Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY
SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp
A. Một số kiến thức bổ trợ
1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục:
Định lý: Nếu hàm số ()
f
x liên tục trên đoạn
;ab và ().() 0fa fb
thì tồn tại ít nhất một điểm
;cab
sao cho
() 0fc
2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:
Định lý: Cho hàm số
()yfx
có đạo hàm trong khoảng (a;b)
a) Nếu
'( ) 0fx
a;b thì phương trình
fx gx có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng
a;b
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có
0
xa;b
sao cho
00
fx gx
thì phương trình
fx gx
có nghiệm duy nhất trên
a;b
3) Nguyên lý kẹp:
4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5) Định lý LAGRANGE:
Nếu ()
f
x là hàm số liên tục trên đoạn
;ab , có đạo hàm trong khoảng
;ab thì tồn tại
;cab sao cho
() ()
'( )
f
bfa
fc
ba
hay ( ) ( ) '( )( )
f
2) Chứng minh rằng
lim 4
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất.
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn.
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
Xét phương trình
22
11 1 11
14 1 1 12xx kx nx
với
22
'
22 2
2
2
14
( ) 0, 1;
1
141
1
n
kn
fx x
nx
xx
kx
nên ( )
n
nên tồn tại
0
1;x
sao cho
0
()0
n
fx
(4)
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
.
1 1 ( Do )
233521212121 22121
21
1
0
22 1
n
f
kn
kk nn kk
k
n
3
Do ( ) 0
nn
fx nên ( ) (4)
nn n
nn
cx sao cho
''
1
4 ( ) ( )(4 ) ( )
22 1 4
nn nn n nn
n
ffxfcxfc
nx
Mặt khác
22
'
22 2
2
2
14 1
( )
9
nn n
n
xc c
c
) nên
11 9
4
22 1 4 9 22 1
n
n
x
nx n
Tóm lại ta luôn có:
9
44
22 1
n
x
n
n
x
.
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1
Xét phương trình
22
11 1 1 1
0
214xx x x k xn
với
21
n
fx x
xx
xk xn
nên ( )
n
f
x nghịch biến trên
0;1 . (2)
4
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;1
Do ( )
n
f
x liên tục trên
0
()0
n
fx
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1 .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim
n
n
x
Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của
n
x
Với mỗi số nguyên dương n ta có:
1
1
0
lim ( )
n
x
fx
và
1
()
n
f
x
nghịch biến trên
0;
n
x
nên suy ra phương trình
1
() 0
n
fx
n
n
x
.
Bài toán 3.
Xét phương trình
2
10
n
xxx trong đó n là số nguyên dương và
2n
.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
xxxx
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
f
x trên
0;
Do
1
'( ) 2 1
n
f
xnx x
nên ( )
n
f
x nghịch biến trên
1;x . (3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
0
1;x
sao cho
0
()0
n
fx
(4)
5
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
.
2)
Ký hiệu nghiệm đó là
n
x
.Chứng minh rằng
lim 1
n
n
x
nnn nn
n
xx
x
xn
xxx xx
nn
(5)
(Trong (5) không có dấu bằng bởi vì 1
n
x nên
2
11
nn
xx
)
Kết hợp với 2
n
x , với mọi 1, 2 n ta được:
2
Bài toán 4.
Xét phương trình
21
1
n
x
x
trong đó n là số nguyên dương .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
, suy ra (2) vô nghiệm trên
;1
+ Với 01
x
thì
2
1
n
x nên (2) 0VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
0;1
+ Với
10x
thì
21
01
n
x
x
nên (2) 1VT
1;
Ta lại có:
2
'( ) 2 1 1 0, 1;
n
fx n x x
nên ( )
f
x đồng biến trên
1;x
. (4)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
6
Do ( )
2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là x
n
. Tìm lim
n
n
x
Do x
n
là nghiệm của phương trình (1) nên : 1
n
x và
21
21
11
n
n
nn n n
xx x x
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
n
n
x
n
Kết hợp với 1
n
x , với mọi 1,2 n ta được:
21
1
2
n
n
x
n
nn
xx x
trong đó n là số nguyên dương và
2n
.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2) Tìm lim
n
n
x
.
Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
2n
, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất
Xét phương trình:
1
1 0
fx nx n x
với mọi
0;x
và
2n
nên ( )
n
f
x là hàm số đồng biến trên
0;
(2)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;
Do ( )
(3)
7
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là
n
x
.Tìm lim
n
n
x
Do
n
x
là nghiệm của phương trình (1) nên: 0
n
x và
2
1
n
nn n
xx x
và lim 0
n
n
n
x
nên kết hợp với (4), (5) suy ra
11
1
12
aa
a
Vậy
1
lim
2
n
n
x
Xét phương trình:
n
x
xn
(1)
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
n
f
xxxn trên
1;
Do
'1
() 1 0
n
n
fx nx
với mọi
1;x
fnn
nên tồn tại
0
0;x
sao cho
0
()0
n
fx
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là
n
Vậy lim 1
n
n
x
8
Bi toỏn 7.
Cho số thực a > 2. Đặt
10 10
() 1
nn
n
f
xax x x
(n = 1,2, ). Chứng minh rằng với mỗi n phơng
trình ()
n
f
xa có đúng một nghiệm (0; )
n
x
. Chứng minh dãy số ()
n
x
, ta chứng minh dãy
n
x
tăng v bị chặn.
Ta có
1
10
10
1
11
11
11
1
n
n
n
a
ga a
aa
a
n .
Mặt khác, từ
10 10
( ) 1 0
nn
nn n n
gx ax x a
, suy ra
10 11 1
() 0
nn
nn n n n n n
xg x a x x x ax
=>
1
() ()1 1 0
nn nnn n n
gx xgx axaax a
do
1
1
n
x
.
Chú ý: Có thể chứng minh
1
lim 1
n
n
x
a
bằng cách đánh giá
1
9
111
1(1)11 1
n
n
aa x
aaa
.
Thật vậy, ta có
10 2
10 10 10
,
kéo theo
1
9
11
1(1)11
n
n
xaa
aa
.
9 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Copyright: Tài liệu đại học ©