Tên đề tài:
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO HỌC SINH LỚP 10
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
o

oá
o

thông.
o

thi
ã

nh h
n
trong ệ
o á e
,

e
hêm,
ới

.Rê
ố
ừ ớ 9,
t


ăn
ã
ề tài
.

n
ữ
l
o
á e
á

ớ

á

ổ
–
,
có

ớ
ố ớ 10 á e
o
á
. Tuy nhiên, á
ề gi i ph ng
;
ề
ốe

ố
ề gi i ph ng
ặ
,
o nên tôi

II. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Đặt vấn đề
Ph ng nh h
n ới
ăn là
bài
ề em
ặ
o
á
o
.
á
ặ
ề
oá
á
..
o
oá
các em
ữ
ề
: N ữ

ê á
o
ệ ỹ
cho
các em ặ ệ là gi i bằng ph ng pháp đặ n phụ.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

1


2. Các biện pháp thực hiện
-To
á
áo ê
ớ mà
ớ
á e
- Từ ữ
giúp các em
á
ý. R
ữ
á
oá nâng cao.

á
phâ
ổ

.

.
-N
ệ ớ
ủ á
áo t
o
á e
, ổ
o
.
2. Khó khăn:
-T
gian
o
ề
oá
á
,
ủ giúp các em
ệ ỹ
i.
- D
ph ng nh h
n ới
ăn
o
ề á
.
- Cá e
ớ

g
x










 f  x  0
f  x  g  x  
oặ
f
x

g
x








g  x  0
f  x  g  x  


ớ

S

.
2


+

ệ

S .K
x
2
( ề
ệ
ệ : S  4 P  0 ).
+ N (x; )
ệ
( ; x)
- Hệ ố x
2
o
:
ệ
 Cá
+ Từ
+


x= .

* Các bước giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ (cách chung):
ử
ớ ề
ệ d:
F(x) = 0. (*)
- Nế F(x)
ớ
F(x) = f  u  o
= (x)
ệ
(*)
:
Bước 1: ặ
.
To
(*) ặ = (x)
(
)
f  u   0 (**)
Bước 2:
(**).
- N (**)
ệ
(*)
ệ .
-N


ặ ề
ệ
o
ề
ệ ( ễ
)
g  x  u (
ố
o

á

ệ
ù

x)

ê

(**). T
ệ
ớ 3.

* Dấu hiệu để giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ:
ố ớ á
ủ
á
ố
ữ
ố ê ệ o

;
ặ
ễ
á
o
eo
.N
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

.

ớ

oá
ặ

á
á
á
3


ữ

ễ
ủ

o

o

ớ
á

ặ

.

Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau:
a) x 2  4 x  6  2 x 2  8 x  12
b) x( x  4 )  x2  4 x  ( x  2 )2  2
c) T

ệ

(1)
(2)
: x2  2 x  2m 5  2 x  x2  m2 (3)


á
câu a) x 2  4 x  6  2 x 2  8 x  12
(1)
Nhận t:
- Có ữ
á
o
?C
là gì?
-T
b

t  0.
Bài giải:
Ta

: x 2  4 x  6  2 x 2  8 x  12  x 2  4 x  6  2  x 2  4 x  6 

ặ t  2 x 2  8 x  12, t  2 ,

t  0  loaïi 
t 2  2t  0  
n
t  2  nhaä

:

ớ t = 2  2 x 2  8 x  12  2  2 x 2  8 x  8  0  2  x  2   0  x  2
ệ ủ
: x 2.
câu b) x( x  4 )  x2  4 x  ( x  2 )2  2
Nhận t:
-P
(2) có gì k á o ớ
(1) ?
có 3
ố
: x( x  4);  x2  4 x ; ( x  2)2 mà x( x  4) và  x 2  4 x
.
t ê
o ặ
ễ các

x  2  3
ớ t = 1   x2  4x  1   x2  4x  1  0  
 x  2  3
ệ ủ
: x  2 3 ; x  2 3

Câu c) x2  2 x  2m 5  2 x  x2  m2
Nhận t:
(3)
?
ã o
õ ề
ệ ủ
?

