Mục lục
Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . 2
0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . 2
0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI L ƯỢN G TRUNG BÌNH
NGUYỄN TÀI CHUNG
GV TH PT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai.
Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình đã xuất hiện rải rác trong các kì
thi học sinh giỏi. Bài viết này nhằm trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống các bài toán
về giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình.
0.1 Giới hạn của các dãy số si nh bởi các đại lượng trung bình
Định nghĩa 1. Ta gọi trung bình bậc r của n số dương a
1
, a
2
, . . . , a
n
là biểu thức xác định
bởi:
∆
r
(a
1
, a
2
, . . . , a
n

1
, a
2
, . . . , a
n
)
Chú ý 1. Đặc biệt khi r = 1 ta có trung bình cộng, khi r = −1 ta có trung bình điều hòa,
khi r = 2 ta có trung bình bình phương (ha y còn gọi là trung bình toàn phương).
Nhận xét 1. Ta chứng minh được nếu a
1
, a
2
, . . . , a
n
là những số dương khác 1 thì
∆
0
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
n
√
a
1
a
2


a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n

1
r

= lim
r→0

ln

a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n

lim
r→0






a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n


a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n

r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n




=
ln ( a
1
a
2
. . . a
n
)
n
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 2
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
= ln

(a
1
a
2

a
1
m
+ b
1
m
2

m
=
√
ab.
Tuy nhiên ta có thể chứng minh sơ cấp hơn như sau (không sử dụng quy tắc Lôpitan): Ta có
ln
√
ab
m
= ln(ab )
1
2m
= ln

a
1
2m
b
1
2m

≤ ln

<
1
2

a
1
m
− 1

+
1
2

b
1
m
− 1

.
Vậy
ln
√
ab ≤ ln

a
1
m
+ b
1
m

+ b
1
m
2

m
= ln
√
ab ⇒ lim
m→∞

a
1
m
+ b
1
m
2

m
=
√
ab.
Nhận xét 3. Ta chứng minh được kết quả: Dãy
∆
r
(a
1
, a
2

n=1
và (y
n
)
+∞
n=1
được xác định như
sau
x
1
= a > 0, y
1
= b > 0, x
n
=
x
n−1
+ y
n−1
2
, y
n
=
√
x
n−1
y
n−1
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn và lim

⇒ x
n
≥ y
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Suy ra
y
n+1
=
√
x
n
y
n
≥
√
y
n
y
n
= y
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy
y
n
≥ y
n−1
≥ ··· ≥ y
2

2
.
Suy ra dãy số (x
n
) giảm, bị chặn dưới bởi
√
ab, còn dãy (y
n
) tăng và bị chặn trên bởi
a + b
2
.
Do đó chúng hội tụ. Đặt
lim
n→+∞
x
n
= α, lim
n→+∞
x
n
= β.
Khi đó từ giả thiế t x
n+1
=
x
n
+ y
n
2

n+1
=
a
n
+ b
n
2
, b
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
, ∀n = 1, 2,
Tìm lim
n→∞
a
n
và lim
n→∞
b
n
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 4
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.

b
n+1
=
a
n
+ b
n
2
.
2a
n
b
n
a
n
+ b
n
= a
n
b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Suy ra
a
n
b
n
= ··· = a
1
b

a
n
b
n
=
a
n−1
+ b
n−1
2
−
√
a
n
b
n
a
n−1
+ b
n−1
2
+
√
a
n
b
n
=
a
n−1

n−1
+ b
n−1
+ 2

a
n−1
b
n−1
=

√
a
n−1
−

b
n−1
√
a
n−1
+

b
n−1

2
.
Do đó, phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng
√

2
n−1
=

√
a −
√
b
√
a +
√
b

2
n−1
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy
lim
n→∞
√
a
n
−
√
b
n
√
a
n
+

a +
√
b





< 1

.
Theo trên suy ra
√
a
n
−
√
b
n
√
a
n
+
√
b
n
=
a
n
−

ab
= x
n
⇔ a
n
x
n
+
√
abx
n
= a
n
−
√
ab ⇔ a
n
=
√
ab(x
n
+ 1)
1 − x
n
.
Khi đó
lim
n→+∞
a
n

ab
=
√
ab.
Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
b
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
≤
2
2

