BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới
hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu
u
n
có
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số
hạng nào đó trở đi. Kí
hiệu:
 
lim 0 hay u 0 khi n + .
n
u
n
n
   


b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn
là a hay (u
n

2. Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
*
k
11
lim 0 , lim 0 , n
n

  
n

b)
 
lim 0
n
q 
với
1q 
.
c) Lim(u
n
)=c (c là hằng số) => Lim(u
n
)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
 
 
 
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
nn
u
u
a
b
v v b
        
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u   

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công
bội q ,với
1.q 


n

 
khi
n 
.
b) Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là

khi
n 
nếu lim
 
n
u  
.Ký hiệu:
lim(u
n
)=

hay u
n


khi
n 
.
c) Định lý:
o Nếu :

 
 
n
Pn
u
Qn


với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P
là a
0
, hệ số cao nhất của Q là b
0
thì chia tử số
và mẫu số cho n
k
để đi đến kết quả :
 
0
0
lim
n
a
u
b

.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và
mẫu cho nBÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Bài tập

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Tính các giới hạn sau :

Tính
21
lim
n
n


Ta có :
1
2
21
lim lim 2
n
n

n
n
n












Tính


2
2
3 2 5
lim
78
nn
nn

Giải
Ta có
2
2

3
3
21
523
n
nn



Giải
Ta có
Ta có : lim
3
3
21
523
n
nn


=lim
)2
1
(
)
52
3(
3
3
32







Giải
Ta có :
3
3
3 3 3
3
32
32
3
33
23
21
3
2 3 1
lim lim
21
3
lim 3
1
1
nn
n
n n n
nn

nn
n



Giải
Ta có
2
2
2
2
2
2
11
4
41
lim lim 2
3
32
2
n
nn
nn
n
n
n





lim lim
1 2 1 2
1 1 1
3
lim 0
1
2
nn
nn
n
nn
n
n n n
n











Tính lim
n
nn
21
14

1
2
1
1
1
4
2



n
nTính


2
14
lim
32
nn
n

Giải






1
73
2


n
nn
)
giải
Ta có :
2 2 2
3 7 ( ) ( 3 7)
lim
11
7
2
27
lim lim 2
1
1
1
n n n n n n
n
nn
n
n
n
n

     

n
nn
n
nn
n
nn
  






Tính
   
32
5
2 3 1
lim
14
nn
n



Giải
   
32
5
32

 
2
2
22
lim
21
nn
n



Giải
Ta có :
 
2
2
2
2
2
22
1
2 2 1
lim lim
1
2
21
21
n
nn
nn

2
42
2
24
14
2
2 4 2
lim lim 2
1 1 2
21
2
n
nn
nn
nn
n
nn





  



Tính
52
53
1











BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Tính
23
lim
4
n
n
n











Giải
Ta có
31
41
44
3 4 1
lim lim 1
4 2 1
11
41
24
nn
n
nn
nn
nn
n

   


   

   


  


   







Tính
7.2 4
lim
2.3 4
nn
nn



Giải
Ta có :
7
41
7.2 4
2
lim lim 1
2.3 4
3
4 2 1
4
n
nn
n
nn

11
5.2 3 5.2 3
lim lim
2 3 2.2 3.3
2
3 5 1
3
1
lim
3
2
3 2 3
3
n n n n
n n n n
n
n
n
n












   
   
   

Vì
cos
cos 1 1 cos
lim 0 lim 0
n
nn
mà nên
n n n n n
   

Tính
2
3
cos5
lim 5
nn
n





Giải
Ta có :

2

)1
22
nnn 

=lim
nnn
nnnnnn


22
2222
1
)1)(1(

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
=lim
nnn
nnn


22
22
1
)()1(

=lim
nnn
n

Giải
Ta có :






22
2 2 2 2
22
lim 1
11
lim
1
n n n
n n n n n n
n n n
  
     

  

22
2
1
1
11
lim lim
2






  
     

