SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIÁO VIÊN : ĐINH VĂN LÊ
TỔ: TOÁN - TIN
ĐỒNG NAI, THÁNG 4 NĂM 2014
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

1
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ
Người thực hiện: Đinh Văn Lê
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: 
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm: 
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013 – 2014
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: Trường THPT Kiệm Tân Độc lập- Tự do – Hạnh phúc
Thống Nhất, ngày 02 tháng 04 năm 2014
2
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013-2014
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

1. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN.
3
Họ và tên: Đinh Văn Lê .
Ngày, tháng, năm sinh:14/07/1985.
Giới tính: nam
Địa chỉ: Bạch Lâm – Thống Nhất – Đồng Nai.
Điện thoại: 0982573962.
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Kiệm Tân.
2. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm.
Năm nhận bằng: 2008.
Chuyên ngành đào tạo: Toán.
3. KINH NGHIỆM KHOA HỌC.
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán .
Số năm kinh nghiệm: 6 năm.
4
MỤC LỤC
Phần 1. MỞ ĐẦU………………………………………………………Trang 6
Phần 2. NỘI DUNG
Chương I. Cơ sở thực tiễn và lý luận của đề tài……………………… Trang 9
Chương II. Những sai lầm học sinh thường mắc phải…………… Trang 10
Chương III. Một số phương pháp khử dạng vô định……………… …Trang 18
Phần 3. Kết luận………………………………………………… ….Trang 28
Phần 4. Tài liệu tham khảo……………………………………… ……Trang 29
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học
công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa,

- Giúp giáo viên đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp để học sinh tránh mắc phải những sai
lầm đáng tiếc.
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm
cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất
lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 11 trường THPT Kiệm Tân
4. Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ
học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình lớp 11”.
5. Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình. Nắm vững
và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn trong
các kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học
sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng
các nhóm phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp thực nghiệm, kinh nghiệm giảng dạy
7. Cấu trúc của đề tài:
+ Mở đầu
+ Nội dung:
-
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
7
-

I. Giới hạn của dãy số
1. Các giới hạn đăc biệt
1
)lim 0a
n
=
;
1
lim 0
k
n
=
;
lim
k
n = +∞
, với k nguyên dương.
)lim 0
n
b q =
nếu
1q <
;
lim
n
q = +∞
nếu q>1.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu
lim

với mọi n và
lim
n
u a=
, thì
0a ≥
và
lim
n
u a=
.
3) Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
a) Nếu
lim
n
u a=
và
lim
n
v = ±∞
thì
lim 0
n
n
u
v
=
.
b) Nếu
lim 0

.
II. Giới hạn của hàm số
1. Các giới hạn đặc biệt
0
0
) lim
x x
a x x
→
=

0
lim
x x
c c
→
=
( c là hằng số)
) lim
x
b c c
→±∞
=

lim 0
x
c
x
→±∞
=

0
lim ( )
x x
g x M
→
=
, thì
10
•
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
→
± = ±
•
[ ]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
→
=
•
0
( )
lim ( 0)
( )
x x

lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
0L >
+∞
+∞
−∞
−∞
0L <
+∞
−∞
−∞
+∞
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x
g x
0

−∞
−
+∞
B. Những sai lầm học sinh thường gặp phải:
I. Giới hạn của dãy số
Ví dụ 1: Tính giới hạn:
2
lim( )n n−
11
- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2 2
lim( ) lim lim ( ) 0n n n n− = − = +∞ − +∞ =
Vậy
2
lim( ) 0n n− =
- Phân tích sai lầm:
Học sinh đã áp dụng định lí về các phép toán giới hạn của dãy số mà không để ý là định lí chi
áp dụng khi các giới hạn là hữu hạn. Sai lầm thứ hai là học sinh đồng nhất các kí hiệu
+∞
như
là một số. (Nếu
lim
n
u a=
và
lim
n
v b=

lim
2
n
n n
+
−
- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2
2
1
2
2 2
lim lim
1 2
1 2 0
n n
n
n
n n
+
+
= = = +∞
−
−
Vậy
2
2
lim

2
2
1 1
( 2) ( 2)
2
lim lim lim
1 1
1 2
( 2) ( 2)
n n
n n
n n
n
n
n n
+ +
+
= = = −∞
−
− −
vì
limn = +∞
12
v à
1
2
lim 1 0
1
2
n

Học sinh bị lẫn lộn giữa hai khái niệm giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực trong việc
biến đổi các phép toán về giới hạn (Nếu
lim
n
u = +∞
và
lim 0
n
v a= >
thì
lim .
n n
u v = +∞
.)
- Lời giải đúng:
Ta có:
2 2
2
2
( 1 )( 1 )
lim( 1 ) lim
1
n n n n
n n
n n
+ − + +
+ − =
+ +
n n
n n n n
+ + +
= + + +
+ + + +
0 0 0 0
= + + + =
- Phân tích sai lầm:
Các định lí về phép toán giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong lời giải trên
đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm.
- Lời giải đúng:
Ta có:
.( 1)
1 2
2
n n
n
+
+ + + =
do đó:
2
2 2 2
2
1
1
1 2 .( 1) 1
lim lim lim lim
4
2 2.( 2) 2 4 2
2

