- 1 -
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
MỞ ĐẦU 3
1. Lí do chọn đề tài 3
2. Mục đích nghiên cứu 4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4
5. Phương pháp nghiên cứu 4
6. Giả thuyết nghiên cứu 5
7. Cấu trúc khóa luận 5
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận 6
1.1.1. Cơ sở tâm lí 6
1.1.2. Thuyết hành vi 7
1.2. Nội dung môn toán Đại số 9 8
1.3. Thực trạng dạy học và một số sai lầm trong giải bài tập toán của học sinh
trường trung học cơ sở hiện nay 10
1.3.1. Điều tra từ giáo viên 10
1.3.2. Điều tra từ học sinh 12
1.4. Kết luận chương 1 13
Chương 2
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ 9 VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
2.1. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số 9 14
2.1.1. Sai lầm do kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi đặc biệt là phép “
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 88
3.4. Kết luận chương 3 88
KẾT LUẬN 89
1. Kết quả của đề tài 89
2. Hạn chế của đề tài 89
3. Hướng phát triển của đề tài 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO 90
PHỤ LỤC
- 3 -
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của nền kinh tế thế giới đã kéo theo sự
phát triển thần tốc của các ngành khoa học thuộc nhiều lĩnh vực như: vật lý, hóa
học, thiên văn học, … Những ngành khoa học thuộc những lĩnh vực trên muốn
phát triển và vận dụng được vào thực tiễn, thì không thể thiếu vai trò của toán học
đặc biệt là tính chính xác của toán học. Tính chính xác trong toán học được thể bởi
tính cẩn thận, tính logic và nhiều đức tính khác. Những đức tính đó đòi hỏi người
giải toán phải không được mắc sai lầm và luôn khắc phục sửa chữa sai lầm mắc phải
khi học toán cũng như trong giải bài tập toán. Vì theo G.Polia: “Con người phải biết
học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Để khắc phục những sai lầm trên
ta không thể phủ nhận vai trò của người thầy trong việc dạy học giải bài tập toán.
Ngoài việc tạo ra các hoạt động để hướng dẫn học sinh giải bài tập, người giáo viên
cũng cần đến nghệ thuật phát hiện sai lầm và sữa chữa sai lầm cho học sinh trong
hoạt động và bằng hoạt động. Vì theo A.A.Stôliar: “Không được tiếc thời gian để
phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Thực tế sư phạm cho thấy trong hoạt động dạy học giải bài tập toán: giáo
viên thường chỉ nặng về hoạt động trình bày lời giải, tìm ra cách giải mà không chú
ý đến việc phát hiện khắc phục và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán. Bởi
vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải, trình bày được cách giải của bài toán
- Tìm hiểu một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 9 bậc trung học
cơ sở và nguyên nhân dẫn đến sai lầm.
- Điều tra thực tế giáo viên và học sinh bằng hệ thống câu hỏi nhằm đánh giá
thực trạng của việc dạy và học cũng như nguyên nhân dẫn đến sai lầm cho học sinh
trong khi giải toán Đại số 9.
- Đề xuất một số biện pháp khắc phục những sai lầm trên cho học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm thông qua thiết kế các hoạt động học tập dựa trên
một số biện pháp đã đề xuất.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải
toán Đại số 9 bậc trung học cơ sở và biện pháp khắc phục.
- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Thị Lựu –
Cao Lãnh – Đồng Tháp và trường Trung Học Cơ Sở Phạm Hữu Lầu – Cao Lãnh –
Đồng Tháp.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- 5 -
- Phương pháp nghiên cứu cơ sở lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu về
những sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số từ đó tạo tiền đề để nghiên cứu đề
tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp điều tra, giáo viên và
học sinh để có thêm những hiểu biết về sai lầm thường gặp của học sinh trong giải
toán Đại số 9 và biện pháp khắc phục. Xử lý kết quả bằng một số phương pháp
thống kê toán học.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành soạn và dạy một số giáo án dựa trên các
biện pháp đã đề ra, rồi kiểm tra tính khả thi thông qua bài kiểm tra học sinh
6. GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU
Nếu tìm hiểu và nghiên cứu đúng những sai lầm của học sinh, những vướng
mắc chưa được giải quyết, từ đó có biện pháp khắc phục đúng đắn thì sẽ góp phần
nâng cao hứng thú học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học.
7. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN
sự hứng thú trong học tập, chú trọng hơn ở một số phân môn nhất định và có tính
chất định hướng nghề nghiệp. Tuy nhiên, những hứng thú của học sinh với một số
phân môn trên lại không sâu và bền nên rất dễ bị kích động bởi những yếu tố bên
ngoài. Mặt khác, do ở trường trẻ được tiếp xúc với những môn học có tính trừu
tượng cao được hình thành từ những mệnh đề, định nghĩa, định lí nên hoạt động học
tập của học sinh mang tính tích cực chủ động và tự giác cao, dần chuyển từ quá
trình dạy học “bắt tay chỉ việc” với sự hướng dẫn của giáo viên sang quá trình tự
học.
Khả năng trí tuệ của học sinh thời kì này chủ yếu là mang tính chất có chủ
định được thể hiện như: Tri giác có chủ định chiếm ưu thế, kỹ năng quan sát được
nâng cao. Trí nhớ tốt hơn, có khả năng ghi nhớ được nhiều tài liệu trừu tượng và
phức tạp, học sinh biết sử dụng các thao tác tư duy trong quá trình ghi nhớ của
mình. Phương thức tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, phân tích và tổng hợp được
học sinh vận dụng để phân loại và hệ thống các sự vật, nhìn nhận sự vật không chỉ ở
dưới dạng hình thể vẻ bên ngoài, mà còn biết xét các sự vật hiện tượng theo tính
chất của chúng, biết phân loại nhiều sự vật hiện tượng dựa vào những đặc tính riêng
hoặc đặc tính chung của sự vật. Chẳng hạn, trẻ không xem vật lớn hơn là tất nhiên
phải nặng hơn. Học sinh đã hình thành ở mình lối tư duy logic mệnh đề được suy
diễn từ các giả thuyết đã cho, thực hiện thành thạo thao tác tư duy thuận-nghịch, ở
học sinh tương ứng là phương pháp chứng minh điều kiện cần và đủ trong toán học.
Do đặc tính của từng môn học nên vốn từ vựng của học sinh được phát triển phong
- 7 -
phú hơn, ngôn ngữ chính xác và ít thiếu sót hơn. Trẻ còn có thể thực hiện thao tác tư
duy từ cụ thể sang trừu tượng nhằm trừu tượng hoá vấn đề, ngược lại trẻ cũng có thể
chuyển từ tư duy trừu tượng sang cụ thể và thực hiện đồng thời cả hai thao tác tư
duy trên một cách linh hoạt, sáng tạo để có thể kiểm nghiệm chúng bởi thực tế.
Do ở lứa tuổi này học sinh phát triển rất mạnh và mang tính chất không đồng
đều, nên thường có những hành vi sai lệch không ý thức được bản thân, từ quá trình
suy nghĩ đến quyết định còn mang tính vội vàng, hành động mang tính tự phát.
Ngoài ra, còn có nhiều học sinh thực hiện nhớ các tài liệu, kiến thức và sự kiện một
không ít học sinh lại phạm phải sai lầm như cũ. Nói cách khác, sai lầm vẫn dai dẳng
tồn tại ở học sinh. Đây là một trong các minh chứng cho thất bại của thuyết hành vi
trong việc nghiên cứu những ứng xử phức tạp của con người.
Cụ thể hơn nữa là ở Pháp, sau nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt trên vai trò
của dạy học các yếu tố logic, các chương trình toán trung học phổ thông sau năm
1990 đều ghi rõ: “Cấm mọi trình bày về logic toán”. Trong khi nhiều nghiên cứu chỉ
ra rằng người Pháp rất quan tâm đến khó khăn và sai lầm của học sinh trong dạy học
suy luận và chứng minh. Nhưng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố logic họ lại bỏ
nó đi. Nói cách khác, thể chế dạy học Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế
của quan điểm sư phạm dựa trên thuyết hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức các
nội dung toán học cần giảng dạy.
1.2. Nội dung môn toán Đại số 9
Nội dung chính trong dạy học toán Đại số 9 được chia thành bốn chương như
sau:
Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba.
Chương II: Hàm số bậc nhất.
Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chương IV: Hàm số
2
y ax a 0
– Phương trình bậc hai một ẩn.
