Giới hạn hàm một biến

Giới hạn của phần toán đại cương ở đại học sẽ có thêm nhiều công cụ mạnh mẽ giúp ta giải toán
nhanh hơn, tuy nhiên có nhiều bài toán khó nhận dạng và đòi hỏi kết hợp nhiều phương pháp.
Giới hạn hàm số là chương cơ bản nhất, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững để dễ dàng học tốt các
phần mới hơn đó là tích phân suy rộng, chuỗi số,… Trong tài liệu này, mình sẽ tổng hợp các
phương pháp giải toán, các ví dụ, bài tập cơ bản và hướng dẫn chi tiết. Có thể trong tài liệu có
nhiều phần sai sót, mong các bạn thông cảm.
Mình sẽ tóm tắt phương pháp tính giới hạn mới mẻ đó là qui tắc L’Hospitale để áp dụng vào
các bài toán giới hạn. Phần này sẽ học kĩ hơn ở phép tính vi phân.

Mục lục
1 Giới hạn hữu hạn 2
2 Giới hạn một phía
2
3 Các qui tắc tính giới hạn 2
3.1 Các phép toán trên giới hạn 2
3.2 Định lí kẹp giữa 4
3.3 Giới hạn của hàm hợp 5
4 Các dạng vô định 5
5 Giới hạn các hàm số sơ cấp 6
5.1 Giới hạn hàm lượng giác 6
5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 7
5.3 Giới hạn của hàm số mũ 7
5.4 Giới hạn của hàm số Logarith 8
5.5 Dạng vô định 1 8
¥
5.6 Một số dạng vô định mũ: 9
0
0,¥
0

lim
xx
f
x

0
và
(
)
f
x
0
là độc lập với nhau.
 Sự tồn tại của
(
)
lim
xx
f
x

0
chỉ phụ thuộc vào
()
f
x với những x khá gần x
0

()
x

ï
ï
=
í
ï
=
ï
î
()
22
lim lim 2
xx
gx x

==
()
21g =
2 Giới hạn một phía
Ví dụ: Cho hàm số . Tính các giới hạn:
()
()
2
2
1if 1
1if 10
if 0
ì
ï
-£
ï

=-=-=-

2.

()
() (
1
22
1
1
lim 1 l mm ii 1l
x
x
x
xxfx
++

-

= += +=
)
2
3.

() () ()
22
2
00 0
lim lim lim
+ + 

Ví dụ: Cho hàm số
()
4if 4
82 if 4
xx
fx
xx
ì
ï
->
ï
=
í
ï
-<
ï
î
. Tính .
()
4
lim
x
fx

Giải: Hàm
số
()
f
x có hai biểu thức khác nhau về hai phía của x=4 do đó để tính giới hạn ta cần
tính các giới hạn một phía

Do
() () ()
lim lim lim
xx x
fx fx fx
+ - 
=
44 4
0=
3 Các qui tắc tính giới hạn
3.1 Các phép toán trên giới hạn
Nếu
lim ( ) ,lim ( )
xa xa
f
xL gxM


và k là một hằng số, m,n là các số nguyên thì
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 2
a.
Phép cộng đại số:



]lim[
xa
f
x


m
m
n
n
d.
Lũy thừa: lim
xa
f
xL



nếu n chẵn,


0L  nếu n lẻ 0L

e.
Thứ tự: Nếu
 
f
xgx thì
LM





44
lim 2,lim 3

lim .lim 4.( 3 12
xxx


c.
 


2
2
2
44
lim lim 3 9
xx
gx gx









4
4
44
lim
3
lim 3



tìm


2
lim
x
f
x





2
5
lim 3
2
x
fx
gx gx
x





Giải: Đặt


0
lim
x
f
x

b. Cho
0x
lim



2
0
lim 2
x
fx
gx gx
x


 Giải: Đặt 
ó:Vậy ta c






,


xx
x

: Tính cá


22
2
2
00 0
22
93 1 1
lim lim lim
6
93
93
xx x
xx
x
x
xx
 






Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 3

vĐể tính giới hạn của hàm số chứa căn thức là một đa thức:
- có nghĩa
-
Áp dụng:

Px





lim lim
xa xa
Px Px Pa


ẳng thức
 


f
xgxhx thỏa mãn với mọi a (có thể x thuộc một khoảng chứa
không thỏa mãn tại
x
a ). Khi đó:
  
lim lim lim
 xa xa xa

f

3
xx
xx
x

 

