S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
***
S¬ yÕu lý lÞch
Họ và tên: PHAN LẠC DƯƠNG
Ngày tháng năm sinh: 01 - 08 - 1981
Năm vào ngành: 09 – 2003
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Vì
Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán
Hệ đào tạo: Chính quy
Bộ môn giảng dạy: Toán
Ngoại ngữ: Anh văn
Trình độ chính trị: Sơ cấp
Đại học: Đại học Sư Phạm Hà Nội.
Môc lôc
Trang
A – PHẦN MỞ ĐẦU
4
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
VI. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4
5
6
6

18
20
22
22
24
27
29
31
III. HIỆU QUẢ CỦA SKKN:
40
C – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
II. KHUYẾN NGHỊ
42
42
43
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
45
Phụ lục
Danh mục các từ và cụm từ viết tắt
SKKN : sáng kiến kinh nghiệm
THPT : trung học phổ thông
SGK : sách giáo khoa
SGV : sách giáo viên
ĐH, CĐ và THCN : đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp
A – PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi.
Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như :
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;
- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục;
Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như :
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
4
Sáng kiến kinh nghiệm Phan Lạc Dơng
- Hm s khụng liờn tc trờn vn s dng c cụng thc Newtn-
Leibnitz.
- i biến số t = u(x) nhng u(x) khụng phải là một hàm số liên tục và có
đạo hàm liên tục trờn [a; b].
- S dng cụng thc v khỏi nim khụng cú trong sỏch giỏo khoa hin
thi.
- Chn cỏch i bin s nhng gp khú khn khi i cn ( khụng tỡm
c giỏ tr chớnh xỏc)
Trc õy cng ó cú mt s tỏc gi nghiờn cu v cp n vn
ny tuy nhiờn nhng kt qu thu c cũn hn ch, hu nh ch dng
li vic ch ra mt vi sai sút ca hc sinh.
Vi mong mun giỳp cỏc em hc sinh hiu c nhng nhng
kin thc cn bn, khc phc c nhng sai lm khi gii toỏn t ú t
mỡnh lm c nhng bi tp c bn, tin ti gii quyt c nhng bi
toỏn nõng cao v thy yờu thớch mụn Toỏn hn, trờn c s tip thu mt s
kt qu ca ng nghip i trc, tụi ó chn ti nghiờn cu cho mỡnh
l: KHC PHC SAI LM THNG GP CA HC SINH KHI GII BI
TON TNH TCH PHN .
II. MC CH NGHIấN CU
ti ny c nghiờn cu nhm mc ớch ci tin ni dung v

12A1
12A2
48
43
2011 - 2012
12A1
12A2
47
49
1. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu về Nguyên hàm và tích phân trong chương III thuộc
chương trình Giải Tích 12 - Ban cơ bản.
- Đề tài được nghiên cứu, áp dụng và đánh giá kết quả trong hai năm học
2010- 2011 và 2011- 2012 cho hai lớp 12 của trường THPT Ba Vì; cùng
với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán THPT
từ năm học 2003- 2004.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Tôi đã nghiên cứu nhiệm vụ giáo dục THPT, chương trình toán
học phổ thông ( SGK, SGV Giải tích 12), các cuốn sách “ Hướng dẫn
thực hiện chương trình, SGK môn Toán THPT ” và một số tài liệu tham
khảo về Tích phân của một số tác giả.
2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Đưa ra bàn luận trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và
cùng thực hiện;
- Tham khảo ý kiến các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy
lâu năm đã có nhiều kinh nghiệm;

G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và
những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách
nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ
lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai
lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức
hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên
quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo
hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay
nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi
đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học
trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em
có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế
tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi
tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp
giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số,
thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các
thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các
phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc
phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về
phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic
của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát
hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của
vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu
cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy
nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt

