SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
_______________
Mã
số :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌ NH LƯỢNG GIÁC
Người thực hiện : PHẠM THUÝ HẠNH
Lĩnh vực nghiên cứu :
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán

Năm học : 2013 – 2014
2
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : PHẠM THUÝ HẠNH
2. Ngày tháng năm sinh: 28/11/1984
3. Nam, nữ : Nữ.
4. Địa chỉ: 39/4, khu phố 7, phường Tân Biên, Biên Hoà, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0933304908.
6. Email:
7. Chức vụ: giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11A2, 11A5, 11A8.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hoà, Đồng Nai.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Trình độ chuyên môn cao nhất: Cử nhân Đại học Sư phạm TP.HCM.
- Năm nhận bằng: 2006.
- Chuyên ngành đào tạo: Toán.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT.

trình lượng giác” để nêu ra một số kinh nghiệm đóng góp cho việc dạy và
học về phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả
hơn.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công
thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi
phương trình về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng
tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất
đối với
sin x
và
cos x
; dạng thuần nhất bậc hai đối với
sin x
và
cos x
.
Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được
biến đổi về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác. Còn
hầu hết các phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng
một hoặc nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ
bản, hoặc dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
4
Chẳng hạn, học sinh áp dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc
nhất đối với
sin x
và
cos x
về dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để
biến đổi phương trình thuần nhất bậc hai đối với

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu
các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi
phương trình lượng giác
Các công thức lượng giác :
1) Công thức cơ bản
2) Công thức cộng
3) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc
4) Công thức biến đổi tổng thành tích
5) Công thức biến đổi tích thành tổng
Mỗi công thức lượng giác có dạng
A B=
. Khi vận dụng công thức dạng
này vào biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh
thường nhận biết ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì
không ít học sinh thấy khó nhận ra việc thay B bằng A.
5
Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng
công thức lượng giác theo hai chiều
A B=
và
B A=
. Lưu ý rằng vì có khá
nhiều công thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện
hoạt động 1 ở nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp.
Hoạt động 1. Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ
vế phải sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng
( )
sin sin cos cos sina b a b a b+ = +
theo chiều ngược lại là :

 
.
- Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược
lại là :
( )
sin cos cos sin sina b a b a b+ = +
, ta có:
( )
sin .cos4 cos .sin 4 sin 4x x x x x x+ = +
Lời giải ví dụ 1:
a)
2sin 3sin 1
6
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
2 sin .cos cos .sin 3sin 1
6 6
x x x
π π
 
⇔ + − =
 ÷
 
cos 1x⇔ =

2x k

7 7
x k
k
x k
π
π π

=

⇔ ∈


= +


Z
Một công thức lượng giác có thể áp dụng cho nhiều góc khác nhau. Đa số
học sinh trung bình, yếu không nhận ra được công thức lượng giác cần áp
dụng hoặc không biết áp dụng công thức sao cho hợp lý khi biến đổi
phương trình lượng giác là vì chưa từng viết lại công thức lượng giác bằng
cách thay góc trong công thức bởi một góc khác. Nếu cho học sinh viết lại
mỗi công thức lượng giác dưới nhiều hình thức khác nhau ứng với các góc
khác nhau thì các em sẽ không thấy khó khăn khi vận dụng các công thức
này vào biến đổi phương trình lượng giác.
Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức
lượng giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc
khác nhau.
Hoạt động 2. Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi
thay góc x trong các công thức bởi một góc khác như 2x,
2

Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
- Thay góc x trong công thức
sin 2 2sin .cosx x x=
bởi góc
2
x
, ta được:

sin 2sin .cos
2 2
x x
x =
- Thay góc x trong công thức
2 2
cos2 cos sinx x x= −
bởi góc
4
x
π
 
−
 ÷
 
,
ta được :
2 2
cos 2 cos sin
2 4 4
x x x

x x k
π
π π
= +

⇔

= − +

,
k ∈Z

2
2
3 3
x k
x k
π
π π
=


⇔

= +

,
k ∈Z

2

3 2
cos sin .cos 1x x x+ =
(1a)
b)
2 2
2sin sin .cos 3cos 2x x x x+ + =
(1b)
Hướng dẫn:
Dùng công thức
2 2
cos sin 1x x+ =
, biến đổi phương trình (1a) về dạng cơ
bản, phương trình (1b) về dạng tích.
Lời giải:
a)
3 2
cos sin .cos 1x x x+ =

( )
2 2
cos cos sin 1x x x
⇔ + =
cos 1x⇔ =

2x k
π
⇔ =
,
k ∈Z
b)


2
,
4
x k
k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= − +


¢
Bài 2. Giải các phương trình :
2
1
tan 3
cos
x
x
+ =
Hướng dẫn:

tan 1
tan 2
x
x
=

⇔

= −


( )
4
arctan 2
x k
x k
π
π
π

= +

⇔

= − +


,
k ∈Z
Nhận xét:

,
biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với
sin x
, so sánh nghiệm với
điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
sin 0x ≠
.
Với điều kiện trên, ta có :
(1)
2
sin sin 0x x⇔ + =