1
a
n
.
1
b
n
=

a

b
n+1
≥ b
n
⇔
2a
n
b
n
a
n
+ b
n
≥ b
n
⇔ a
n
b
n
≥ b
2
n
⇔ a
n
≥ b
n
(đúng).
Hay ta viết lại
2ab
a + b

tăng và bị chặn trên bởi số
a + b
2
nên có giới hạn. Đặt
lim
n→∞
a
n
= α, lim
n→∞
b
n
= β.
Khi đó từ giả thiế t a
n+1
=
a
n
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được
α =
α + β
2
⇔ α = β.
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và
lim
n→∞
a

= lim
n→∞
b
n
=
√
ab.
Bài toán 3 (Nhân cùng-điều hòa cùng). Cho các dãy số (a
n
)
+∞
n=1
, (b
n
)
+∞
n=1
xác định như
sau
a
1
= a > 0, b
1
= b > 0, a
n+1
=
2
1
a
n

1
b
n+1
=

1
a
n
.
1
b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Đặt
1
a
n
= x
n
,
1
b
n
= y
n
. Khi đó x
1
=
1
a

n
= lim
n→+∞
y
n
. Do đó hai dãy
(a
n
), (b
n
) hội tụ và
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Bài toán 4 (Trung bình bậc r cùng-nhân cùng). Cho trước ba số dương a, b và r. Xét
hai d ãy số (x
n
)
+∞
n=1
và (y
n
)
+∞

n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
.
Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì x
n
> 0, y
n
> 0. Theo bất đẳng thức
Cauchy ta có:
x
n+1
=

x
r
n
+ y
r
n
2

1
r
≥


y
n
y
n
= y
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Vậy
y
n
≥ y
n−1
≥ ··· ≥ y
2
=
√
ab.
Tương tự ta có
x
n+1
=

x
r
n
+ y
r
n
2


2

1
r
.
Vậy nên
√
ab ≤ y
2
≤ y
3
≤ ··· ≤ y
n
≤ x
n
≤ ··· ≤ x
3
≤ x
2
=

a
r
+ b
r
2

1
r
.

=

x
r
n
+ y
r
n
2

1
r
, ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được.
α =

α
r
+ β
r
2

1
r
⇔ α
r
=
α
r
+ β
r

1
= b, u
n+1
=
u
n
+ v
n
2
, v
n+1
=
u
n+1
+ v
n
2
Tìm lim
n→∞
u
n
, lim
n→∞
v
n
.
Giải. Ta có
u
n+1
=

4
=

1
2
+
λ
4

u
n
+

1
2
+
3λ
4

v
n
.
Ta chọn λ sao cho
1
2
+
3λ
4
= λ


Đặt u
n
+ λv
n
= x
n
, suy ra
x
n+1
=

1
2
+
λ
4

x
n
, ∀n = 1, 2, . . .
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 8
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Vậy dãy số (x
n
)
+∞
n=1
tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu x
1
= a + λb, công bội

n
+ 2v
n
= a + 2b
⇔





u
n
=
1
3
(a + 2b) + (a − b) .
2
3
.
1
4
n−1
v
n
=
1
3

a + 2b − (a − b) .
1

n
v
n
, v
n+1
=
√
u
n+1
v
n
(∀n = 1, 2, . . . )
Hãy tìm lim
n→∞
u
n
và lim
n→∞
v
n
.
Hướng dẫn. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . ta có u
n
> 0 và v
n
> 0. Gọi x
n
= ln u
n
, y

2
=
x
n+1
+ y
n
2
.
Theo bài tập 5 ta có
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
=
ln a + 2 ln b
3
=
ln ab
2
3
= ln

ab
2

1

2
)
1
3
=

ab
2

1
3
.
Bài toán 7 (Điều hòa cùng-điều hòa lệch). Cho tr ước hai số dương a và b. Xét hai dãy
số (u
n
) , (v
n
) như sau:
u
1
= a, v
1
= b, u
n+1
=
2
1
u
n
+

=
1
u
n
+
1
v
n
2
,
1
v
n+1
=
1
u
n+1
+
1
v
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy đặt
1
u
n
= x
n
,

n
2
.
Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 5.
Bài toán 8 (Trung bình bậc r cùng-trung bì nh bậc r lệch). Cho trước hai số dương
a, b và cho trước r = 0. Xét hai dãy số (u
n
) , (v
n
) như sau:
u
1
= a, v
1
= b, u
n+1
=

u
r
n
+ v
r
n
2

1
r
, v
n+1

+ λv
r
n+1
=
u
r
n
+ v
r
n
2
+ λ
u
r
n+1
+ v
r
n
2
=
u
r
n
+ v
r
n
2
+ λ
u
r

λ
4

u
r
n
+

1
2
+
3λ
4

v
r
n
.
Tương tự như bài tập 5, ta chứng minh được
lim
n→∞
u
r
n
= lim
n→∞
v
r
n
=