Trong đó bốn chương trên có hai chương là “Chương I và Chương II” thuộc
chương trình học kì một, và hai chương là “Chương III và Chương IV” thuộc vào
chương trình học kì hai của sách giáo khoa.
Nội dung của từng chương được thể hiện bởi các bài như sau:
Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba.
Bài 1: Căn bậc hai
Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)
Chương IV: Hàm số
2
y ax a 0
– Phương trình bậc hai một ẩn.
Bài 1: Hàm số
2
y ax a 0
Bài 2: Đồ thị của hàm số
2
y ax a 0
Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng
chỉ học theo kiểu ghi nhớ máy móc, học thuộc lòng mà chẳng hiểu vấn đề cốt yếu
của bài toán dẫn đến họ không nắm vững định nghĩa, định lí và các công thức cơ
bản (40
0
/
0
giáo viên đồng ý) nên thường mắc sai lầm là không tránh khỏi. Ngoài ra,
học lực trung bình của học sinh còn thể hiện rõ ở sự tiếp thu kiến thức ở các chương
trong sách giáo khoa chẳng hạn ở “Chương I: Căn bậc hai – Căn bậc ba” 40
0
/
0
giáo
viên cho rằng học sinh tiếp thu chậm, “Chương II: Hàm số bậc nhất” là (33,4
0
/
0
),
- 11 -
“Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn” là (13,3
0
/
0
) và “Chương IV: Hàm
số
2
y ax
/
0
)
+ Giúp học sinh liên tưởng đến các bài tập cùng loại, và phân dạng một cách
có hệ thống các bài tập nhằm khắc phục sai lầm của học sinh. (42,86
0
/
0
)
Tuy nhiên khi vận dụng các biện pháp khắc phục sai lầm cũng như khi thực
hiện phát hiện sai lầm của học sinh, là giáo viên ta cũng có một số khó khăn nhất
định:
+ Do số lượng học sinh quá đông (42,86
0
/
0
) nên giáo viên không thể kiểm
soát được sai lầm và khắc phục được hết tất cả sai lầm của từng em, mà chỉ là khắc
phục các sai lầm cơ bản, phổ biến của lớp học mà thôi.
+ Học sinh thường có tâm lí che giấu sai lầm của mình (21,43
0
/
0
) vì vậy ta
không thể vận dụng được các biện pháp vào việc khắc phục.
+ Thời gian dạy học trên lớp không đủ để khắc phục sai lầm của học sinh.
(27,27
0
/
0
+ Giáo viên phân dạng và hệ thống bài tập, tạo niềm tin cho học sinh và rèn
luyện kĩ năng tính toán, phương pháp giải toán cho học sinh. (13,64
0
/
0
)
+ Phân loại học sinh và luôn đổi mới phương pháp dạy học nhằm tạo điều
kiện cho việc khắc phục sai lầm của học sinh. (13,64
0
/
0
)
+ Giáo viên cần sắp xếp thời gian phụ đạo bổ sung kiến thức cho học sinh khi
cần thiết, và luôn nhiệt tình trong việc khắc phục sai lầm của học sinh. (9,1
0
/
0
)
+ Số học sinh ở một lớp không được quá 30 học sinh. (4,55
0
/
0
)
Từ những vấn đề trên ta có thể thấy rằng việc giáo viên thấu hiểu những khó
khăn của mình khi khắc phục sai lầm đi đến vận các biện pháp khắc phục phù hợp là
có hiệu quả và rất khả thi, vì khi khắc phục được sai lầm tâm lí của học sinh biến
đổi rất nhanh chóng từ việc mất niềm tin và không còn hứng thú học tập (94,11
0
/
0
/
0
học
sinh sai lầm).
1.4. Kết luận chương 1
Trên cơ sở tìm hiểu về đặc điểm tâm sinh lí của học sinh, thuyết hành vi, nội
dung sách giáo khoa Đại số 9 và tình hình thực tiễn sư phạm ta thấy học sinh khi
giải toán còn vướng phải rất nhiều sai lầm đòi hỏi phải được khắc phục ngay. Và
những sai lầm đó là mang tính chủ quan do con người, nên có thể nghiên cứu và đề
ra được các biện pháp khắc phục chúng một cách hiệu quả nhất.