⇔

sin 0x =
(loại) hoặc
sin 1x = −
9
2 ,
2
x k k
π
π
⇔ = − + ∈Z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2 ,
2
x k k

 
⇔ + = +
 ÷
 
sin 0x⇔ =

x k
π
⇔ =
,
k ∈Z
.
Bài 5. Giải phương trình:
sin3 .cos cos3 .sin 3cos2 1x x x x x− = +
(5)
Hướng dẫn:
Dùng công thức
( )
sin cos cos sin sina b a b a b− = −
, biến đổi về dạng bậc
nhất đối với
sin 2x
và
cos2x
.
Lời giải:
(5)
⇔
sin 2 3cos2 1x x− =




Z
4
,
7
12
x k
k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


Z
Bài 6. Giải phương trình:
cos3 .cos2 sin3 .sin 2 sin5 2 cosx x x x x x− = +
Hướng dẫn:
Dùng công thức:
( )
cos cos sin sin cosa b a b a b− = +

π π

= − +

⇔


= − +


,
k ∈Z
Chú ý:
Công thức Điều kiện xác định của
vế trái
Điều kiện xác định của
vế phải
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
( )
cos 0a b+ ≠
( )


Khi áp dụng công thức cộng, chỉ được thay
( )
tan a b+
bởi
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
+
−

hoặc thay
( )
tan a b−
bởi
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
−
+
với điều kiện
tan a
và
tanb

cùng tồn tại, tức là:
cos .cos 0a b ≠


−
 
+ =
 ÷
−
 
(7)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định của phương trình dùng công thức
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối
với
tan x
.
Lời giải:
Điều kiện xác định :
cos cos 0
4
tan 1
x x
x

arctan 2 ,x k k
π
⇔ = + ∈Z
Vậy nghiệm của (7) là
arctan2 ,x k k
π
= + ∈Z
.
Bài 8. Giải phương trình:
tan tan
tan 3
6
1 3 tan
1 tan .tan
6
x x
x
x
x x
π
π
 
− +
 ÷
−
 
=
 
+
− −

( )
cos 0
1 3 tan 1 tan .tan 0
6
x
x x x
π
≠


 

 
+ − − ≠
 ÷
 ÷

 
 

Với điều kiện trên, ta có :
(8)
tan tan
3 6
x x x
π π
   
⇔ − = − +
 ÷  ÷
   

Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức nhân đôi
2sin .cos sin 2a a a=

và
2
2cos 1 cos2a a− =
, biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
(9)
sin .cos cos
2 2 2
x x
x
π
 
⇔ = −
 ÷
 
13
1
sin sin
2
x x⇔ =
sin 0x⇔ =

,x k k
π
⇔ = ∈Z
Bài 10. Giải phương trình:

tan 1
x
x
≠


≠ ±

Với điều kiện trên, ta có :
(10)
2
2 2 4
2tan 2tan tan 3
1 tan 1 tan 1 tan
x x x
x x x
+
⇔ + =
− + −
( ) ( )
2 2 2
2tan 1 tan 2tan 1 tan tan 3x x x x x
⇔ + + − = +
2
tan 4tan 3 0x x⇔ − + =
tan 1x⇔ =
(loại) hoặc
tan 3x =
(thỏa điều kiện)
arctan3 ,x k k

2
x
x + − =
2
1 cos
cos 6 1 0
2
x
x
−
⇔ + − =

2
cos 3cos 2 0x x⇔ − + =
14
cos 1
cos 2
x
x
=

⇔

=


2 ,x k k
π
⇔ = ∈Z
15

6 6
x x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 
sin sin 2
6
x x
π
 
⇔ − =
 ÷
 

2 2
6
,
2 2
6
x x k
k
x x k
π
π
π
π π

− = +

Bài 13. Giải phương trình:
cos3 cos sin 2 sin 2
8 8
x x x x
π π
   
+ = + − −
 ÷  ÷
   
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức:
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

và
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
đưa phương trình về dạng tích.
Lời giải:
cos3 cos sin 2 sin 2
8 8
x x x x


=


4 2
,
3
2
8
x k
k
x k
π π
π
π

= +

⇔ ∈


= ± +


Z
16
Bài 14. Giải phương trình:
3
cos cos sin 2
3 2

3
cos cos sin 2
3 2
x x x
π
 
− − = −
 ÷
 
2sin .sin sin 2 sin
6 6 3
x x
π π π
 
⇔ − − = −
 ÷
 
sin 2cos sin
6 6 6
x x x
π π π
     
⇔ − − = + −
 ÷  ÷  ÷
     
sin 2cos 1 0
6 6
x x
π π
 

6
1
cos
6 2
x
x
π
π

 
− =
 ÷

 

⇔

 
+ = −
 ÷

 

6
,
2
2
6 3
x k
k

π
π

= +




⇔ ∈
= +






= − +




Z
17
vi) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 15. Giải phương trình:
sin3 .cos cos7 .sin5 0x x x x+ =
.
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức :
( ) ( )

