt các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz chương
trình học lớp 12.
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng
trước một bài toán viết phương trình mặt phẳng, không định được hướng giải
quyết, vì thế tôi đã hệ thống một số dạng bài tập cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm
vững và từ đó có thể viết được phương trình mặt phẳng trong chương trình.
TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào khá cao so với các
trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm
còn chiềm tỉ lệ trên dưới 5%. Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng viết phương trình
mặt phẳng trong không gian Oxyz” sẽ giúp học sinh không bị lúng túng trước
một bài toán viết phương trình mặt phẳng trong chương trình.
BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN OXYZ
Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 2 -

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hoctoancapba.com
B. PHẦN NỘI DUNG
I/Các kiến thức cơ bản:

:
  
    By Cz D+ + + = ≠
Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cách sau:
+ Biết một điểm
   
   M x y z
vả một vectơ pháp tuyến
   n A B C=
r
ta sử dụng
công thức:
  
        A x x B y y C z zα − + − + − =
+ Phương trình mặt phẳng (P):
  
    By Cz D+ + + = ≠
dựa vào giả
thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D.
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
   
   M x y z
và một
vectơ pháp tuyến
   n A B C
=
r
+Cách 1:
− + − + − =

  x y z D
− + + =
;

    
− ∈ ⇒ =
M P D
⇒
(P):
   x y z
− + + =
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
   
   M x y z
và song
song với mặt phẳng
   
+ + + =
Q By Cz D
.
+Cách 1: (P)//(Q)
 
 
   ⇒ = =
uuur r
Q
P
VTPT n VTPT n A B C
− + − + − =
  

Q
P
VTPT n VTPTn
+ − − + − =
⇔ − + + =
       
     
Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 4 -

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hoctoancapba.com
+ Cách 2:
 P
//
 Q
     
⇒ + + = ≠ −
P y z D D

 M
−
  
∈ ⇒ =
P D
    
⇒ + + =
P y z
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm
   
   M x y z
và vuông

     
P x y z
P z y z
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
   
   M x y z
và vuông
góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)
+

⊥ ⇒ ⊥

 
⇒ =

 
⊥ ⇒ ⊥


uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
 
  
 
   
  
   

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)

A A A
A x y z
       
B B B C C C
B x y z C x y z
không thẳng hàng:
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 



 
⇒ =

 


uuur
uuur uuur uuur
uuur
P
AB
VTPT n AB AC
AC
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
    A B C− −
Giải:
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 

       
A A A B B B
A x y z B x y z
và
⊥
(Q)
+ Cặp VTCP mặt phẳng
 α
 





uuur
uuur
Q
AB
n
   

 
⇒ =
 
uuur uuur uuur
P Q
VTPT n AB n
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
   A B− −

⇔ + + − =
P x y z
P x y z
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua
   
A A A
A x y z
;
⊥
(Q) và // với đt (d)
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 
     
 



 
⇒ =

 


uuur
uuur uuur uuur
uuur
Q
P Q d
d
n



uuur
uuur uuur uuur
uuur
Q
P Q d
d
n
VTPTn n u
u
       
    
− + + + − =
⇔ + + − =
P x y z
P x y z
Dạng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 
     
 



 
⇒ =

 


 

x t
y t
z

= −

= +


=

Giải:
 
     
∋ − = − −
uuuur
d
d M VTCP u
;
 
    ∋ = −
uuur
d
d M VTCP u
   
   
     
 !  

uuur
d
P d d
d
u
VTPT n u u
u
        
    
− + − + − =
⇔ + + − =
P x y z
P x y z
Dạng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
+

 #
∈
, VTCP
u
r
d
; ,

 #
∈
VTCP
u
r
d’

x y z− + −
= =
− −
và (d’):


 
x t
y t
z t

= +

= −


= −

Giải:
 
 
 
     
     