1
2
2 0 2
lim
3
0 5 5
5
x
x
x
→
+
+
= =
+
+
- Phân tích sai lầm:
Học sinh đã áp dụng
lim 0
x
c
x
→±∞
=
mà không chú ý
0x →

- Lời giải đúng:
14
Ta có:

−
−

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
1
2 7 2.( 1) 7 9
lim
1 1 1 2
x
x
x
−
→
− − −
= =
− − −
- Phân tích sai lầm:
Học sinh không hiểu rõ bản chất của giới hạn bên trái, giới hạn bên phải. Măc dù đây là
sai lầm ít học sinh mắc phải nhưng trên thực tế vẫn có.
- Lời giải đúng:
Ta có:
1
2 7
lim
1
x
x
x

+

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2
2
2 2 2
1 1 1
.(1 ) . 1 1
1
lim lim lim lim 1
1 1
1 1
(1 ) 1
x x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ + +
+
= = = =
+ +
+ +
- Phân tích sai lầm:
Học sinh không để ý khi đưa x ra khỏi căn trong khi

lim( 4 2 )
x
x x x
→−∞
− +

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2 2
1 1
lim( 4 2 ) lim ( (4 ) 2 ) limx( (4 ) 2) .0 0
x x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
− − = − − = − − = +∞ =
- Phân tích sai lầm:
Học sinh nắm không vững điều kiện để áp dụng định lí và đồng nhất kí hiệu
+∞
như là một số
- Lời giải đúng:
Ta có:
2 2
2
2 2
( 4 2 ).( 4 2 )
lim( 4 2 ) lim lim
4 2 4 2
1

2
2 2
( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
lim( 1 ) lim lim
1 1
x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞
+ − + + + − + +
+ − = =
+ + + +
2
2
1
1
lim lim
1
1
1 1
x x
x
x x
x
→−∞ →−∞
=
+ +
− + +
( dạng

Trong giới hạn chương trình môn toán lớp 11 các dạng vô định thường gặp là:
0
; ; ;0. .
0
∞
∞ −∞ ∞
∞

I. Dạng vô định
0
0

Giới hạn dạng vô định
0
0
là một trong những giới hạn thường gặp nhất đối với bài toán
tính giới hạn hàm số. để tính các giới hạn có dạng này phương pháp chung là sử dụng các
phép biến đổi( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân với biểu thức liên hợp, thêm, bớt các
hạng tử…) để khử dạng vô định.
Loại 1.
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
mà f(x) và g(x) là các đa thức và
0 0

2
1 2
( ) ( )( )f x ax bx c a x x x x
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
− = − +
− = − + +
+ = + − +
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
A B A B A B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
Ví dụ áp dụng: Tính các giới hạn:

)
2
x -3
2x +4x -6
a lim
x+3
→

2
2

→ → →
− − + − − −
= = = =
− − + − − −
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau
( )
2
2 2
3
2
2
2 2
2
3 1
1 0
3 1
3 2 3
1/ 2 /
2 3 2 1
1 1
2
3 / 4 /
1
2 15 2 3 1
5 / 6 /
3 1
x x
x x
x x
x x x

− −

3
2
1
2 5 4
8 / lim
( 1)
x
x x
x
→−
− −
+

2
2
4
9 / lim
2
x
x
x
→−
−
+

2
2
3

( )( . ) A B
( )( . ) A B
A B A B
A B A B
A B A A B B
A B A A B B
+ − = −
+ − = −
+ − + = +
− + + = −

Ví dụ áp dụng: Tính các giới hạn:

0
4
/ lim
9 3
x
x
a
x
→
+ −

2
2 2
/ lim
2
x
x

−

19
Giải:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0
4 9 3 4 9 3
4
/ lim lim lim
9 9
9 3
9 3 9 3
4 9 3
lim lim 4 9 3 24
x x x
x x
x x x x
x
a
x
x
x x
x x
x
x

x x x
x x
x x
x x
b
x
x x x x
x
x
x x
→ → →
→ →
− +
− −
= =
−
− + − +
−
= = =
+
− +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 2 2 2 7 3

= = = =
+ +
− + +
2
*
1
3
d )lim
1
x
x x x
x
→
+ − +
−
Nếu ta yêu cầu học sinh giải bài toán trên thì thật không đơn giản, giới hạn này có dạng
0
0
, học sinh sẽ nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, lúc đó biểu thức ở tử là một đa
thức bậc bốn điều này dẫn đến khó khăn khi phân tích thành nhân tử chung. Thay vào
đó ta đưa ra các bài toán sau, tính:
2
1
2
1.lim ( 3)
1
x
x x
x
→