  
  

  
2
22
2
22
2
lim 2 3
2 3 2 3
lim
23
23
lim
23
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
n n n


11
n
n
nTính


22
lim 1 2n n n  

Giải
Ta có :






22
2 2 2 2
22
lim 1 2
1 2 1 2
lim
12
n n n
n n n n n
nn


  

  



Tính
22
1 4 2
lim
3
n n n
n
   


Giải
Ta có




 


 
 



NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
 


2
22
31
lim
3 1 4 2
nn
n n n n
  

    

2
2
2
22
11
3
lim 3
3 1 1 2
1 1 4
n
nn
n
n n n n


2 2 2 2
22
12
lim 1 2 lim
12
12
3
lim lim
1 2 1 2
33
lim
2
12
11
n n n
n n n
nn
n n n
n
n n n n
n
n
nn
  
   
  
  


     

3
2
3
2
33
3
lim 2
2 2 2.
lim
2 2.
nn
n n n n n n
n n n n   
 
 


   


   
33
33
2
3
2
33


Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát
sau đây có giới hạn 0 :

sin
1
n
n
u
nn



Giải
Ta có :
sin sin
sin 1
11
1 sin
lim 0 lim 0
1
nn
n
nn
n n n n
n
mà nên
n
nn
  

!
n
u
n


Giải
Ta có
1 1 1 1
0 lim 0
!!
mà lim nên
n n n n
  2
1 cos
21
n
n
u
n




Giải
Ta có :
2


5
31
n
n
n
u 


Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
5 5 5
3 1 3 3
55
lim 0 lim 0
3 3 1
n
nn
nn
n
n
n
mà nên





n n n





 
2
3
1 sin cos
21
n
n
nn
u
n




Giải
Ta có :
 
 
1
2
3





 
11
1
1
23
n
n
nn
u




Giải
Ta có :
 
 
1 1 1 1 1 1
11
1
1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 2 2 2
1
11
lim 0 lim 0
2 2 3

1
15
lim 0 lim 0
n cos n n
n n n n n n
n cos n
mà nên
n n n n







2
21
n
u n n  

Giải
Ta có :








2
1
lim 0 lim2 1 0nên n n
n
   1
n
u n n  

Giải
Ta có :
  
1
2
11
1
1
1 1 1 1 1
2
12
n n n n
nn
nn
nn
n
n n n n n

12
n
u
n n n n
   
  

Giải
Ta có số hạng tổng quát là :
 
3 3 3
11
1,2, ,
11
k
n
u k n
n k n n
    
  
Nên
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
3
1
0
1
lim 0 lim 0
k




  



CMR
a)
 
1
01
4
n
u

b)
1
3
4
n
n
u
u



Từ đó suy ra
lim 0
n

k k k
u
u u u


      



Vì
1
0
4
k
u
nên
1
31
0
16 4
k
u

  

Vậy (1) luôn đúng với mọi n.

Câu b)
Ta có :
2

3 2 1
11
11
3
4
33
44

3 3 1 3
4 4 4 4
nn
nn
uu
u u u
u u u
















u
xác định bởi
1
1
10
nn
u
uu









CMR
a)
 
1, 1
n
un

b)
1
1
1
2
n

k
u



Thật vậy ta có :
11
11
k k k k
u u màu nên u

  

Vậy (1) luôn đúng với mọi n.

Câu b) theo bài ra ta có:
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  
1
1
11
11
1
11
2
1
nn
nn

1
1
2
nn
vv



Vậy
21
2
3 2 1
11
11
1
2
11
22

1 1 1
9
2 2 2
nn
nn
vv
v v v
v v v




nên v u
u


    




Cho dãy số
 
n
u
xác định bởi
1
1
5
2
6
3
nn
u
uu








3
n n n n
nn
u u u u
vu


     
  

Mặt khác
18
nn
uv

Vậy
 
1
22
18 12
33
n n n
v v v

   