(3)
o ặ

câu nào? ta nên

ặ t  5  2x  x2 ,

ố ê

: 5  2 x  x 2  6   x  1  t  0; 6 
Bài giải:
2

-T


ề
ệ ố
t 0
ớ .
Bài tập tự lu ện
Bài 1:
á h ng trình:

ã

rút ra bài toán ổ

o

ệ .
á

: a f ( x)  b f ( x ) = c
ã o

o?
ặ t
ề

ố

9
2

a) 2 x 2  5 2 x 2  3x  9  3x  3 ;

Câu a) x  2  5  x   x  2  5  x   4
Nhận t :
- Cá
o
á
có liên ệ ớ
T
ệ
 x  2  5  x  ẽ x
x2  5x

và  x  2   5  x   7 ,

x2  5x

,

eo

o?
ổ

o

ặ
ã

o ẽ

ổ

2
 x2  3x  9  0  

33 5
x 
2


C

á ị ủ x ề
ệ

o

ủ

ề

ệ .
ã

o là: x 

33 5
33 5
;x 
2
2


ệ .

Lời giải:
ề k ệ : x1
ặ t  3 x  2  x  1 ; t  0  t 2  4 x  3  2 3 x2  5 x  2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

6


ã

t  3
t  2 ( loaïi )

: t  t2  6 t2  t  6  0  

o

ớ t  3  3x  2  x  1  3
 4 x  3  2 3x 2  5 x  2  9

 3x 2  5 x  2  6  2 x

6  2 x  0
x  3
 2
 2
2
3x  5 x  2  36  24 x  4 x

?
Lời giải:
ề
ện: x  5 . t  x  5  x ; t  0  t 2  2 x  5  2 x 2  5 x
ã

t  8  loaïi 

: t 2  2t  48  0  

o

t  6

ớ t  6  x  5  x  6  2 x  5  2 x 2  5 x  36  2 x 2  5 x  41  2 x
41


1701
41  2 x  0
5  x 

 thoûa ñk 
2 x
2 
2
164
4
x



(2)

á

o?

f ( x)  g ( x) ; f ( x).g ( x) và f ( x)  g ( x)  k ( ớ
f ( x)  g ( x)

▪N

f ( x).g ( x) 

t2  k
.
2

:

m  f ( x )  g( x )   2n f ( x ).g( x )  n  f ( x )  g( x )  p  0 .

T

ặ : t  f ( x)  g ( x)
x
,

ẽ
ã

S: x = 0; x = 1.

 3  x  6  x  .
2

S: x   6 .

2

 x  1 x  3  4  2 x .

S: x = 1.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) x 2  1  2 x x 2  2 x ;
b) 2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16
c) 2008 x 2  4 x  3  2007 x 4 x  3 ;

(7)
(8)
(9)

d) 4 x  1  1  3x  2 1  x  1  x 2 ;
(10)
* Phân tích tìm cách chọn ẩn phụ và lời giải:
Câu a) x 2  1  2 x x 2  2 x ;
(7)
Nhận t:
- PT (7)
ố

o?
: ồ
o?

x  2
x  0

ệ : x2  2 x  0  

Ta có: x 2  1  2 x x 2  2 x  x 2  2 x  2 x  1  2 x x 2  2 x
ặ t  x2  2 x ớ t  0
ã o
: t 2  2 xt  2 x  1  0 (*)
Ta có:  '  x 2  2 x  1  ( x  1) 2
Do
(*)
ệ :

x2  2 x  1
t  1
t  x m( x  1)  

t  2 x  1  x 2  2 x  2 x  1

x  1 2

ớ t  1  x2  2 x  1  x2  2 x  1  0  

 x  1  2
2x  1  0

Nhận t :
- So ớ pt (7)
T (8)
ệ
ễ
ố ê ệ ữ á
o
ớ
,
ề
ủ T (8).
Ta có thể trình bầ lời giải như sau:
ề
ệ : 2  x  2 .