1
r
=

a + 2b
3

1
r
.
Chú ý 2. Hàm sin hypebôlic và hàm cos hypebôlic lần lượt là hàm
sinh x =
e
x
−e
−x
2
, cosh x =
e
x
+ e
−x
2
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 10
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 9 (Cộng cùng-nhân lệch). Cho trước hai số dương a, b. Xét các dãy số (a
n
)

n→∞
x
n
, lim
n→∞
y
n
.
Giải.
Trường hợp 1: a = b. Khi đó a
n
= b
n
= a, ∀n = 1, 2, . . . Bởi vậy
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= a.
Trường hợp 2: a < b. Vì 0<a<b nên 0 <
a
b
< 1. Do đó đặt
a
b
= cos v


b
2
cos
2
v
2
= b cos
v
2
,
a
2
=
b cos
2
v
2
+ b cos
v
2
2
=
b cos
v
2

1 + cos
v
2

v
2
= b cos
v
2
cos
v
2
2
,
a
3
=
b cos
v
2
cos
2
v
2
2
+ b cos
v
2
cos
v
2
2
2
= b cos

v
2
2
cos
2
v
2
3
= b cos
v
2
cos
v
2
2
cos
v
2
3
,
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
n
= b

cos
v
2
cos
v

, ∀n = 2, 3, . . .
Theo công thức cos x =
sin 2x
2 sin x
(với sin x = 0), ta có
b
n
= b
sin v
2 sin
v
2
.
sin
v
2
2 sin
v
2
2
. . .
sin
v
2
n−2
2 sin
v
2
n−1
.

v
2
n
= b
sin v
v
lim
n→∞
v
2
n
sin
v
2
n
= b
sin v
v
.
Từ a
n
= b
n
cos
v
2
n
ta có
lim
n→∞

Trường hợp 3: a > b. Vì a > b > 0 nên
a
b
> 1. Gọi α là số để
a
b
= cosh α, tức là
a
b
=
e
α
+ e
−α
2
.
Ta có:
1 + cosh x = 1 +
e
x
+ e
−x
2
=
1
2

2 + e
x
+ e

−
x
2
2
.
e
x
2
− e
−
x
2
2
= 2 sinh
x
2
. cosh
x
2
.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
Vì hàm số f(x) = ln x liên tục trên khoảng (0; +∞) nên
lim
x→0
ln(1 + x)

1
ln(1 + y)
y
= 1.
lim
x→0
sinh x
x
= lim
x→0
e
x
− e
−x
2x
= lim
x→0
1
e
x
lim
x→0
e
2x
− 1
2x
= 1.
lim
x→0
cosh x = lim

b =

b
2
cosh
2
α
2
= b cosh
α
2
,
a
2
=
b cosh
2
α
2
+ b cosh
α
2
2
= b cosh
α
2
.
1 + cosh
α
2

α
2
2
= b cosh
α
2
cosh
α
2
2
,
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
n
= b

cosh
α
2
. cosh
α
2
2
. . . cosh
α
2
n−1

cosh
2

2 sinh
α
2
.
sinh
α
2
2 sinh
α
2
2
···
sinh
α
2
n−2
2 sinh
α
2
n−1
.
sinh
α
2
n−1
2 sinh
α
2
n
=

sinh
α
2
n
= b
sinh α
α
Từ a
n
= b
n
cosh
α
2
n
ta có
lim
n→∞
a
n
= l im
n→∞
b
n
. lim
n→∞
cosh
α
2
n

2
=

a
2
b
1
, , a
n
=
a
n−1
+ b
n−1
2
, b
n
=

a
n
b
n−1
.
Tìm lim
n→+∞
a
n
, lim
n→+∞

n
, b
n+1
=

a
n+1
b
n
(∀n = 1, 2, . . .)
Tìm lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
.
Giải. Từ giả thiết suy ra a
n
> 0, b
n
> 0, ∀n = 1, 2, . . . Ta có
1
a
n+1
=
1
a

b
n
= y
n
. Khi đó
x
1
=
1
a
1
> 0, y
1
=
1
b
1
> 0, x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, y
n+1
=
√
x


a
n+1
b
n
.
Chứng minh rằng các dãy (a
n
) và (b
n
) có cùng một giới hạn chung khi n dần tới dương vô
cực. Tìm giới hạn chung đó.
Hướng dẫn. Bài toán này chỉ là một trường hợp riêng của bài toán 11.
Bài toán 13 (Nhân cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (a
n
)
và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=

a
n
b

n
.
Trường hợp 2. a > b. Khi đó a
1
> b
1
. Giả sử a
k
> b
k
(với k ∈ N
∗
). Khi đó
b
k
<

a
k
b
k
< a
k
⇒ b
k
< a
k+1
< a
k
.