Vậy
 
n
v

vv
v v v
v v v
















   
  
   

   


Mà

1
2





  



Tính
lim
n
u
.
Giải
Ta nhận xét
1 2 3 4 5
3 5 9 17
2, , , ,
2 4 8 16
u u u u u    

Dự đoán
 
1
1
21
1
2
n
n




- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)
đúng với n = k+1.hay
1
21
2
k
k
k
u




- Thật vậy ta có:
1
1
1
1
1
21
1
1 2.2 1 2 1
2
2 2 2.2 2
k
kk
k

nn
u









  

Cho dãy số
 
n
u
xác định bởi
 
1
1
1
2
1
1
2
n
n
u
un

n
n
u
n



Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp
- Với n=1, ta có :
1
1
2
u 
(đúng)
- Giả sử (1) đúng với
 
1n k k
.
Nghĩa là
1
k
k
u
k



- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)
đúng với n = k+1. Hay
1


Suy ra
1
n
n
u
n


đúng với mọi
1n 

Vậy
lim lim lim 1
1
1
1
n
nn
u
n
n
n
  







u
S
q
  




Tính tổng
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
n
S


   



Giải
Dãy số vô hạn
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
n

  


Giải
Theo bài ra ta có :
 
1
32 1
1
u
S
q



Mặt khác
2 1 1
8
8u u q u
q
   
thế vào (1)
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
ta có
2
1
8
1
32 4 4 1 0 16
12

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

Tính lim(2n
3
+3n-1)
giải
Ta có lim(2n
3
+3n-1)=lim n
3
(2+
32
13
nn

)=+
Tính lim(-2n
2
+n
n
-n+4)
Giải
Ta có : lim(-2n
2


Tính
2
lim 1nn

Giải
Ta có
2
2
11
lim 1 lim 1n n x
nn
      
Tính
32
lim 2 1nn

Giải
Ta có :
32
3
11
lim 2 1 lim 2n n n n
nn



Giải
Ta có :
3
3
2
3
23
3
1
3
lim lim
2 15
2 15
n
nn
n
n
n
nn





  




2
11
lim
31
nn
nn



Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
2
2
2
2
2
23
1 11
1
11
lim lim
31
31
1
n
nn
nn




     



Tính lim(
)1
22
nnn 

Giải
Ta có :lim(
)1
22
nnn 

=limn(
 )
1
1
1
1
2
n
nTính

n



Giải
Ta có :
3
3
23
2
3
3
11
35
3 5 1
lim lim
14
4
n
nn
nn
n
n
nn





  
Tính
2
2
lim
1
n
n






Giải
Ta có :
32
2
3
3
3
23
22
lim lim
11
12
1
lim
11

nn
và
n n n n


   


  



   





Tính


3
2
21
lim
23
nn
nn

Giải

23
2 3 3 2
21
lim 1 1 0
1 1 3 1 3 1
lim 0 0
nn
và
n n n n n n


   


  



     





Tính
2
2
lim
1
n









  



Vì
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

3
2 3 2 3
12
lim 1 1 0
1 1 1 1
lim 0 0
nn
và
n n n n


3
3
3 4 6
11
23
2 1 1 3
lim lim
1 7 5
75
nn
nn
nn
n n n
  

  

  
  


vì
3
3 4 6 3 4 6
11
lim 2 3 6 0
1 7 5 1 7 5
lim 0 0
nn
và

nn
=lim
)
5
1
)
5
4
((5
))
5
3
.(21(5
n
nn
nn



=lim



n
n
n
5
1
)
5

4
( 
n
n
)

Tính


22
lim 1 2 1nn  

Giải
Ta có :






 
22
2 2 2 2
22
22
2
2 2 2 2
lim 1 2 1
1 2 1 1 2 1
lim

n
n n n n




  

  



Vì
2
2 4 2 4 2 4 2 4
2
lim 1 1 0
1 1 2 1 1 1 2 1
lim 0 0
n
và
n n n n n n n n



    







   


     




Tính
 
1
lim 2 4 1
nn


Giải
Ta có :
 
1
4
lim 2 4 1 lim 2 1
4
1 1 1
lim4
2 4 4
n
n n n
nn

   
    

   

   


Tính
52
lim
1 2.2
n
n



Giải
Ta có :
2
51
52
5
lim lim
1 2.2
12
5 2.