ớ 3
á

,
. Do

khó
)

Ta có (8)  4  2 x  4   16 2  4  x 2   16  2  x   9 x 2  16
 8  4  x 2   16 2  4  x 2   x 2  8 x

ặ t  2  4  x 2  ; t  0 , Pt

: 4t 2  16t  x2  8x  0 (*)

(9)

Nhận

t:
t2  3
ặ t  4 x  3 t  0   x 
4

N

K)

(*)

:

2

 t2  3 
 t2  3 
 t2  3 
2008 
  4
  3  2007 
t
 4 
 4 
 4 


4

ặ t  4 x  3 t  0 

ã

o

:

2008 x  2007 xt  t  0
2

2

 2008 x 2  2008 xt  xt  t 2  0
  x  t  2008 x  t   0

xt


 x   t  loaïi vì t  0,x  3 

2008 
4
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

9







2

Tính   2  1  x  48



1  x  1  x  1  44 1  x  53 ,



T





 
2

1 x ;





.


o

:

4 x  1  t 2  2  1  x   2t  t 1  x
 t 2  ( 2  1  x )t  4 x  1  2  x  1  0





Ta có   2  1  x  4 4 1  x  2  x  1  9  x  1  12 x  1  4
2

t  2  x  1

t  2 x  1
vôù
i t  2  x 1  1 x  2  x 1



  3 x1 2



2

 1 x  1 x  2

o?

:

a. f ( x)  g ( x). f ( x)  h( x)  0.

ặ t

ớ
eo

f  x  , t  0 

: at 2  g ( x)t  h( x)  0 . (xe

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

x

ố)
10


2 : ừ
n phụ không iệ đ .

P
đặ
Bài tập tự lu ện.
Bài 3.

4
3

S: x  1  2

Ví dụ 4 : Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
b) 5 x3  1  2  x 2  2 

(11)
(12)

c) x2  2 x  2 x 1  3x2  4 x  1

(13)

* Phân tích để tìm cách chọn ẩn phụ và lời giải:
Câu a) 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
Nhận t:
ề
ệ ủ
x5
2
Ta có: 11  5 x  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
Do
á
2x  5x  2  5
2

x


ữ

á

ặ

(*):

x 2  x  20   x  4  x  5

x

2

 x  20   x  1   x  4  x  5 x  1   x  4   x 2  4 x  5

Và 2 x 2  5 x  2  2  x 2  4 x  5   3  x  4 
Từ

ố

ê

ệ ê

o

é


11


t

x2 4 x 5
,
x4

ó

o

2

eo

.

Li gii:

: x5

11

5 x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1

2x2 5x 2 5

x

t
2

(**)

:

x2 4 x 5
x2 4 x 5
1
1
x4
x4

5 61
loaùi
x
2
2
x 5x 9 0

5 61
nhaọn
x
2


*t 1

3


(12)

Nhn t:
- Theo ỏ

)
lm gỡ?
- Ta cú x3 1 x 1 x 2 x 1 ;

- phõn tớch x 2 2 theo x 2 x 1 vaứ x 1 nh
Li gii:
T
:



o?

: x 1 .

5 x3 1 2 x 2 2 5
2

x 1 x 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1
x 1
x 1
5 2
20
x x 1

.

2

1
x 1
1
5 37
2
x 2 5x 3 0 x
;
2
2
x x 1 4

Cõu c) x2 2 x 2 x 1 3x2 4 x 1

(13)

Nhn xột v li gii:
-T

hai cõu trờn,

-T







x

2

x2 1 theo x 2 2 x vaứ 2 x 1 .