k
< b
k+1
< a
k
.
Do đó
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
<
a
k+1
+ b
k+1
2
⇒ 2b
k+1
< a
k+1
+ b
k+1
⇒ a
k+1
> b

a
n+1
+ b
n
2
>
b
n+1
+ b
n
2
⇒ b
n+1
> b
n
.
Vậy
b = b
1
< b
2
< ··· < b
n
< b
n+1
< a
n+1
< a
n
< ··· < a

⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Trường hợp 3. a < b. Khi đó a
1
< b
1
. Giả sử a
k
< b
k
(với k ∈ N
∗
). Khi đó
a
k
<

a
k
b
k
< b
k

k
+ a
k
2
= a
k
⇒ b
k
> b
k+1
> a
k
.
Do đó
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
>
a
k+1
+ b
k+1
2
⇒ 2b
k+1

= a
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
<
b
n+1
+ b
n
2
⇒ b
n+1
< b
n
.
Vậy
a = a
1
< a
2
< ··· < a
n
< a
n+1

, ∀n = 1, 2, . . . ,
cho n → +∞ ta được
y =
x + y
2
⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (a
n
), (b
n
) có giới hạn hữu hạn và
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 15
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.

Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N
∗
ta có a
n
> 0 và b
n
> 0.
Trường hợp 1. a = b. Khi đó a
n
= a = b
n
, ∀n = 1, 2, . . . , suy ra
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Trường hợp 2. a > b. Khi đó a
1
> b
1
. Giả sử a
k
> b
k

<
2
1
a
k
+
1
b
k
< a
k
⇒ b
k
< a
k+1
< a
k
.
Do đó
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
<
a
k+1

a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
<
2
1
a
n
+
1
a
n
= a
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2

n
) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (b
n
) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim
n→+∞
a
n
= x, lim
n→+∞
b
n
= y. Từ b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . ,
cho n → +∞ ta được
y =
x + y
2
⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim

+
1
b
k
<
2
a
k
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 16
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Suy ra
a
k
<
2
1
a
k
+
1
b
k
< b
k
⇒ a
k
< a
k+1
< b

+
1
b
n
<
1
a
n
+
1
a
n
. Do
đó
a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
>
2
1
a
n

< ··· < a
n
< a
n+1
< b
n+1
< b
n
< ··· < b
2
< b
1
= b.
Suy ra dãy (a
n
) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (b
n
) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim
n→+∞
a
n
= x, lim
n→+∞
b
n
= y. Từ b
n+1
=
a

n
.
Bài toán 15 (Cộng cùng-điều hoà lệch). Cho trước h ai số dương a và b. Xét hai dãy số
(a
n
) và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=
a
n
+ b
n
2
, b
n+1
=
2
1
a
n+1
+
1
b

x
n+1
+ y
n
2
.
Sau đó sử dụng kết quả bài toán 14
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 17
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 16 (Nhân cùng-điều hoà lệch). Ch o trước hai số dương a và b. Xét hai dãy
số (a
n
) và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=

a
n
b
n
, b
n+1
=

n
, y
n+1
=
x
n+1
+ y
n
2
.
Sau đó sử dụng kết quả bài toán 13
Bài toán 17 (Trung bình bậc r cùng-nhân lệch). Cho r = 0, a > 0, b > 0, xét các dãy
số (a
n
)
+∞
n=0
và (b
n
)
+∞
n=0
như sau:
a
0
= a, b
0
= b, a
n+1
=

Trường hợp 1: r > 0.
Trường hợp 1.1: a = b. Khi đó a
n
= a = b
n
, ∀n ∈ N. Suy ra
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= 1.
Trường hợp 1.2: a < b. Khi đó
a
r
< b
r
⇒ 0 <
a
r
b
r
< 1.
Do đó đặt
a
r
b

r
cos
2
v
2
,
b
r
1
=


a
1
b

r
=


b
2
cos
2
r
v
2

r
=

=
b
r
cos
v
2

1 + cos
v
2

2
= b
r
cos
v
2
cos
2
v
2
2
,
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 18
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
b
r
2
=