0
li
m
x
u


b.
Tính g
2
0
1
lim sin
x
x
x


Giải: Ta có
1
1sin 1, 0x
x
 ác vế của bấ  . Nhân c t đẳng thức với x

Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng


lim
xa
Px A
Qx


với ột a
0:
một lượng liên hợp :

 
,Px Qxlà m đ
thức và
 
,Pa AQa
- Nhân tử và mẫu với


Px A


-
Đơn giản các đa thức giống nhau ở tử và mẫu, áp dụng phép thế.
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 4

Áp dụng: Tính giới hạn
2

xx
x

 nên:
22
00
11
lim sin 0 lim sin 0
xx
xx
xx




ạn của hàm hợp
Ví dụ: Vì
3.3 Giới h
2
2
2
lim
4
x
x



 và
2
0
 0
0
0
sin
lim
x
x
x



2
0
1
ln
lim
cot
x
x
x


0
1

x
x

0
lim
x
x
x

Nếu

xa
lim
f
xL thì



lim
xa
f
xL



f
uL


thì




lim
o
xx
f
ux L



Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 5

1
¥

1
lim 1
x
x
x
¥
æö
÷


sin
lim 1


o
xx
ux
ux

Ví dụ 1:
a) Vì
2
2
sin
lim 0 lim
x
x

2
00
1
xx
x


b)
Vì
222
2

2
.
xx

22
11
sin 2 sin sin 2
2
lim lim lim . lim 2 3
1212
xx
xx xx xx
x
xxxxxx
  
  



11
xx
d)
Vì

1
lim 1 0
x
x



Ví dụ 2 :
2
0
1cos
lim
x
x
x



2
1cos2
sin
x
Giải: Ta có
2
x


, áp dụng:

2
2
22
00 0
2sin sin
1cos 1 1
22
lim lim 2lim .1

2
00 0
2sin sin
1cos 1
22
li
xx

m lim 2lim .sin 2. .0 0
22
2.
2
x
xx
xx
x
xx
 

 

Ta thừa nhận hai kết quả giới hạn trên mà không cần tính lại:
00
2
1cos 1 1cos
*lim *lim 0
2
xx
xx
xx






0
li
m
0
11
11
1
lim





xx
ux
ux
ux n

Ví dụ: Tính các giới hạn:
1.


n





2.

m
2
0x
1si
lim
xxn1
x


i:
2
00
1sin1 1sin1sin 1 1
lim lim . .1
sin 2 2
xx
xx xx x
xxxx

 
 Giả 
5
0

2
x
xx xx
xxx
xx
xx
xx
x
 


       

 


 


Giải:
x
x
5.3 Giới hạn của hàm số mũ
00
11
*lim ln *lim 1
xx
xx
ae
a



Ví h các giới hạn:
1.

dụ: Tín
2
0
lim
x
x
x
ee
x




2
Giải:
00x
1
lim lim 1
xx x
x
ee e
e
x



ex
xx
 


5.4 Giới hạn của hàm số Logarith
cos 1 1 cos 1 311
x
e xe x

0
ln 1
lim 1
x
x
x




Nếu

li
x
thì:
0
m 0
x
ux







00x
ln 1 4
ln 1 4
lim lim 4 . 4
4
x
x
x






2.

x
x


0
ln 1 sin
lim
x
x

x
x
x



Giải:







2
2
2
0
ln cos
lim
1x
1cos
11
. . 1.1.
1 2 2
ln 1
1
x
x
x

xx
vx

=¥
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 8
()
()
() ()
0
0
1lim .
lim
xx
xx
u vx
vx
x
eux

ộự
-
ờỳ
ởỷ

=

Vớ d: Tớnh gii hn:
1
sin
1tan

1s
in
x
x
x
an
lim
x
e
x



x
x
x











Ta cú:



sin
0
0
1tan
lim
x


Vy
1
1sin
x
x
e
x





2.

1
23
lim
21
x
x
x
Ơ

ổử
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
+
21
li
1 . 1
lim
1
21
21
x
x
xx
x
x
x
x
ee
ee
Ơ
Ơ
ổử
+
+
ữ

x
x
x
eux


=

Sau ú ỏp dng cỏc gii hn ó bit.
6 g
õy l khỏi nim quan trng giỳp ta gii quyt cỏc bi toỏn gii hn phc tp
6.1 Khỏi nim vụ cựng bộ, vụ cựng ln
Vụ cựng bộ v vụ cựn ln
nu
()
0
lim 0
xx
x


= Hm s
()
x

c gi l ụ c nv ự g bộ khi
0
x
x
()

ln cos
x
là một vô cùng bé khi vì 0x 
0x
3.