2 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2 x 2 x 1

2

2 x 2 x 1 0

o x2 2 x > 0 (vỡ x 2 )

C
2x 1

x2 2 x

t

t

T

x

:






ờ ta
ó

4 ờ


x

1 5
2

o.
rỳt ra

ỏ?
: a. A x bB x c A x .B x (1)

(
ỏ
; A x , B x
ỏ
T
:
b 1: T
B x 0
b 2: Xột B x 0

; t 0,
B  x

ặ t

t : at2 - ct + b =

ề

(*)

0.
Bài tập rèn lu ện
Bài 4.
á
a) 2 x 2  5 x  1  7 x3  1
b) 2( x 2  3x  2)  3 x3  8

:
S: x  4  6
S: x  3  13

Ví dụ 5 : Giải các phương trình sau:
a) 3  x  6  x   3  x  6  x   3
b) 1 

(14)

3
x  x2  x  1  x


nào trong á
á

v  6  x

; u, v  0

- Hệ
o ã
Bài giải :
ề
ệ : 3  x  6
u  3  x

ặ 

v  6  x

á

2)

ề
ử
ớ

ệ
u  3  x



o

:



u  v  9
(u  v)  2uv  9

 (uv  3) 2  2uv  9

u  v  uv  3 
u  v  uv  3

2

2

2

 3 x  0
uv  0
u  0
 x  3




(T


ề

ệ )

S = { – 3 ; 6}
14


Câu b) 1 

3
x  x2  x  1  x
2

Nhận t:
)
á
-T
Lời giải:
ề
ệ : 0  x 1
u  x

ặ 

v  1  x

(15)


 (1  uv)  2uv  1  
 2
2
uv  3
3
1  uv  u  v
u  v  1  uv
2

3
 3

2

2

ớ

2

 x0
u  0
x  0



v  0

x  1
 1  x  0


1 x  1 x  a

Nhận t và lời giải :
(1 )
nào ?
ề
ệ : 1  x  1
u  1  x

ặ 

v  1  x

K

câu trên ta,

; u, v  0  u 2  v 2  1

ã

o

ệ:

u  v  a

u 2  v 2  1 
(u  v)2  2uv  1 

2
ệ
 2a 2.

Tổng quát: Q
Dạng 5:
N

5

ổ

rút ra
ề

a  f  x  b  f  x  c ( ớ

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

á

o?

:
á

ố)

15


 3  x  6  x 

b) 3  x 2  6  x 2  3 

2

S: x   6

2

1
1

2
x
2  x2

c)

S: x = 1 ; x 

1  3
.
2

Ví dụ 6 : Giải các phương trình sau:
a) x 2  2 x  2 2 x  1

(17)



'

2

ệ
eo á
2
: x  2 x  2 2 x  1  ( x  1)  1  2 2 x  1 .

.

2

2x 1   y  

, 

o

o ệ

 x 2  2 x  2( y   )
ệ ố x
o 2.

2
( y   )  2 x  1
T eo ệ ố x
o 2

2
y

2(
x

1)

 x  y  0

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

16


  x 2  4 x  2  0
  x 2  2 x  2( y  1)


y

x

 y  x



 x  y  2 2
2
2

ớ ề
ệ ,
ệ
là: x  2  2
2
2x  6x 1  4x  5
Câu b)
(18)
N
xé :
(18)
)
?T
ặ 4x  5   y  
? Vì sao?
-T
ệ ố ủ x2
2 ê
ặ
2 x2  6 x  1 ớ
ổ.
ề
á
o?
-N
ớ 2
oá
ề
).
Lời giải :

o
?
N
ặ y  xm
ệ
o? C
ệ ố x
?