Học sinh giải như sau:
15
15 15 15
4.4 16 16 4
Một học sinh khác có lời giải là:
15 16 4
4.4 4 2 16
Lại có một kết quả khác:
16 4
4 4 456
Phân tích sai lầm của học sinh:
Thứ nhất, tuy học sinh tính được
15
15
16 16
nhưng khi thực hiện mũ
hoá
15 15
4.4 16
thì lại sai, nguyên nhân là do học sinh nghĩ rằng
- 15 -
Với kết quả thứ ba thì lại khác họ chỉ thực hiện lấy căn của số mũ nên cũng
đã dẫn đến kết quả sai. Để làm sáng tỏ điều này ta có thể lấy ví dụ như sau:
1
1 1
4 4 2
, rõ ràng
1
là không có nghĩa.
Lời giải đúng:
16 2
4 65536 65536
(vì đây là căn bậc hai số học).
Ví dụ 2: So sánh
25
9
và
144
121
Sai lầm của học sinh:
Ta có:
25 5
25 5 12 144
3 11
9 121
(vì
5. 11 55 36 12 .3
)
Phân tích sai lầm của học sinh:
Tuy học sinh tính được căn bậc hai số học của một số dương cụ thể, nhưng
khi thực hiện phép toán so sánh hai phân số thì lại quên biến đổi các phân số thành
một phân số có tử số và mẫu số cùng dương, nên mắc phải sai lầm đáng tiếc khi
khẳng định rằng
25 144
9 121
(vì
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1 2
A
6 5 7 5
Sai lầm của học sinh:
- 16 -
Ta có:
7 5 2 6 5
A
6 5 7 5
7 2 6 5
42 30 35 5
.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh đã quá hấp tấp khi thực hiện phép quy đồng mẫu biểu thức
A
2
2 2
2
2
2
4
3
3
3
A 3 2 2 1 2 1 2
2 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1
A 2 1
.
Lời giải đúng:
2
2
A 2 2 2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
Ví dụ 5: Giải phương trình sau:
2
2
1 1 3x 4
1
x 1 x x x
Vậy không có
x
thoả phương trình.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Ta thấy với
3
x
2
là nghiệm của phương trình đầu. Tuy nhiên, với cách tính
toán, biến đổi từ (*) sang (**) học sinh có suy nghĩ sai lầm rằng
2 2
x x x x 1
là mẫu thức chung của phương trình và tất yếu là đưa đến kết quả bài toán sai.
Lời giải đúng:
Điều kiện:
x x 1 0
- 18 -
2
2
x 6x 14
Sai lầm của học sinh:
Đặt:
2
5
a
x 6x 14
2
ax 6ax 14a 5 0
Dùng phương pháp hàm số ta có:
2
2
36a 4a. 14a 5 0 *
20a 20 0 **
a 1 a 1 0
có nghiệm khi và chỉ khi:
2
' 2
2
3A 14A 5A 0
5A 5A 0
0 A 1
- 19 -
Vậy
maxA 1
khi
x 3
.
Ví dụ 7: Giải phương trình:
2
2 2
x 3x 2 2x
0
x 5x 2 x 5x 2
Xét thấy
x 0
không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế (*)
cho
x
ta được:
2
x 3
2
x
0
2 2
x 5 x 5
x x
.
Đặt
2
t x
x
túng khi dùng phép “
”,“
” nên đưa đến nhiều sai lầm khi giải toán.
Sai lầm chủ yếu là do học sinh thường lầm lẫn giữa phép “
”,“
” học
sinh không ý thức được lúc nào thì sử dụng phép “
”, lúc nào thì sử dụng phép
“
”. Họ không hiểu được thế nào là điều kiện cần và thế nào là điều kiện đủ, để
chứng minh bài toán thoả điều kiện cần và đủ ta cần phải chứng minh gì?. Nên
- 20 -
nhiều học sinh khi biến đổi đôi khi làm thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định, tập
nghiệm của phương trình mà thật không biết điều đó.
Ví dụ 8: Tìm điều kiện để
y
xác định với
2
x
y
x ax
(
y
xác định.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Từ (*) sang (**) không phải là phép biến đổi tương đương, phép biến đổi này
đã làm thu hẹp tập xác định của
y
nên phương trình đầu chỉ là phương trình hệ quả
qua phép biến đổi mà thôi. Phép biến đổi trên chỉ đúng khi
x 0
còn với
x 0
thì
0
y
0
không xác định.
