CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Qua
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
n A.
tâm 1. Vectơ pháp tuyến của mp (P): n→≠0→ là vectơ pháp tuyến của (P)⇔n→⊥(P).
7
Đưa 2. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) : hai vectơ không cùng phương a→,b→ là
vào cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá cùng song song với (P).
sổ
tay 3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n→ và cặp vectơ chỉ phương a→,b→ : n→=[a→,b→]
4. Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) :
(P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0
Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 thì có vectơ pháp
tuyến n→=(A,B,C) .
5. Phương trình mặt phẳng đi qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) :
xa+yb+zc=1
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0.
7. Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0
d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√
8. Góc giữa hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0
cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−−
−−−−−−−−√
Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng thì có hai phương pháp chính
Phương pháp 1. Xác định 1 điểm mà mặt phẳng đi qua và 1 vectơ pháp tuyến.
Phương pháp 2. Xác định 1 vectơ pháp tuyến và tham số D trong phương trình dạng tổng
quát Ax+By+Cz+D=0.


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng I. Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến


Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt
phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 và cách
điểm M(1;2;–1) một khoảng bằng 2√.
Lời giải :
Phương trình mp(P) đi qua O(0,0,0) nên có
dạng : Ax+By+Cz=0

(A2+B2+C2≠0).

Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B

(1)

d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−−
−√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2)

(2)

Từ (1) và (2) ta
được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0

(3)8A+5B=0 (4)

Từ (3):B=0,C=–A. Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0
Từ (4):8A+5B=0. Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 .
Ví dụ 4. (Đại học Khối D−2010)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng (P):x+y+z−3=0 và (Q):x−y+z−1=0. Viết phương trình mặt

Lời giải :
(d) qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u→=(1;−1;−2)
(P) có VTPT nP−→=(2;−2;−1).
Giao điểm M(0;0;m) cho AM−→−=(−1;0;m)
(Q) có VTPT nQ−→=[AM−→−,u→]=(m;m−2;1)
(Q) và (P):2x−2y−z+1=0 tạo thành góc 60∘ nên :
|cos(nQ−→,nP−→)|=12⇔12m2−4m+5−−−−−−−−−−
−√=12⇔2m2−4m+1=0⇔[m=2−2√m=2+2√
Kết luận : M(0;0;2−2√) hay M(0;0;2+2√)


C. CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
Bài 1. (Đại học Khối B−2010)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), trong
đó b,c dương và mặt phẳng (P):y−z+1=0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông
góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 13.
Hướng dẫn :
Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x1+yb+zc=1
Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P):y−z+1=0, suy ra: 1b−1c=0
Ta có: d(O,(ABC))=13 ⇔11+1b2+1c2−−−−−−−−−−√=13⇔1b2+1c2=8

(1)
(2)

Từ (1) và (2), do b,c>0 suy ra b=c=12.
Bài 2. (Đại học Khối B−2009)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các
đỉnhA(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn :

(hoctainha.vn)
Thíc
h
182.161 người thích Học Tại Nhà (hoctainha.vn).