2
,
a
r
3
=
b
r
cos
v
2
cos
2
v
2
2
+ b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
2
= b
r
cos
v

2
3
.
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
r
n
= b
r

cos
v
2
cos
v
2
2
···cos
v
2
n−1

cos
2
v
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
b
r

v
2
.
sin
v
2
2 sin
v
2
2
···
sin
v
2
n−2
2 sin
v
2
n−1
.
sin
v
2
n−1
2 sin
v
2
n
= b
r

n→∞
v
2
n
sin
v
2
n
= b
r
sin v
v
Từ a
r
n
= b
r
n
cos
v
2
n
ta có
lim
n→∞
a
r
n
= lim
n→∞

Do đó
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b

sin v
v

1
r
.
Trường hợp 1.3: a > b > 0. Khi đó
a
r
b
r
> 1. Gọi α là số để
a
r
b
r
= cosh α.
Ta có
a



a
1
b

r
=


b
2
cosh
2
r
α
2

r
= b
r
cosh
α
2
,
a
r
2
=
b

2
,
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 19
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
b
r
2
=


b
2
cosh
2
r
α
2
cosh
2
r
α
2
2

r
= b
r
cosh
α
2

b
r
n
= b
r
cosh
α
2
. cosh
α
2
2
. . . cosh
α
2
n−1
cosh
α
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Theo công thức cosh x =
sinh 2x
2 sinh x
(với sinh x = 0), ta có
b
r
n
= b
r

=
b
r
sinh α
2
n
sinh
α
2
n
.
Do đó
lim
n→∞
b
r
n
= lim
n→∞
b
r
sinh α
2
n
sinh
α
2
n
= b
r

r
n
= lim
n→∞
b
r
n
. lim
n→∞
cosh
α
2
n
= b
r
sinh α
α
.
Bởi vậy
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b

sinhα

< 1.
Do đó đặt
a
r
b
r
= cos v

0 < v <
π
2

.
Tương tự như trường hợp 1.2, ta chứng minh được
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b

sin v
v

1
r
.

Lưu ý. Bài toán 9 là trường hợp riêng của bài toán 17 khi r = 1. Bài toán 11 là trường
hợp riêng của bài toán 17 khi r = −1. Bài toán 13 có thể xem là bổ sung cho trường hợp
r = 0 chưa được xét ở bài toán 17.
0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số.
Bài toán 18. Cho ba số thực a, b, c. Xét 3 dã y số (x
n
)
+∞
n=1
, (y
n
)
+∞
n=1
, (z
n
)
+∞
n=1
như sau:
x
1
= a, y
1
= b, z
1
= c,
x
n+1
=

=
y
n−1
+ z
n−1
2
+
z
n−1
+ x
n−1
2
+
x
n−1
+ y
n−1
2
= x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
.
Sử dụng liên tiếp các kế t quả trên ta thu được:
x
n
+ y
n

n−1
2
=
x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
2
+
x
n−1
2
=
a + b + c
2
+
x
n−1
2
=
M
2
+
x
n−1
2
, ∀n = 2, 3, . . .
Suy ra

2

M
2
−
x
n−2
2

= M

1
2
−
1
2
2

+
1
2
2
x
n−2
= M

1
2
−
1

2
3
x
n−3
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 21
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
= ··· = M

1
2
−
1
2
2
+
1
2
3
− ··· + (−1)
n−1
1
2
n−1

+ (−1)
n
1
2
n−1
x

n
2
n−1
a, ∀n = 2, 3, . . .
Ta có
lim
n→+∞
1
2
n−1
= 0, lim
n→+∞




(−1)
n
2
n−1




= lim
n→+∞
1
2
n−1
= 0 ⇒ lim

M
3
=
a + b + c
3
.
Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
z
n
=
a + b + c
3
.
Cách khác. Ta có
x
n
−y
n
=
y
n−1
+ z
n−1
2