Lời giải:
ề

ệ x  m.
x  y2  m
y  0

ặ y  x  m thì 

ệ

 y  x
 2
 x  x  m  0
2
2
x  m  y
x  m  y
  x  m; y  0
 2


.
2

17


*) N

m0

ệ (1)

ệ

K

x  m  x2  0  x  m

1
.
4
1 m 1  4m
x y
2

   1  4m  0  0  m 

ệ (1)

ệ

 y  1  x  0

x

3  4m
 m  loaïi 
2
3  4m
2
3  4m
2
3  4m
 0  loaïi 
2

Nhận t: Từ á
ổ
át nào ?
Dạng 6:
* Khi pt có thể đưa về dạng :
f 2  x   b  a af  x   b ,
ề ệ ố x
2
ặ

t  f  x  , y  af  x   b

ệ

á

2
2

1
(dy  e)  ax  b
c(dy  e)  acx  bc



2
2
c(dx  e)   x  dy  e  
c(dx  e)   ac  d  x  dy  bc  2 



Từ

eo

ủ

ệ (I)

 3
 4

x  y
d  x  y  .h  x, y   0  
 h  x, y   0

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

18


Bài 6:
á
2
a) x  2  8 x  8 ;

:

4x  9
 7 x2  7 x, x  0 ;
28

b)

4x  9
1 7

7x   
ý:
28
2 4

1
4x  9
1
3


2


2
 y  1   4 x  9
x  1  7 y2  7 y



2

2
28

ệ

ệ

Ngoài ra :

 1
2

trình là: x 

ủ

ố



ớ :
2

13 
33

4 x 2  5  13 x  3 x  1  0   2 x    3x  1 
4
4

13
ặ 2 y   3 x  1 thì
ệ
4

o ệ

.
ệ pt ã
á
ố x
oặ
ố x
2

 y     3x  1

ệ


4 x  13x  5   y  



T

ệ ê
ệ

(1)

ớ

ớ (2) ớ

o

ố là có

x y

Nê

:

2
4





19


ớ x yx

15  97
8

ớ 2x  2 y  5  0  x 
K

:

ệ

11  73
8

ủ

15  97 11  73 
;
.
8
8



:


17




2
2
2
v  x  3x  3  v  0 
v 2   u  13   3  u  13   3  u  25u  373





289
 17 
 17 

*

7 4v 2  u  14v  u

7 4v 2  u  14v  u 1

T
ệ: 
u 2  25u  373
2


 495v 2  2044v  1549  0


v  1
  1549  
v 

495


 x  1

2
 x  2
x  3x  3  1

746
1549    x  
2
x  3x  3 
495

495

2231
 x 
495



S x = -1, x = 4

2)_ x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1

S: x = 1. x = 

S: S  1; 2  2

2 x  1  x 2  3x  1  0

3)

S: S  4;5

4) x  2 7  x  2 x 1   x2  8x  7  1
ệ

5) Tìm m
S: m 

ệ

x2  mx  2  2 x  1

9
2

V. KẾT QUẢ
To
á

xé

e
; ồ
. ớ

ệ ,
ớ á

oá

á
K

ê

á
á

ề

ổ

ố

á

ố

ề

55 %

VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
B oá
ớ
.L
o
oá
á e
á
o. N
o
ề
ệ
á á
á e
ệ
á e á
á
ề
ố
o á e
.B
á e
ý
á
á
o
ỹ ý
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

ị
x

ớ

o
.
21


Bê
o ổ

ủ

,
ữ

ề
o

e
.

o o

nhữ

á e



ổ

0
ề
o HS.

ề
. Do

ê

ủ
ý

, và

tôi
ê
ặ

á
á

ớ
ớ 10

á

. Mặ


ê

ố

.

ố

áo ê ê
ị ố o á e
.

o
C o

IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sá
áo o á
á
áo
200 .
- Toán nâng cao
ố 10 – o

x

ớ 10

áo

x

S
-R

x

ệ
áo

ệ

Toá – Lê Hồ
ố –H

–N
C

x

T á – Nhà

.
ệ

oá – N

ễ Thái Hòe – Nhà

.

.................................................................................................. 2
I .N
ề
...................................................................................... 2
1. M ố
ê
....................................................................... 2
2. N
................................................................................................... 3
.K
.................................................................................................. 21
I. B
ệ ............................................................................ 21
II. K
.............................................................................................. 22
III. K
ị ........................................................................................... 22
IX. T
ệ
o ............................................................................... 22
M
...................................................................................................... 23

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

23