     $   
d
d
d
d M VTCP u
d M VTCP u

uuuuuur
uuur uuuuuur uuur
uuur
P d
d
M M
VTPT n M M u
u
  $      
    
− − − − − − =
⇔ + + − =
P x y z
P x y z
Dạng 10: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
+
 
uuur
P
VTPT n
AB
=
uuur

Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 7 -

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hoctoancapba.com
+ Tìm tọa độ trung điểm M
0
của đoạn AB

u
r
d
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)

    
 



 
⇒ =

 


uuuuur
uuur uuuuur uuur
uuur
P d
d
M A
VTPTn M A u
u
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
thẳng (d):
  
  
x y z− + −



uuuuur
uuur uuuuur uuur
uuur
P d
d
M A
VTPT n M A u
u
        
     
− − − − − + =
⇔ + + − =
P x y z
P x y z
Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (
∆
)
+ Tìm điểm M
0
∈
(d)
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 
     
 

∆
∆

Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với
 ∆
Giải:
Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 
     
 

   
 
∆
∆

=

 
⇒ = = − −

 
= −


uuur
uuur uuur uuur
uuur
d
P d
u
VTPTn u u
u

 



 
⇒ =

 


uuur
uuur uuur uuur
uuur
d
P d Q
Q
u
VTPT n u n
n

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):
3
2
12
1
−
+
==
− zyx

uuur uuur uuur
uuur
d
P d Q
Q
u
VTPTn u n
n
   $    
   
− − − + + =
⇔ − − =

Dạng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 và d(A;(P))=h
  
   
cho trước
+ Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’
≠
D)
+ Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ . Kết luận pt mặt phẳng (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2
Giải:
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D
≠
- 3)
d(A;(P))=2
 
 

≠
0
+ (d)
∋
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
), VTCP
u
r
d
+ Vì (d) nằm trong (P)
⇒
 #
 %
⊥
uuur uuur
⇔
u
r
d.

( )
r
P

Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là
( )
r
P
n
= (A; B; C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2

≠
0
 #
#   %  
∋ − = −
uuur
( ) ( )
#!  #
& #   %        ⊂ ⇒ ⊥ ⇔ + − = ⇒ = −
uuur uuur
(P):
            
− + − + + = ⇔ + + − + =
d(A,( P))=
 
  
  

= ⇒ = ⇒
Dạng 16: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc
α
≠
90
0
+ Gọi VTPT của mp (P) là
( )
r
P
n
= (A;B;C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2

≠
0
+ (d)
∋
M
0
(x
0
;y
0
;z
0

mp (Q) một góc
α
thỏa cos
α
=


.
Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là
( )
r
P
n
= (A; B; C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2

≠
0
 #
#    %   ∋ − − = − −
uuur
Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 10 -

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hoctoancapba.com
Vì d

⇔ + + = + +
uuur uuur

    
 
         $   

 
$

= −

 
Λ ⇒ − = + + ⇔ + + = ⇔
−
 

=


' ()*+,, , , ,
= − ⇒ ⇒ ⇔
−
= ⇒ ⇒
⇔

' ()*+,,$ , $,
$
$,
Dạng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đth(

;z
0
), VTCP
u
r
d
+ Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

( )
r
P
n
= 0 (1)
+ sin ((P),(
∆
)) = sin
α
(2)
+Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và
 ∆
lần lượt có
phương trình: (d):

( )
r
P
n
= (A; B; C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2

≠
0
d)
∋

 
và VTCP
#
%  
= −
uuur
;

    
∆ ∋ −
và VTCP
 
%  
∆

+ −
∆ = ⇔ = ⇔ =
+ +
⇔ + − = + +
uuur uuur

    
 
           

 


=

 
Λ ⇒ = + + + ⇔ − − = ⇔
−
 

=



' ()*+,, , ,     = ⇒ ⇒ ⇔ + + − =

' ()*+,, , ,    

−
= ⇒ ⇒ − − + =

Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):
1 2
1
x t
y t
z t
= − −


=


= +


và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn
nhất. hoctoancapba.com
Giải:
Gọi H là hình chiếu
⊥
của A lên (d)
Ta có: d (A, (P)) = AK
≤
AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên).
Do đó d(A, (P))
max