− y
n
) = 0.
Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
(y
n
− z
n
) = 0, lim
n→∞
(z
n
− x
n
) = 0.
Ta có




x
n
−
a + b + c
3




+
z
n−1
−x
n−1
6




≤
1
6
|x
n−1
− y
n−1
| +
1
6
|x
n−1
− z
n−1
|.
Do đó lim
n→∞
x
n
=

)
+∞
n=1
theo quy luật sau:
u
1
= a, v
1
= b, w
1
= c và
u
n+1
=
√
v
n
w
n
, v
n
=
√
w
n
u
n
, w
n+1
=

ln u
n+1
=
ln v
n
+ ln w
n
2
, ln v
n+1
=
ln w
n
+ ln u
n
2
, ln w
n+1
=
ln u
n
+ ln v
n
2
.
Gọi x
n
= ln u
n
, y

2
, z
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Đến đây ta sử dụng bài toán 18.
Bài toán 20. Cho 3 số dương a, b, c. Lập dãy (u
n
)
+∞
n=1
, (v
n
)
+∞
n=1
,(w
n
)
+∞
n=1
theo quy luật sau:
u
1
= a, v

n
v
n
u
n
+ v
n
(n = 1, 2, . . .) .
Tìm lim
n→∞
u
n
, lim
n→∞
v
n
, lim
n→∞
w
n
.
Hướng dẫn. Đặt
1
u
n
= x
n
,
1
v

n
+ z
n
2
, y
n+1
=
z
n
+ x
n
2
, z
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Đến đây ta sử dụng bài toán 18.
Bài toán 21. Cho ba số dương a, b, c và cho r = 0. Xét ba dãy số (x
n
)
+∞
n=1
, (y
n
)

=

z
r
n
+ x
r
n
2

1
r
, z
n+1
=

x
r
n
+ y
r
n
2

1
r
Chứng minh rằng các dãy số này h ội tụ và tính giới hạn của chúng.
Giải. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . t hì x
n
> 0, y

r
1
+ y
r
1
+ z
r
1
= a
r
+ b
r
+ c
r
= M.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 23
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Do đó
y
r
n+1
+ z
r
n+1
=
z
r
n
+ x
r

+
x
r
n
2
⇒ M − x
r
n+1
=
M
2
+
x
r
n
2
⇒ x
r
n+1
= −
x
r
n
2
+
M
2
.
Đặt x
r

+
M
3
, ∀n = 1, 2, . . .
Do đó lim
n→∞
g
n
=
M
3
. Suy ra lim
n→∞
x
n
=

M
3

1
r
. Tương tự ta chứng minh được:
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
z


1
r
.
Nhận xét 5. Các bài toán 18, 19 là trường riêng của bài toán 21 này ứng với r = 1,
r = −1. Bài toán 20 cũng có thể xem là bổ sung cho trường hợp r = 0 không được xét ở bài
tập 21.
Bài toán 22. Cho bốn số thực a, b, c, d. Lập bốn dãy s ố (x
n
)
+∞
n=1
, (y
n
)
+∞
n=1
, (z
n
)
+∞
n=1
, (g
n
)
+∞
n=1
theo quy luật sau: x
1
= a, y

g
n
+ x
n
+ y
n
3
, g
n+1
=
x
n
+ y
n
+ z
n
3
, ∀n = 1, 2, . . .
Tìm
lim
n→∞
x
n
, lim
n→∞
y
n
, lim
n→∞
z

3
+
g
n−1
+ x
n−1
+ y
n−1
3
+
+x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
3
= x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
+ g
n−1
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 24
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Sử dụng liên tiếp các kế t quả trên ta thu được:
x

3
+
g
n−1
+ x
n−1
+ y
n−1
3
+
x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
3
=
2(a + b + c + d)
3
+
x
n−1
3
=
2M
3
+
x
n−1

=
M
3
−
1
3

M
3
−
x
n−2
3

= M

1
3
−
1
3
2

+
1
3
2
x
n−2
= M

3
3

−
1
3
3
x
n−3
= ··· = M

1
3
−
1
3
2
+
1
3
3
− ··· + (−1)
n−1
1
3
n−1

+ (−1)
n
1


+
(−1)
n
3
n−1
a, ∀n = 2, 3, . . .
Ta có
lim
n→+∞
1
3
n−1
= 0, lim
n→+∞




(−1)
n
3
n−1




= lim
n→+∞
1

a

=
M
4
=
a + b + c + d
4
.
Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
z
n
= lim
n→∞
g
n
=
a + b + c + d
4
.
Bài toán 23. Cho a, b, c, d ∈ (0; +∞). Lập bốn dãy số (u
n
)
+∞

v
n
w
n
t
n
, v
n+1
=
3
√
w
n
t
n
u
n
, w
n+1
=
3
√
t
n
u
n
v
n
, t
n+1