()
arctan 2x + là một vô cùng bé khi 2x - vì lim arctan 0x =
lim ln cos 0x =
2x-
4.

1
2
x
là một vô cùng lớn khi
0x 
vì
2
0x
x

1
lim
=+¥
1
5.
sin
x
là một vô cùng bé khi 0x  nên

¥
= nên
1
là vô cùng bé khi
¥

x
x
 sin x£1, x"Î nên sin
x
là một đại lượng bị chặn
 Do đó,
1
.sin
x
x
là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên
1
.sin
x
x
là
một vô cùng bé khi
x
¥
Kết luận:
si
lim
n
0

, 0x nên
x
£"¹
1
sin
là một đại lượng bị chặn
x
1 1
sinx
x
 Do đó,
sinx
x
là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên là
cùng bé khi
Kết luận:
một vô
x

0
0
1
lim .sin 0
x
x
x

=
6.2 sánh các vô cùng bé.1 So
Cho

()
x

)
 Nếu
()
()
lim
x
x
x



=¥
0
thì
() ()
()
x
ox

=
(
()
x

là vô cùng bé bậc cao hơn
()
x



= thì ta nói
() ()
,
x
x

x
là hai vô cùng bé tương đương. Ký hiệu:
() ()
~
x
x


6.2.2 Các vô cùng bé tương đương
~ x khi
khi
3.
khi
x
1. sin x 0x 
2.
tan x 0x  ~ x
()
ln 1 ~+ xx 0x 
4.
1~
x

)
(
)
(
)
(
)
trong đó
() ()
~
x
x

, Cho ,,,
x
xxx

là các vô cùng bé khi
x
x
0
() ()
~
x
x

. Khi đó:
()
()
()

xxx+- =
1
1~
2

 do đó
 Theo nguyên lí thay vô cùng bé tương đương ta được:
Khi
x03 0x  tan 3 ~ 3xx
00
12 1 1
lim lim
tan3 3 3
xx
xx
xx

+-
==

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 11
sin
0
1
lim
ln cos
xx
x
e
x

éù
=+ - -
ëû

 Theo nguyên lí thay vô cùng bé tương đương ta có:
sin 2
2
00
1
lim lim 2
ln cos
2
xx
xx
ex
x
x

-
==
-

-
6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao
Cho:
trong đó
() () () ()
rx x x x
 
=+++

() ()
~rx x


Ví dụ: tính giới hạn:
25
1.

34
0
li
sin 3 2 tan
xx x++
i: Khi ta có
m
36
x
xx
x

++x  0 sin ,3
x
x
Giả lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấp nhất và duy nhất của
tử thức và mẫu thức.
ng nguyên lý bỏ q
uaÁp dụ các vô cùng bé bậc cao ta được:

+

i: Khi ta có
2.

x  0 sin5 ,
x
x
Giả lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấp nhất và duy nhất của
tử thức và mẫu thức.
guyên
ua các Áp dụng n lý bỏ q vô cùng bé bậc cao ta được:
()
22
22
00
li
m lim
arcsin
xx
xx
x

=
++
sin 5 tan ln 1
sin5
5
xx x
x

f
x

()
0
và
f
x là độc lập với nhau.
7.1
1. Ta nói hàm số f liên tục tại x
0
nếu
Định nghĩa hàm số liên tục
() ( )
0
0
lim
xx
f
xfx

=
()
lim2. Nếu
0
xx
f
x

3. Ta nói hàm số

0
xx-
ềĐi u kiện liên tục: í dụ: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm
.

()
f
xHàm số
f
liên tục tại
V
0

ï
x
fx
tại
if
2
=x
() ()
0
0
1
2
x
fx fx
=
==

()
00 0
1 sin 1
lim lim li
x
fx
+-
=
1 1 sin 1sin
sin
m.
2
xx x


(
)
0
f
x
tồn tại (
0
x
thuộc
()
Df
)
()
lim tồn tại ( f có giới hạn tại x
0
) 2.
0
xx
f
x

3.
0
lim
xx
() ( )
0
f
xfx= (giới hạn bằng giá trị của hàm số)

x xác định tại x
0
và
()
0
lim
xx
f
x

tồn tại nhưng
(
)
(
)
0
0
lim
xx
f
xfx

¹
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 13
2. tại
4
nên
()
2
if 2

() ()
lim lim
2- 2+
¹
xx
gx gx
(
)
li
Giải: Ta có
m
2x
gxkhông tồn tại. Vậy
3.