12A1 47 13 27 18 39 12 26 4 8 0 0
12A2
49
9 18 19 39 14 29 7 14 0 0
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
Đây là các lớp của khối 12 mà đối tượng học sinh khá, giỏi
chiếm số đông bên cạnh đó có cả học sinh yếu kém. Vì thế yêu cầu kiến
thức đưa ra cũng phải phù hợp với nhận thức và khả năng của các em,
không gây sự chán nản, học chống đối để các em có thể nắm chắc kiến
thức cơ bản trong sách giáo khoa, giải thành thạo một số dạng tích phân
căn bản ở phần bài tập và sách bài tập và ngày càng say mê, hứng thú với
bộ môn Toán hơn.
Đối với lớp 12A1 (năm học 2009 – 2010) là một lớp có chất lượng
học sinh cao nhất trong khối, tôi chưa áp dụng đề tài khi dạy mà chỉ
giảng dạy bình thường như phân phối chương trình SGK. Sau khi kết
thúc chương tôi đã tiến hành kiểm tra 45 phút theo phân phối chương
trình. Kết quả thu được như sau:Qua kết quả khảo sát nêu trên tôi nhận thấy:
- Kết quả bài làm đạt không cao so với mặt bằng kiến thức của lớp.
- Đa phần học sinh mắc những sai lầm thường gặp khi mỗi dạng bài.
- Nhiều em bế tắc không biết cách giải những bài từ mức trung bình trở
lên.
II. GIẢI PHÁP
1. Những kiến thức liên quan:
1.1. Nguyên hàm
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.

và
'( ) ( )f x dx f x C
= +
∫
2.
( ) ( )kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
(k là hằng số khác 0)
3.
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
4.
( ) ( ) [ ( )] '( ) [ ( )]f t dt F t c f u x u x dx F u x C
= + ⇒ = +
∫ ∫
1.1.4. Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
1.1.5. Bảng công thức các nguyên hàm cơ bản
Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp
STT
Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm
1 y = x y
'
= 1
∫
+= Cxdx
2
y =

∫
5 y = tgx
y'=
π
π
k
2
x,
xcos
1
2
+≠∀
∫
+= Ctgx
xcos
dx
2
6 y = cotgx
y'=
π
kx,
xsin
1
2
≠∀−
∫
+−= Cgxcot
xsin
dx
2

alnx
1
a
9 y = e
x
y' = e
x
Cedxe
xx
+=

10 y = a
x
y' = a
x
lna
(
1a0 <
)
C
aln
a
dxa
x
x
+=

(
1a0 <
)

a
dxa
x
x
ln

+=
Cxdxx sin.cos


+=
Cxdxx cos.sin
2
2
1
(1 tan ) tan
cos
dx x dx x C
x
= + = +

2
2
1
(1 cot ) cot
sin
dx x dx x C
x
= + = +



'.
ln
u
u
a
u a dx C
u
= +

'.cos sinu udx u C
= +

'sin cosu udx u C
= +

2
2
'
'.(1 tan ) tan
cos
u
dx u u dx u C
u
= + = +

2
2
'
'.(1 cot ) cot

= −
∫ ∫
1.2. Tích phân
1.2.1. Định nghĩa tích phân:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân
từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí
hiệu là
b
a
f x x( )d
∫

( ) ( )
( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
(công thức Newtơn- Leibnitz).
* Ý nghĩa hình học của tích phân :
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì tích
phân
( )d
b
a
f x x

b c b
a a c
f x x f x x f x x
= +
∫ ∫ ∫
(a < c < b).
1.2.3. Phương pháp tính tích phân :
a) Phương pháp đổi biến số:
Đ ịnh lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b].
Giả sử hàm số
( )x t
ϕ
=
có đạo hàm liên tục trên đoạn [
α
;
β
] sao cho
= =
( ) , ( )a b
ϕ α ϕ β
và
( )a t b
ϕ
≤ ≤
với mọi
[ ; ].t
α β
∈


∫ ∫
.
2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục:
2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải:
2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
3
0
1x dx+
∫

Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
Cách giải sai của học sinh
I =
3
0
1x dx+
∫
=
3
0
1 ( 1)x d x+ +
∫
=
3
0
1
2 1x +

2
( 1)
3
x +
=
2 14
(8 1)
3 3
− =
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan
đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức
này.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm
số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm
của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Ví dụ 2 : Tính tích phân : I =
1
5
0
(2x 1) dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
1
5

2
x d x− −
∫
=
1
6
0
1
(2 1)
12
x −
=
1
(1 1) 0
12
− =
( Có thể hướng dẫn các em cách giải khác: đổi biến số t=2x-1)
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm
hàm hợp, đã dùng
n 1
n
x
x dx c
n 1

C= ,
2
(2x 1)
1
1
dx
D=
2x 1
e
0
4
dx
E = ,
1 3x
1
/12
F = cos( 4x)dx,
6
/6
7
1
G dx
x 3
3
= +
−
+
−
−
−

+
2
2
2
)1(x
dx
=
∫
−
+
+
2
2
2
)1(
)1(
x
xd

= -
1
1
+
x

2
2−
= -
3
1

không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được
công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân. Giúp
các em tạo thói quen: Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x)
có liên tục trên
[ ]
ba;
không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để
tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này
không tồn tại.
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
A=
∫
−
5
0
4
)4(x

