1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, học sinh phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngôn ngữ.
Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết
của người giải toán. Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách
khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí
quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như
thế nào? Những con đường mà người giải toán có thể trải qua để đi đến các lời
giải thoả đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu
theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu
cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Trong chương trình môn toán,hệ phương trình được đưa vào từ cấp 2 và
xuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông. Nó có vai trò quan
trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan.
Trong chương trình toán THPT,hệ phương trình được thể hiện dưới các
hình thức chủ yếu: Các hệ phương trình thông thường, các hệ phương trình vô tỷ
chứa các hàm lượng giác, các hệ phương trình chứa hàm lôgarit. Việc giải thành

3
B. NỘI DUNG
Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm,
cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực chất của sự
hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp
các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học
sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Ngay
cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp
không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy
nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài. Đây là
một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán.
Bước 2: Tìm cách giải. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ
có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài
toán hay liên hệ các giả thiết
Bước 3: Trình bày cách giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định
và thực hiện các bước đó.
4
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải. Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả

= 2, thay vào (1) ta được:
<=>
<=>
5
<=> x = 2y hoặc x = y thay vào hệ phương trình ta được các
nghiệm (x;y) của hệ là: (1;1), (-1;-1), , .
2.Kỹ thuật cộng đại số
Nội dung: + Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc
trừ theo vế hai phương trình.
+ Hoặc nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi
cộng vào phương trình còn lại.
+ Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích hoặc hằng đẳng
thức, từ đó tìm được mối liên hệ giữa x và y.
+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế
của hệ, hoặc cộng 2 vế của hệ sẽ được nhân tử chung( áp dụng cho hệ đối xứng
loại 2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ 2 phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x, y
Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:
<=>
<=> hoặc
• Nếu , khi đó ta được hệ: <=>
6
• Nếu , khi đó ta có hệ:
Từ x suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có
nghiệm . Do đó là nghiệm duy nhất của hệ này.
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Giải: Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:

8
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận thấy , không là nghiệm của hệ, xét khi đó rút
từ (1) thế vào (2), ta được:
<=> <=>
<=>
Vậy hệ có 3 nghiệm (x;y) là: (0; ), ( ; 0).
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
Giải: Thay từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được:
<=>
<=>
• Với <=> khi đó hệ trở thành
Hệ này vô nghiệm
• Với khi đó hệ trở thành <=>
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ( -2;-1).
9
II.PHƯƠNG PH ÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Áp dụng cho hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ
1.Kỹ thuật giải hệ đối xứng loại 1
Hệ có chứa các biểu thức: xy, x+y
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
Giải: Đặt S = , P = . Khi đó hệ trở thành:
<=> <=> <=> <=>
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (2;0), (0;2).
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:
Giải: Đặt , . Khi đó hệ trở thành:
Đặt S = , P = , khi đó hệ trên trở thành:
<=> <=> <=>
<=>
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (64;8), (8; 64).

• Với <=> <=> <=>
<=>
• Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1).
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện:
Với điều kiện trên, hệ phương trình tương đương với:
12

Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình:
<=>
• Với <=> <=>
• Với <=> <=>
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x;y) là: (2;1), ( ; )
III.PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1.Kỹ thuật dùng tính đơn điệu của hàm số
Nội dung: Biến đổi một phương trình của hệ thành .
Nếu chứng minh được hàm số đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền
xác định của hệ thì phương trình tương đương với lúc này
ta thế ngược lại hệ đã cho.
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:
Giải: Điều kiện:
13
Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành:
Xét hàm số trên miền xác định, ta có nên
đơn điệu trên miền xác định. Do đó <=>
<=> .
Thay vào phương trình (2) ta suy ra , .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:

=>
Vậy Thay vào (2) thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 2; 1).
15
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có:
<=> => .
Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra . Vậy .
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được:
(*)
Xét phương trình (*):
i).Với thì =>
=> , từ đó suy ra , hệ vô nghiệm.
ii).Với => =>
=> , từ đó suy ra , hệ vô nghiệm.
iii).Với => .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 1; 1).
3. Kỹ thuật sử dụng BĐT cổ điển.
Nội dung: Thông thường ta hay sử dụng các BĐT thông dụng như BĐT
Cauchy, Bunhiacopski để đánh giá hai vế của một PT. Từ đó sử dụng điều
kiện xảy ra dấu bằng của các BĐT thức để tìm nghiệm của PT.
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện:
16
Với điều kiện trên hệ tương đương với:
<=> <=>
Từ đây suy ra
Ta có:
.

Sau thời gian thực hiện các giờ dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm bài
kiểm tra sau đây với thời gian 1 tiết:
Câu 1: Giải hệ phương trình:
Câu 2: Giải hệ phương trình:
Câu 3: Giải hệ phương trình:
Nhận xét cách làm bài của học sinh:
+ Lớp đối chứng có 25 học sinh mắc sai lầm khi sử dụng phép biến đổi
tương đương để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ thành phương trình tích
ở câu 1. Lớp kiểm chứng có 8 học sinh mắc sai lầm này
18
+ Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm đúng
+Lớp đối chứng có 2 học sinh làm đúng câu 3, lớp kiểm chứng có 10 học
sinh làm đúng câu này.
Bảng thống kê và tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu được sau khi
chấm bài kiểm tra
Bảng 1: Thống kê điểm bài kiểm tra.
Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 số bài
Lớp kiểm chứng 12A
1
2 2 6 8 11 10 3 2 44
Lớp đối chứng 12A
4
1 4 5 7 11 6 4 1 39
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng:
X
= 6,73
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng:
Y
= 5,59
Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, khá - giỏi)

[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD,
1995.
[3] Phạm Văn Điều (Chủ biên), Phan Đức Chính, Đỗ Văn Hà, Phan Văn Hạp,
Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê
Đình Thịnh, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, Tập III,
NXBĐHQGHN, 2000.
[3] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số 10, NXĐHQGHN,
1997.
[4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003
[5] G.Polia, Giải bài toán như thế nào, NXBGD, 1997.
[6] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa
tuổi và tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995.21