5 5 5 5
n
nn
nn
và


  






   

   

   


   

 Tính










  


   


   

   

Vì
21
lim 2. 3 3. 3
55
2 4 2 4
lim 3. 7. 0 3. 7. 0
5 5 5 5
n
n
n n n n
và

1 1 1
1
23
n
u
n
    

Giải
Ta có :
Vì
1
n
là số nhỏ nhất trong n số
Nên
1 1 1 1 1
.
n
u n n
n n n n n
      

Mà
lim lim
n
nu    Tính
23





  










Vì
lim 0
3
lim 2. 1 1
3
22
lim 0 0
3 3 3 3
n
n
nn
nn
n
n
nn

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

x

      Tính


2
2
lim 5 6
x
x



Giải


22
2
lim 5 6 2 5 6 3
x
x

      Tính
3

x
x




Giải
Ta có :
3
3
lim 0
1
x
x
x



Tính
3
2
lim
21
x
x
x




Giải
Ta có :
22
3
2 3 3 2.3 3
lim 0
2 3 2
x
xx
x

   


Tính
 
2
4
2
lim
4
x
x
x


2
lim
4
x
x
x


 
Tính
 
2
2
2
lim
2
x
x
x




Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )

x
x


 


Tính
 
2
3
5
lim
3
x
x
x




Giải
 
     
3
22
3
lim 5 2 0
lim 3 0 3 0 3
x

3
2
2
1
lim
2
x
x
x




Giải
Ta có :
 
 
     
3
3
2
22
2
lim 1 2 1 7 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x


x x x

   

Giải
Ta có :
 
 
32
3
23
lim 2 1
1 2 1
lim 1
x
x
x x x
x
x x x


   

      


Tính

x
x
x




Giải
Ta có :
2
2
2
11
1
lim lim 0
1
1
1
xx
x
xx
x
x
 







xx
xx
x
x x x x
x
x x x












   
Tính
  
23
5
1 1 2 2
lim
1
x

x


  

  
  
  
  






Tính
  
24
6
1 1 2
lim
1
x
x x x
x

  


Giải

  
  
  






BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Tính
2
1
lim
1
x
x
x




Giải
Ta có :
2
22
11
11

lim
2
x
x
x




Giải
Ta có :
2
22
11
22
21
lim lim lim 2
2
2
2
1
1
x x x
x
x
xx
x
x
x
x

lim 1 1
xx
x
x x x x x
xx
x
xx
 


      



    



Tính


2
lim 3 1
x
x x x

  

Giải
Ta có :

lim 1
x
x x x

  

Giải
Ta có :






 
2
22
2
22
2
2
2
lim 1
11
lim
1
1
1
lim lim
11

     

  
  

 
  
  






  



Tính


22
lim 2
x
x x x

  

Giải


x
x
xx
x
x x x
x x x x x x
xx
x x x
x
xx
xx
xx
x
x
x
xx


 

  
     

  
  


  
  


 
22
2 2 2 2
22
22
22
22
22
lim 2
22
lim
12
2
2
lim lim
12
12
11
2
1
1
lim
2
12
11
x
x
xx
x
x x x

   



Tính
0
1
1
lim
1
1
x
x
x




Giải
Ta có :
000
11
1
1
lim lim lim 1
11
1
1
xxx
x

2 3 2
lim lim
1
1 3 3
3
xx
x
x
x
x
x
x
 





  






Tính
32
64
21
lim

3
xx
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
 


















x
x
xx
xx
xx
 












Tính
2
23
lim
23
x
x
x





 
42
3
1
lim
11
x
xx
xx




Giải
Ta có :
 