Lời giải đúng:
y
xác định khi và chỉ khi:
2
x ax x x a 0
Vậy
x 0
3x y 4
và
2x 5y 1
3x y 4
19
x
13
5
y
13
,
13 13
.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Ở đây học sinh đã sử dụng phép toán logic một cách không chính xác là:
A B C A B A C
vì thế phép biến đổi trên không phải là phép biến
đổi tương đương. Phép biến đổi trên chỉ tương đương khi sử dụng phép biến đổi
logic đúng như sau:
A B C A B A C
.
Chú ý
2x 5y 1
3x y 4
2x 5y 1
3x y 4
3x y 4
2x 5y 1
3x y 4
x
13
11
y
13
Vậy tập nghiệm của hệ là:
19 5
,
13 13
hoặc
21 11
,
13 13
Phân tích sai lầm của học sinh:
- 22 -
Nhận thấy rằng
x 1
không phải là nghiệm của phương trình đầu, và phép
biến đổi từ (*) sang (**) không phải là phép biến đổi tương đương vì nó làm thay
đổi tập nghiệm của phương trình. Lúc đầu phương trình vô nghiệm, nhưng khi ta
nhân hai vế phương trình cho
f x x 1
thì phương trình trở thành có nghiệm duy
nhất. Cần nhớ rõ rằng ta chỉ được nhân vào hai vế của phương trình với biểu thức
f x
khi
f x 0 x
mà thôi. Trong tình huống này ta phải xét
f x 0
Phân tích sai lầm của học sinh:
Nhận thấy rằng
x 5
không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhưng với học sinh thì đây là điều khó khăn để phát hiện ra sai lầm của mình, thật
vậy với cách lập luận rằng
A 0
A.B 0
B 0
thì học sinh nghĩ mình đã giải đúng
Kết hợp với điều kiện nhận
x 3
là nghiệm.
Ví dụ 12: Giải phương trình:
x x 1 x 2 x
Sai lầm của học sinh:
x x 1 x 2 x 1
x. x 1 x. 2 x 2
x 1 2 x 3
x 1 2 x 4
3
x
2
phép biến đổi này, tập nghiệm của phương trình bị thu hẹp nên làm mất nghiệm
x 0
. Và phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (3).
Thứ ba, phép biến đổi từ (3) sang (4) học sinh đã mạnh dạng bình phương hai
vế phương trình khi chưa đặt điều kiện cho phương trình, nên đây cũng là phép biến
đổi không tương đương mà là phép biến đổi hệ quả. Trong trường hợp này,
A B
chỉ tương đương với
2 2
A 0
A B
hoặc
2 2
B 0
A B
. Dễ dàng kiểm tra
x 0
2m 2V
Suy ra con muỗi nặng bằng con voi.
Phân tích sai lầm của học sinh:
Học sinh đã phạm sai lầm khi cho rằng
2
A A
và cuối cùng đưa đến kết
luận muỗi nặng bằng voi. Từ (*) sang (**) chỉ là phép biến đổi hệ quả, phép biến
đổi đúng là:
2 2
m V V m
tương đương
m V V m
.
Ví dụ 14: Giải bất phương trình:
x 3 2x *
Sai lầm của học sinh:
x 4x 3 0
nói cách khác điều đó là sai. Học sinh không ngờ
đến với
x 3
thì vế trái (*) dương, còn vế phải thì lại âm đây là điều mâu thuẫn mà
- 25 -
họ không thấy với bất phương trình trên. Bất phương trình
x 3 2x
chỉ tương
đương với
2
x 4x 3 0
khi có điều kiện
3
x
2
.
Lời giải đúng:
2
3
x
2
x 3 2x
3
x
.
Sai lầm của học sinh:
Điều kiện:
x 5 x 2 x 3 0
1 1
*
x 3 x 2 x 3 x 5
1 1
. x 3 . x 3
x 3 x 2 x 3 x 5
1 1
**
x 2 x 5
x 5 x 2
f x 0
thì bất sẽ đổi chiều. Chẳng hạn
4 5
không thể tương đương với
4. 2 8 10 5. 2
, mà chỉ tương đương
5. 2 10 8 4. 2
hoặc
4.2 8 10 5.2
.
Copyright: Tài liệu đại học ©