Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn
• Cho khoảng K chứa điểm x
0
và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\
{x
0
}. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,x
n
\{x
0
} và x
n
,ta có limf(x
n
)=L .
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (x
o
;b) . khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ x
0
<x
n
<b và x
n
, ta có limf(x)=L .
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;x

)=L.
2. Giới hạn ở vô cực
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng(a;+∞) . , khi và
chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞ .
• Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\
{x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc
K\{x0} và x
n
, ta có limf(xn)=+∞ .
Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞
3.Các giới hạn đặc biệt
Trang 1
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Với k là một số nguyên dương
4. Đònh lý về giới hạn hữu hạn
* Đònh lý 1
a) Nếu và , thì
•
•
•
•
b) Nếu f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và
Đònh lý 2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) .
L>0
+∞ +∞
-∞ -∞
L <0
+∞ -∞

Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung .
Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô đònh
Ví dụ1 . ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC).
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 5
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Vì , thì x+2<0 ,cho nên
Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 6
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
2. Để tìm giới hạn :(Dạng : )
Ta có thể làm như sau :
• Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử
và mẫu thành tích chứa nhân tử x
n
,rồi giản ước ).
• Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa x
k
ra ngoài dấu căn
( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho
luỹ thừa của x .
• - Chú ý đến cận : Khi x nghóa là x>0 ; còn x , nghóa là x<0
• - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên
hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trò
tuyệt đối )
Trang 7
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

3 2
3 lim
3 1
x
x x x
x

+ + + +
+ +
2
2
x
x x 2 3x 1
4. lim
4x 1 1 x
ứ giaỷi:
.
( )
( ) ( )



ữ



= = =
+

+

x x 1
x
x
2. lim lim 0
1 1
x x 1
1
x
x
Trang 9
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
→ −∞ → −∞ → −∞
− + − − +
− +
= = =
−
 
−
−
 ÷
 
2
3 3
1 2 1 2
3 2 1
3 lim lim lim
1
1
3 1 3
3

x x
2
1 2 1
x 1 x 3
4 khi x 0
x x 2 3x 1
x x
x
2
4. lim lim
khi 0
1 1
4x 1 1 x
3
x 4 x 1
x
x
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
→−∞
+ +
−
3 3 2
2
1. lim
2 2
x
x x x
x
→−∞
+ + + +

 
+ +
 ÷
+ +
 
= =
−
 
−
 ÷
 
3
3 3 2
2
1 1
2
1. lim lim 1
1
2 2
2 1
x x
x
x
x x x
x
x
x
→−∞ →−∞
 
 

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
 
+ −
+ −
 
+ − +
 
= =
+ −
 
− + −
+ −
 
 
+ −
= = = → +∞ → ∞
− + −
3 2
3 2
3 2
2
x x x
3
x

x
x 1
lim
1 3x 5x
→−∞
+
− −
c)
2
x
x x 1
lim
x x 1
→ +∞
+
+ +
d)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
→ −∞
−
− +
e)
3
3 2
3 2 2

− −
− −
h)
4 2
3
3 1
lim
2 2
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
i)
2 2
4
x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
→±∞
− +
+
j)
2 3
2 2
x
(2x 3) (4x 7)
lim

4x 2x 1 2 x
o) lim
9x 3x 2x
p)
2
2
x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→ ±∞
+ + + +
+ + −
q)
2
x
x x 3
lim
x 1
→+∞
+
+

3. Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ ) .
Hoặc
Trang 11
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
• Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới
dấu căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều
phân thức )

x x
→ +∞
+ − −
→ ± ∞
− + − − +
2 2
x
6. lim ( x 4x 3 x 3x 2)
Bài giải
3 3
2
3
1. lim (2 3 ) lim 2
x x
x x x
x
→ +∞ → +∞
 
− = − = +∞
 ÷
 
→ ±∞ →±∞
+∞ → +∞

− + = − + =

−∞ → −∞

2
2

2
2
3 2
4. lim ( 3 2 ) lim 1
x x
x x x x do x x x
x x
→ +∞ → +∞
 
− + − = − + = +∞ → +∞ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
4 4
5. lim ( 2 2) lim lim 0
2 2
2 2
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
→ +∞ → +∞ → +∞
+ − − = = =
 
+ + −
+ + −
 ÷
 

6. lim ( x 4x 3 x 3x 2) lim
x 4x 3 x 3x 2
1
1
x 1
khi x
x
2
lim
1
4 3 3 2
khi x
x 1 1
2
x x
x x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau
Bài giải :
Ví dụ 3. ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1
.Tìm các giới hạn sau
Trang 13
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Bài giải :
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:

e)
2
x
lim ( x x x)

m)
2
x
lim (3x 2 9x 12x 3)
→ ± ∞
+ − + −

Trang 14
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
n)
)223(lim
2
−++−
+∞→
xxx
x
t)
3
3 2
x
lim ( x x x x)
→±∞
− + +
o)
)223(lim
2
−++−
− ∞→
xxx
x
v)
3
2 3
x
lim ( x 1 x 1)
→ + ∞
+ − −
w)
3
3 2
lim ( 2 1 3 )
x
x x x x
→ ±∞
+ − − −
4. Để tìm giới hạn
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .
• Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số )
một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)
• Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn
thức có cùng chỉ số và áp dụng các đònh lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết .
• Chẳng hạn ,ta tìm :
• Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau đó
áp dụng cách phân tích trên để giải . ( Thông qua ví dụ : )
Trang 15
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 19
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
6 Phần nâng cao . Áp dụng giới hạn :
• Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng
giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn
trên.
• Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức
với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới
hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các đònh lý và quy
tắc tìm giới hạn đã biết .
Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 20
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau.
Bài giải :
Vậy :
III.Phần bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
Bài 3. Tìm các giới hạn sau
Bài 4. Tìm các giới hạn sau
Trang 21
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau
III. Sử dụng đònh nghóa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số
• Theo đònh nghóa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x

Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau
Trang 25