⇔
AK = AH
⇔

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x - 4y - 2z 19 = 0. Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz
+ D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
(S):
  
       3 4,
+ + − + − = ⇒ −
Vì (P) // (Q)
⇒
(P): x - 2y + 2z + D = 0 (D
≠
-3)
( )
( )
−
⇒ = ⇔ = ⇔ − =
 
.2056/%7(8970:;<2(;=%> # 3      

( )
( )

= ⇒ − + − =

+ Suy ra d (I,(P)) (2)
⇒
( ) ( )
 
 
Λ ⇒
 
D'
⇒
pt (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + 4 = 0 và mặt
cầu
(S):
2 2 2
2 4 2 3 0x y z x y z
+ + − + + − =
. Viết pt mp(P) // (Q và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r = 2
Giải:
(S): (x-1)
2
+(y+2)
2
+(z+1)
2
=9
⇒
Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = 3
Vì (P) // (Q)
⇒

0
), VTCP
u
r
d
+ Gọi VTPT của mp (P) là
( )
r
P
n
= (A; B; C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2

≠
0
=>pt mp (P) đi qua M
0
: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
+ (d)
⊂

+ (y + 2)
2
+ (z - 3)
2
= 9
⇒
tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3
 #
#   %  
∋ − = −
uuur
Gọi VTPT của mp (P) là
( )
r
P
n
= (A; B; C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2

≠
0
⇒
:/
đi qua điểm M
0
:

Λ ⇒ − = + + ⇔ + + =
 

= −

⇔
−

=


= − ⇒ ⇒

' ()*+,, , $,

−
= ⇒ ⇔
Dạng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) hoctoancapba.com
+ Adct : Chu vi đường tròn C =
2 r
π
và diện tích S =
2
r
π
tính r.
+(d)
∋

) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
+ Vì d
⊂
(P)
⇒
uur
d
u
.

n
r
(
P
)
=0 (1)
+ Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
+Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C
⇒
pt mp (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 3 0x y z x y z
+ + − + + − =
và
( )

2
+ B
2
+ C
2

≠
0
=>pt mp (P) đi qua M
0
(P): A(x - 3) + B(y - 0) + C(z - 4) = 0
⇔
Ax + By + Cz –3A – 4C = 0
(d)
⊂
(P)
⇒
# 
% ! 
=
uuur uuur
⇔
3A – B + C = 0
⇒
B = 3A + C (1)
Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r
  
      
⇔ + + = + +
 


+Để r
min

⇒
d(I,(P))
max
+ Gọi H là hình chiếu
⊥
của I lên (d) ; K là hình chiếu
⊥
của I lên (P)
+Ta có: d(I,(P))= IK
≤
IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
+Do đó: d(I,(P))
max
⇔
AK = AH
⇔
K
≡
H
+ Mp(P) đi qua H và nhận
IH
uur
làm VTPT
⇒
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):

uuur
 #   #
 #
#
#   %  3  3 %  
3 %
#3#   #(;@2:;<2(;=%
%
Bán kính r =
2 2
R d (I,(P))−
=
2
9 d (I,(P))−
hoctoancapba.com
Để r
min

⇒
d(I,(P))
max
Gọi H là hình chiếu
⊥
của I lên (d) ; K là hình chiếu
⊥
của I lên (P)
Ta có: d(I,(P))= IK
≤
IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó: d(I,(P))

=

− +

= =
 
⇔ = − ⇒ −
−
 
 
+ =
=



⇒
VTPT
( )
r
P
n
=
IH
uur
=(0;1;1)
(P): (y + 1) + (z – 0) = 0
⇔
y + z + 1 = 0
C. KẾT QUẢ KIỂM TRA SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:
Lớp Sĩ số

Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 16 -