−
=
2
3
1
x x x
x
+ − +
−
Như vậy
2 2
1 1 1
3 2 2 3 1 11
lim lim lim 3
1 1 1 4 4
x x x
x x x x x x
x x x
→ → →
+ − + + − − +
= + = − =
− − −
Để giúp học sinh biết vận dụng kỹ thuật trên một cách linh hoạt, ta có thể đặt vấn đề
cho học sinh: nếu không có hai bài toán 1 và 2, thì các em giải bài toán 3 như thế nào?
Câu trả lời sẽ là: Bớt 2 và thêm 2 ở tử rồi tách ra hai bài toán.
Lúc này sẽ có nhiều học sinh thắc mắc nếu thêm bớt một số khác 2 thì có được không?
Ta cần làm rõ ý tưởng then chốt cho học sinh: Số cần thêm bớt là số sao cho khi tách ra
các bài toán nhỏ, các giới hạn cũng có dạng
0
0

 
− − + −
 ÷
− −
 
Lúc này cần chốt cho học sinh ý tưởng, để giải một bài toán khó, có thể tìm cách tách
bài toán đó thành nhiều bài toán nhỏ sao cho mỗi bài toán nhỏ đều có thể giải được.
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
4 2
0
x
1 / lim
x
x
+ −
→

2 1
1
1
x x
2 / lim
x
x
− −
−
→

1 1
3 2 9

1
1
x
6 / lim
x
x
+ −
−
→
3 2
1
1
x
7 / lim
x
x
+ −
−
→

2 1
1
12 11
x x
8 / lim
2
x
x x
− −
→

x
→−
+ −
+ −

3
2
2
8 11 7
12 / lim
3 2
x
x x
x x
→−
+ − +
− +
21
II. Dạng vô định
∞
∞
( tính
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→

x
x
a
x
→−∞
+
−

2
1
/ lim
1
x
x
b
x
→+∞
−
−2
1
/ lim
1
x
x
c
x
→+∞

x
x
a
x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
 
+
+
 ÷
+
 
= = = =
−
 
−
−
 ÷
 
2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1

2
2 22
2 2
1 1
1 1
1
/ lim lim lim
1
1 1
1
1 1
1 1
1
lim lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
c
x x
x
x
x
x x
x

1 1
1
/ lim lim lim
1
1 1
1
1 1
1 1
1
lim lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
d
x x
x
x
x
x x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞

→+∞
−
−

3 2
6 4
2 1
2 /
3 2 1
x
x x
lim
x x
→−∞
− +
+ +

2
2
2 3 1
3 /
3 5
x
x x
lim
x x
→−∞
+ +
− +


3 8
6 /
6 1
x
x x
lim
x x
→−∞
+ −
− +
2
33
2 3
7 /
1
x
x x
lim
x x
→−∞
+ +
− +

2
4 1
8 /
3 1
x
x
lim

11/
2 3
x
x
lim
x
→−∞
+
+

( )
( )
4 2
3
1
12 /
1 1
x
x x
lim
x x
→+∞
+ +
+ −
III. Dạng vô định
∞ −∞
( Tính
0
lim[ ( ) ( )]
x x

)
(
)
1 2 2
3/ x 1 4 / x 1
2 2 2 2
x + x
2 2
x + x
) lim x x x 2) lim x x x
lim x+ x lim x+ x
→ ∞ → −∞
→ ∞ → −∞
+ − − + − −
+ + + +
23
Giải:
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2
2
2
1
2 2
1 2

x x
lim lim li
x x
x
x x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
+ − − + + −
+ − − =
+ + −
 
+
 ÷
+ − + +
 
= = =
+ + − + + −
+ + −
   
+ +
 ÷  ÷
   
= = =
 
+ + −
+ + −
 ÷
 

2
1
1 2
1 1
2 2 2 2
2 2
2 2
x x
2 2
2 2 2 2
x x
x x
2 2
x +
2
x x x x x x
) lim x x x lim
x x x
x x - x x
lim lim
x x x x x x
x x
x x
lim lim
x x x x
x x x x
x
x
lim
x

1 2
1 1
x +
2
x
lim
x x
→ ∞
 
− +
 ÷
 
= −
+ + −
24

(
)
(
)
(
)
( )
x 1 x 1
3 / x 1
x 1
1
1
1
1

x x
x x
x x
lim lim lim
x x
x 1
x x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ →
+ + − + +
+ + =
− + +
 
− −
 ÷
− + +
− −
 
= = =
− + + − + +
− + +
   
− − − −
 ÷  ÷
   
= = =
 
− + +

 
Trong trường hợp này giáo viên lưu ý học sinh có thể linh động làm theo cách khác , ngắn gọn
hơn như sau:
(
)
3 / 1 1
1
2
2
x + x +
2
x +
1 1
lim x+ x x lim x+ x
x x
1 1
lim x 1+
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞
 
+ + = + +
 ÷
 ÷
 
 
= + + = +∞
 ÷
 ÷
 