1
1
3
23
.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
17
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
1
x
xe dx
0
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
1
x
xe dx
0
−
∫

=
1
xdx
0

   
=
1 1 1
( 1)
2 2
e
e e
−
− + =
Cách giải đúng
Đặt:
u x du dx
x x
dv e dx v e
= =
 
 
⇒
 
− −
= = −
 
 
. Ta có:
I
1
1
x x
xe e dx
0

 
 ÷
 ÷
 
∫
.
b
v(x)dx
a
 
 ÷
 ÷
 
∫
thay vì dùng công thức tích phân từng phần:
( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫
.* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên
hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụng
phương pháp tích phân từng phần:
-Cách làm : biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx.
+ chọn u sao cho du dễ tính .
+ chọn dv sao cho dễ tính v =
∫

∫
đặt u = p(x) : đa thức ; dv =














ax
e
tgax
ax
ax
cos
sin
dx .
DẠNG II :
∫
b
a
dxxxp .ln).(
đặt u = lnx ; dv = p(x).dx .

cos
lx
dx
lx
 
 
 
hai lần.
( Hoặc ngược lại ).
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
19
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
1
x 1
A x.2 dx,
0
0
B= x ln(x 2)dx ,
1
2
C= x log xdx
2
1
cos x
D (x e )sin xdx,
0
/2
2
E = (x x)cos xdx ,

Cách giải sai của học sinh
Đặt x= sint suy ra dx=costdt
1
2
2
0
1 1
2 2
2
0 0
1
2
0
1 sin .cos .
1 cos 2
cos .
2
2 sin 2 1 sin1
.
4 4
I t t dt
t
t dt dt
t t
= −
+
= =
+ +
= =
∫

π
π
= − =
+
= = +
∫ ∫
∫
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
20
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên
không đổi cận.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương
pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra
kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi.
* Ví dụ 2 : Tính tích phân :
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
=
+
∫


1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =

3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t
−
 
= = − = − − =
 ÷
 
∫
.


x
0 1
/2 2
2
cos xdx 2x x 1
G = , I = dx
1 sin x x 1
0 0
= −
+
π
π
=
π
− −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
* Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi
tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường
hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học
khá nhưng mắc phải tính nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở
tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái
không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai
lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như
tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết
cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để khắc phục những
sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp

(2x 1)d(2x 1)
2
(2x 1) 9 1
2
4 4
= − +
= −
= − −
− −
= = =
∫
∫
∫
Cách giải đúng
2
2
0
2 2
2
0 0
1
2
2
1
0
2
2
1
2 2
2

∈
thay vì phải dùng
2
(x 3) x 3 ;
− = −
với
x [0,4]
∈
.
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ
chứa hàm số dạng:
( )
2n
2n
f x
 
 
thì dùng phép biến đổi
( ) ( )
2n
2n
f x f x
  =
 
( n ≥ 1, n nguyên).
( ) ( )
b b
2n
2n
a a




−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx; D =
∫
−+
3
6
22
2cot
π
π
xgxtg
dx
* Ví dụ 2 : Tính tích phân : I=
∫
−
+
−
1

x
− −
 
−
−
 ÷
 
= =
 
+
+ −
 ÷
 
∫ ∫
Đặt t = x+
dx
x
dt
x






−=⇒
2
1
1
1

2
2
1 2
ln
2 2 2
t
t
−
−
=
+
1 2 2
ln
2 2 2
−
=
+
Cách giải đúng
1
2
4 2 2
1
1
2
2 2
1
1
2 2
1
1

−
=
+ + −
−
=
− + + +
 
− −
= −
 ÷
 ÷
− + + +
 
− +
=
+ +
−
=
+
∫
∫
∫
( có thể hướng dẫn học sinh cách làm khác: tìm nguyên hàm trước rồi
áp dụng định nghĩa tích phân để tính)
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
24
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
A=
6 2
2
2
4
1
( 1)
1
x dx
x
+
−
+
+
∫
B=
3
2
4 2
3
( 1)
1
x dx
x x
−
+
+ +
∫


4
2
0
x
I dx
1 x
=
−
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt x = sint suy ra dx = costdt .
Đổi cận:
x 0 t 0;
1 1
x t arcsin
4 4
= ⇒ =



= ⇒ =


1
arcsin
3
4
2
0

= ⇒ =



= ⇒ =


Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
25