Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
I- ĐẠO HÀM
1. một vài công thức tính đạo hàm cấp n
( )
( ) ( )
(n)
m m n
x m m 1 m n 1 x
−
= − … − +

1
( )
( 1) ( 1)!
(ln )
n
n
n
n
x
x
−
− −
=
x ( ) x
(a ) a ln
n n
a=
với a>0
( )
( inx) in( )

(cot )'
sin
'
(log )'
ln
u u
u u
a
u u u
u
u
u
e u e
u
u
u
a u a a
u u u
u u u
u
u
c u
u
u
u
u
u
u a
α α
α

a b a c b c
a x b x c
a x b x c a x b x c
+ −
=
+ +
+ +
+ +
=
+ + + +
3. một vài kết quả hay dùng
x
0
e 1
lim 1
x
x
→
−
=

x
0
a 1
lim ln
x
a
x
→
−

x
x
x e
→+∞
+ =
4. công thức leplit: nếu u,v là các hàm khả vi n lần thì:
onlysea7
1
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
( ) ( ) ( )
0
( )
n
n i i n i
n
i
uv C u v
−
=
=
∑
II-MỘT VÀI CÔNG THỨC TÌM GIỚI HẠN
1.PHƯƠNG PHÁP 1: ứng dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Tìm giới hạn:
0
lim ( )
x x
L Q x
→
=

L p x f x p x
x x
→
−
= =
−
với
0
( ) 0p x ≠
.
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )
'( )
x x
f x f x
x x f x
L
g x g x
g x
x x
→
−

2
7 7
2
( 1998) 1 2 1998 1 2 1
( ) ( 1998)
x x x
f x x x
x x
+ − − − −
= = + +
=>
0
3996
lim ( )
7
x
f x
→
= −
Trong ví dụ trên ta đã thêm bớt
2
1998x +
vào tử thức để xuất hiện dạng
0
1 ax 1
lim
n
x
x
→

Giải:
3 3 2
2 2
1 1
5 2 7 2
lim ( ) lim( )
1 1
x x
x x
f x
x x
→ →
− − + −
= −
− −
=
1
6
** trong lời giải trên,ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của f(x).câu hỏi đặt ra là:
1) Tại sao phải có số 2
2) Tại sao phải là số 2
3) Tìm số 2 như thế nào
onlysea7
2
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
** trả lời 2 câu hỏi: để tìm số 2 ta đưa ra thuật toán tìm số hạng vắng.
B1:
c∀ ∈¡
,ta có:
3 3 2


± =

2
2
6
c
c
c
=


=

⇔



=


 c=2 là đáp án cần tìm.
Tổng quát: giả sử
( )
( )
( )
f x
F x
g x
=

2 2
( ) 0
( ) 0
f x c
f x c
+ =


+ =

hoặc … hoặc
1
2
( ) 0
( ) 0
n
n
f x c
f x c
+ =


+ =

4. PHƯƠNG PHÁP 4: tách bộ phận kép
Muốn tìm giới hạn
( ) ( )
lim
( )
m n

f x h x h x h x g x h x
f x g x
x a x a x a
+ − − +
−
= +
− − −
1 1
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k k
f x g x
x a Q x x a Q x
= +
− −
Trong đó
1 2
( ), ( )Q x Q x
là biểu thức liên hợp của
( ) ( )
m
f x h x−
,
( ) ( )
m
h x g x−
.
Lúc đó:
1 1

( ) 9 27 27 ( 3)g x x x x x= + + = − + +
Ta có: L=
3 2 3 3
3
3
0
8 ( 3) ( 3)
lim
x
x x x x
x
→
+ + − − + +
=
3 2 3 3
3
3 3
0
8 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
lim( )
x
x x x x x x
x x
→
+ + − + + − − + +
+
onlysea7
3
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
=

( ), ( )f x g x
có đạo hàm trên (a,b)
Giả sử rằng :
0 0
0 0
0
lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) lim ( )
'( )
lim
'( )
x x x x
x x x x
x x
f x g x
f x g x
f x
g x
α
→ →
→ →
→

= =





= = ∞

'( )
lim
'( )
x x
f x
g x
→
vẫn có dạng
0
,
0
∞
∞
ta áp dụng quy tắc
trên một lần nữa.
3. nếu
0
'( )
lim
'( )
x x
f x
g x
→
không tồn tại thì không thể kết luận
0
( )
lim
( )
x x

x
−
− + + = +
+
3
( 3 4 2 )' 1
2 3 4
x x
x
+ − − = −
+
=>
0
1 2 1 sinx
lim
3 4 2
x
x
x x
→
− + +
+ − −
=
0
2
cos
2 2 1
lim
3
1

2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
onlysea7
4
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
3.
2 1
0
2
lim( )
1
x
x
x
x
+
→
+
+
4.
sin 2 sin
0
e e

e
α
KIẾN NGHỊ
Do thời gian soạn thảo đề tài còn ngắn, nên không tránh khỏi những sai sót,
mong mọi người đọc và đóng góp ý kiến.Để tôi kịp thời chỉnh sửa đổi,bổ sung và
hoàn thiện kiến thức cá nhân.
Mọi ý kiến xin gửi về: [email protected]
www.mslive.nstars.org
onlysea7
5