=2x hàm
số gián đoạn tại
()
x
x
x
hx x
x
x
ì
ï
1
ï
<0
ï

x
0- 0-
1
=¥=-
lim lim không hữu hạn nên hàm số
(
)
hx gián đoạn tại
.
Các hàm số sau đ iền xác định của nó (nếu là đ
iểm biên
liên tục tại một phía).
1.
Hàm đa thức
2.
Hàm hữu tỉ
3.
Hàm lũy thừa
x =0
Định lí: ây liên tục tại mọi điểm thuộc m
thì chỉ
yx

= với

là hằng số
và hàm số logarith
5.
Các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược.
4.

Giải:
 Với x £3ta có
()
fx x= là hàm số sơ
(
)
fx liên tục trên khoảng
 Với ta có
()
,-¥ 3
x >3
()
fx x x
1
2
== là hàm số sơ cấp. Do đó,
(
)
fx liên tục trên
 Tại ta có:
khoảng
,
()
3+¥
x =3
()
()
() ()
xx
xx

fx
không liên tục trên


Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 14
()
if
if
sin x
x
ì
ï
ï
¹0
2.

gx
x
x
ï
ï
=
í
ï
ï
1=
0
ï
ï
î

(
)
gx liên tục tại =0
 Vậy
x
(
)
gx liên tục trên
Ví d tục trên
1.

là hàm số sơ cấp nên nó liên tục trên
là đa thức bậc nhất nên liên tục trên
 Theo đề bài,

ụ: Tìm a để hàm số sau liên  :
()
if.
x
x
fx
ì
ï
43 <0
ï
ï
=
í

if

7.2.1 Điểm gián đoạn khử đượ
x =0
() () ()
lim lim
xx
fx fx f a a
0- 0+
==04=2
Vậy
a =2 là giá trị c tìm.
cos ,xx
ì
ï
0£
2.

()
()
,
x
x
f
ax
ï
ï
=
í
ï
-1 >0
ï

fx
0
b= thì hàm
(
)
fx trở nên liên tục tại , tức là gián đoạn có
7.2.2 Đ
x
0
thể khử được.
iểm gián đoạn loại 1
gián đoạn loại 1 của hàm
(
)
Điểm fx nếu cùng tồn tại nhưng
() ()
lim , lim
xx xx
fx fx
00
+ -
()
lim lim
xx xx
fx fx
00
+ -
¹
()


điểm
3.
Tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô cùng của
ng vô định 0/0
) (
,gx ãn các điều kiện
( )
fx
() ()
lim ; limfx gx=0 =0
xa xa
2.

() ()
,fx gx khả vi trong lân cận nào đó của điểm xa= và
()
'gx¹0
có thể trừ ra
chính
xa=
()
()
'
lim
'
xa
fx
gx



()
()
()
'
lim lim
'
xa xa
fx f x
gx g x

= Khi đó:

(
)
(
)
'
'
fx
gx
Chú ý: Nếu thương lại có dạng vô định 0/0 hay /¥¥ tại xa= và ', 'fg tiếp tục
c điều kiện của qui tắc thì ta có thể tiếp tục đạo hàm cấp 2 hoặc nhiều hơn nữa.
8.3 Các dạng vô định khác
ịch đả
thỏa m
ãn ác
1.
Dạng .0¥: ngh o một trong hai số hạng để xuất hiện dạng vô định hoặc
/¥¥ và áp dụng qui tắc Lôpitan.
2.

fx
fx
fx
=1-
êú
êú
ëû

gx
gx
éù
êú
-
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 16
Để xuất hiện dạng vô định
ạng : có thể đưa về dạng Một số dạng vô định
.0¥
3.
D bằng công thức đã nêu ở ,
00
0¥ .0¥
mũ:
Mặc dù qui tắc Lôpitan là một công cụ mạnh để tính giới hạn nhưng không thể thay
ác.
Ví dụ: Tính giới hạn
thế toàn bộ các phương pháp tính giới hạn kh
1)

lnxx
2

x
ee
1
=
-
xx
x
e
e
ee
1 1
3
=
-

2)

lim
x
x
e
+¥

n
x
Giai: Ta có dạng vô định . Áp dụng qui tắc Lôpitan:
/¥¥
lim lim
nn
xx

nn x nn
xnx
ee e e
n

+¥ +¥ +¥ +¥
-1 -1 2 1
== ==

Giải: Ta có dạng vô định , nghịch đảo một trong hai thừa số (ở đây nghịch đảo sẽ
đơn giản hơn)
x
x
e
+
¥
==
0
3)
lim ln
x
xx
0+