= − +

⇔

= + +

,
k ∈Z

8
8 4
x k
x k
π
π π

=

⇔


= +


,
k ∈Z
8
x k
π
⇔ =

3 2x x k
π
⇔ = ± +
,
k ∈Z
2
x k
x k
π
π
=


⇔

=

,
k ∈Z

2
x k
π
⇔ =
,
k ∈Z
18
vii) Các bài tập áp dụng nhiều công thức lượng giác
Bài 17. Giải phương trình:
2cos3 sin 2 cos

3
x x
π
 
⇔ = +
 ÷
 
5 2
3
5 2
3
x x k
x x k
π
π
π
π π

= + +


⇔
 

= − + +
 ÷

 

,

.
Lời giải:

( )
2 2 2
cos2 2sin 3 cos sin
2
x
x x x+ = +

( )
2
2cos 1 1 cos 3.1x x⇔ − + − =

2
2cos cos 3 0x x⇔ − − =
cos 1
3
cos
2
x
x
= −


⇔

=



=


sin 2 0
cos2 cos 5
2
x
x x
π
=


⇔
 

= −
 ÷

 


2
2 5 2
2
x k
x x k
π
π
π
=

⇔
= +






= −




,
k ∈Z
.
Bài 20. Giải phương trình:
2
cos 2 6cos 3cos 1 0
3 2 3
x
x x
π π
   
− + − − + =
 ÷  ÷
   
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức
nhân đôi, đưa phương trình về dạng bậc hai đối với

   
cos 2 3 cos cos 4 0
3 3
x x x
π π
 
   
⇔ − + − − + =
 ÷  ÷
 
   
 
cos 2 6sin .sin 4 0
3 6 6
x x
π π π
   
⇔ − − − + =
 ÷  ÷
   
2
2sin 3sin 5 0
6 6
x x
π π
   
⇔ − − − − + =
 ÷  ÷
   
20

π
⇔ = +
,
k ∈Z
.
Bài 21. Giải phương trình:
( )
2 2
tan 2 2tan 2 1 tan 2 cos 2
4
x x x x
π
 
− + = +
 ÷
 
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi,
công thức cộng.
Lưu ý:
Điều kiện xác định của phương trình:
cos2 0
cos 0
4
x
x
π
≠



π
≠ + ∈Z
thì
tan x
tồn tại, khi đó mới được thế
tan 2x
bằng
2
2tan
1 tan
x
x−
.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
cos2 0
cos 0
4
x
x
π
≠



 
+ ≠
 ÷

 

k ∈Z
, vào phương trình (21) ta được:
( ) ( )
3
tan 2 2tan 2 0 2. 1 2
4
k k
π
π π π
 
+ − + = ⇔ − − =
 ÷
 
đúng
Do đó
2
x k
π
π
= +
, với
k ∈Z
, là nghiệm của phương trình (21).
21
* Với điều kiện
( )
,
2
x k k
π

tan 2 arctan 2x x l
π
⇔ = − ⇔ = − +
, với
l ∈Z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
2
x k
π
π
= +
, với
k ∈Z
;

( )
arctan 2x l
π
= − +
, với
l ∈Z
.
Bài 22. Giải phương trình:
2
cos4 cos
6cos sin
sin
x x
x x
x

x
=


⇔

= −


,
2
x k k
π
⇔ = ∈Z
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình (22) là
,
2
x k k
π
π
= + ∈Z
.
22
Chú ý :
Các cách so sánh họ nghiệm
,
2
x k k
π
= ∈Z

,
2
x k k
π
π
= + ∈Z
. Vậy nghiệm của (22) là:
,
2
x k k
π
π
= + ∈Z
.
- Cách 2: Tìm điều kiện của số nguyên k để
2
x k
π
=
thỏa điều kiện xác
định của phương trình (22).
Ta có:
2
k l
π
π
≠

⇔
2k l≠

Với điều kiện trên, ta có: (23)
⇔
( )
2 2
2cos 2 1 2cos 2 cos sin5 sin .cos5x x x x x x− − + =
23
O
1
1
-1
-1
0
A
B’
π
2
π
y
x
.
.
XX
3
2
π
B
A’
⇔
( )
cos 1 sin5 sin .cos5x x x x− =

⇔

= +

, với
k ∈Z
.
Ta có:
*
2x k
π
= −
,
k ∈Z
, không thỏa điều kiện vì
( )
sin 5. 2 0k
π
− =
,
k ∈Z
.
*
2
9 9
x k
π π
= +
(với
k ∈Z

,
r ∈¥
và
10r <
9 5
9
10
r
k m
−
⇔ ≠ +
, với
m∈Z
,
r ∈¥
và
10r <
9 4k m⇔ ≠ +
, với
m∈Z
.
Vây nghiệm của phương trình (23) là:
2
9 9
x k
π π
= +
, với
9 4k m≠ +
,

khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu
quả cao
 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển
khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
3. Khả năng áp dụng
 Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách
Tốt Khá Đạt
 Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực
tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống
Tốt Khá Đạt
 Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng
áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng
Tốt Khá Đạt
4. Xếp loại
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tổ trưởng chuyên môn (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)