Đề tài 3: Thực hiện: Đặng Xuân Sơn - ĐH Toán K1
Phương pháp tìm giới hạn của các dãy số phi tuyến
- Trong khi giải quyết các bài tập về giới hạn dãy số chúng ta gặp rất nhiều
khó khăn trong việc tìm giới hạn của các dãy phi tuyến hoặc chứng minh cho
sự tồn tại giới hạn của các dãy đó. Để tháo gỡ vấn đề này chúng tôi xây dựng
một bài toán cơ sở với ý tưởng dựa vào tính đơn điệu của các dãy số đặc biệt
và của dãy các hàm đơn điệu, liên tục nhằm khẳng định sự tồn tại giới hạn
của một dãy phi tuyến thông qua nghiệm của phương trình giới hạn . Để
minh hoạ tinh thần trên chúng tôi mạnh dạn phát biểu mệnh đề:
I. Mệnh đề 1.
Cho nếu có dãy các hàm số tăng thực sự, liên tục
trên
( hữu hạn ) thoả mãn ba điều kiện :
i/ .
ii/ có nghiệm với mọi
iii/ có duy nhất nghiệm
và đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua thì dãy đã cho hội tụ và
.
Chứng minh :
Bước 1. Kiến thiết dãy , như sau :
;
Do điều kiện ii/ nên 2 dãy xây dựng như trên là tồn tại và duy nhất .
Bước 2. Bằng cách qui nạp theo ta chỉ ra được: dãy giảm hội tụ về
; dãy tăng hội tụ về .
Ngoài ra, ta còn nhận được bất đẳng thức kép:
trong đó: .
Bước 3. Chuyển qua giới hạn của (*) khi dần ra vô cùng ta được:
1
Theo nguyên lý kẹp thì: .
$ Chú ý: được gọi là phương trình giới hạn.


hàm tăng, liên tục theo từng biến trên . Do đó, ta có thể phát biểu tổng
quát như sau :
Mệnh đề 2 : Cho hàm biến đơn điệu
tăng theo từng biến trên . Giả sử thoả mãn 2 điều
kiện :
i/ liên tục trên D .
ii/ có nghiệm trên và đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua đó .
Kết luận : mọi dãy số thực thoả mãn : với
cho trước, thì đều hội tụ về .
$ Lưu ý : đơn điệu tăng và dãy luôn tồn tại, chẳng hạn
Ví dụ 3. Cho dãy số dương xác định bởi:
thì dãy số hội tụ về 1.(thoả mệnh đề 2).
Ví dụ 4. Cho dãy số dương xác định bởi:
thì dãy số hội tụ
về 1.
$Đề tài đưa ra hướng khắc phục trong trường hợp phương trình giới hạn
có nhiều hơn 1 nghiệm.
IV. Các hệ quả .
1) Cho các và dãy thoả:
thì .
2) Cho dãy số không âm thoả mãn:
3
( ) thì
0+ .
3) Cho số dương , và
" thì (ở đây 0 < b/a <1) thì dãy hội
tụ.
Còn nếu b/a >1 thì dãy là VCB ( a > 0), dãy là VCL ( a < 0).
4) Cho dãy số Î(0,1) thoả: thì
là một VCB.