.0¥
x
ln
ln
x
xx

x
x
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
lim
x
x
x
0+

0
0
ln ln
x
xx xx
eex ==
lnxx
lim ln
x
xx
0+
=0
Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 17
lim ln

cos ta
lim
l nn
x
x
x
x
e

2
p
s tanx
22

+
lnx
lim limtan
xx
x e

==
pp

lim cos ln tan
x
xx

2
p
có dạng vô định .0¥. Nghịch đảo cosx

cosx
1
cos
cos .tan
lim lim
sin
sin
x
x

2
co
s
x
x
xx
x
x
2
2

2
2
==
=0
pp

Vậy:
()
lim ln

lim
sin
x
x
x
x
2
0
1

sin
lim
sin
x
xx
xx
¥
-
+
b.
không thể tính được bằng qui tắc Lôp
ải:
a.

itan. Tính các giới hạn đó:
Gi
()
/
/
sin

sin sin
xxx
x
xx
x
0
0 0
==
10=
x
x
x
2
1
1
0

b.

()
()
/
/
sin
cos
tan
cos
sin
xx
xx

Ơ
1-
-
=
+
1+
sin x Ê1
9 Bi tp c bn v li gii
1. Tớnh cỏc gii hn sau:
lim . lim
. lim . li
.
m
xx
xx
xx
c
xx
x
bd
x
xx x
a
2
-4 2
0 2
+9-5 4 +1-3
+4 -2
ổử
611

1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-=
ữ
ỗ
ữ
lim
.
lim
. lim lim lim
.
xx x
x
x
xx x
xx x
x
x
xx
xx
xx
xx x
xx
xx
a
x
x


-16
x
x
xx
0
ữ
ỗ
ốứ
1+
. lim lim .
xx
xxx
d
x
xx
2 2
6- -2 2- 3- +1 1
==
2- 2
3- -1 6- +22.
Bit rng
()
lim
x
fx
x

() ()( ) () ( )
lim lim lim .lim lim .
xx xx x
fx gx x gx x
1 1 1 1 1
ộ
ự
= -1+8= -1+8=010+8=8
ờ
ỳ
ở
ỷ

3.
Bit rng . Tớnh
Gii: Ta cú:
Theo nh lớ kp gia
2
()
gxxxx cos ,
2
2ÊÊ2 "-ẻ
()
x
gxlim
0()
lim lim cos

ï
ï
î
<0
>0
4.
Cho hàm số: . Tính các giới hạn một phía từ đó suy ra
()
lim fx.
Giải:
a có
x 0

sin s
 T
inxx
22
0£ £
mà
xx
11
£
£10
lim lim lim in lim sins
xx0
0x x
xx x
xx
22 2
0  0

cos tanxx x+3-tan sin
.lim .lim .lim
sin cos sin
xxx
x x x
abc
xx x
x
3
0 0 0
8

Giải:

()
cos
cos cos
. lim lim lim .
sin cos sin cos sin cos
tan sin sin
. lim lim lim . .
sin
xx
x
b
x
x
0
==
8

cos
x
x
x
x x
xx
xx x
3 2
0 0
æö
1
÷
ç
÷
-1
ç
÷
ç
÷
ç
1-1
èø
==
1
=

6.
ác giới hạn:

2

++
2
jj
jj

-
4

Giải:

sin
. lim lia
0
2
=
2
jj
j
j
sin
m .
0
211
=
22
2
j
j

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 20

x
xx
0 0
2
0 0
0 0
2
-2
22
=2=2
2
æö
++ 1 1
÷
ç
÷
=++ =1
ç
÷
ç
÷
ç
2222
èø
1- 1- 2 1 1
==
2222
+2
-4
=-2=-4

()
tan arctan
lim lim
arctan arctan
xx
x
x
xx
0 0
==1
hay
arctan x
x
=1
lim
x 0
(đpcm

7.
Tính các giới hạn
)
() ()
()
sin
sin cos in
()
()
sin s
lim . lim . lim
sin

Giả
x
xx
2
-
1-
b
i:
() ()
() ()
() ()
()
sin cos sin cos
cos
lim = lim
0

. =1.0=0
cos
sin sin
m . . . .
sin
sin sin sin sin
sin
. lim lim .
sin
sin sin
. lim lim
.
.

==1
++
=1+=2
+.
lim li
sin
xx
b
x
0
+ 
=
() ()
()
() ()
sin sin
. lim
xx
e
lim .
sin sin
. lim lim .
xx
xx
x
x
x