 
4
42
24
3
4
3
11
1
1
lim lim 1
11
11
11

x
xx




Giải
Ta có
2
2
2
1
3
31
lim lim
1
12
12
1
3
lim 3
1
12
xx
x
x
x
x
xx
xx

x
x
xx




Giải
2
2
2
14
1
14
lim lim
1
1
1
14
1
1
lim
2
1
11
xx
x
x
x
x




VÀ
GIỚI HẠN MỘT BÊN

Tính
2
3
3
lim
23
x
x
xx




Giải
Ta có :
  
 
2
33
3
33
lim lim
2 3 1 3
11


Giải
Ta có :
  
 
 
2
2
11
1
13
23
lim lim
1
21
21
2
34
lim 1
1
3
2
2
xx
x
xx
xx
xx
xx
x




Giải
Ta có :
  
  
 
2
2
11
1
12
2
lim lim
1 1 1
23
lim 1
12
xx
x
xx
xx
x x x
x
x
x




xx
x x x
x
x
xx



  

Tính
3
2
2
8
lim
11 18
x
x
xx




Giải
Ta có :
 
 
  
 
Tính
 
3
0
3 27
lim
x
x
x



Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
 
 
 
3
32
00
2
0
3 27
9 27 27 27
lim lim

  

Ta có :
 
 
 
 
32
32
3
2
2
2
2
33
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
3 2 1
2 1 11
lim lim
4 1 17
3 4 1
3
x
xx
x x x
x x x
x x x
xx

Ta có :
 
 
3
2
11
1 3 1 3
lim lim
1 1 1
11
xx
x x x
x x x




  


  
  



 
 
 
 
  




     



      

   
Tính
5
5
lim
5
x
x
x




Giải
Ta có :
  
 
55
55
5
lim lim 2 5 5


 


 


  
 


 
22
2
22
2
2
22
22
2
2
5 3 5 3
53
lim lim
2
2 5 3
22
59
lim lim
2 5 3 2 5 3

     
Tính
1
1
lim
32
x
x
x




Giải
Ta có :
  
  
     
  
11
11
1 3 2
1
lim lim
32
3 2 3 2
1 3 2 1 3 2

x
x
x


   


Tính
2
2
lim
73
x
x
x




Giải
Ta có :
 
 
  
22
2 7 3
2
lim lim
73

1
32
lim
1
x
x
x




Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  
 
 
 
 
 
11
11
3 2 3 2
32
lim lim
1
1 3 2
1 1 1
lim lim 1

49
x
x
x




Giải
Ta có :
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
2
7
2
7
2
7
7
7

xx







   

  


  


   

    
  Tính
22
2
3
2 6 2 6
lim
43
x

x x x x
xx
x x x x x x x x
x x x x x x


    

         

      

 
 


  


 


 
22
3
2 2 2
3
22
3
22

     Tính
2
22
lim
73
x
x
x




   
   
 
 
 
 
 
2
2
22
22
lim
73
2 2 7 3 2 2
lim


  

Tính
2
3 2 5
lim
22
x
x
x




Giải
   
   
2
2
3 2 5
lim
22
3 2 5 3 2 5 2 2
lim
2 2 3 2 5 2 2
x
x
x
x

4
lim 2
3
3 2 5
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x



  

  
   

  
  
    
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )

Tính
4
21
lim
1
x
x
x





Giải
Ta có :
4
2 1 2.4 1
lim 3
1 4 1
x
x
x




Tính



Tính
 
 
2
2
2
4
lim
12
x
x
xx





Giải
Ta có :
 
 
  
 
 
  
 
 
 









   
  


  
   
Tính
3
2
1
1
lim
1
x
x
x




x




  




  

Tính
0
3
lim
2
x
xx
xx





Giải
Ta có :


  
Tính
3
21
lim
3
x
x
x





Giải
Ta có :
 
 
3
3
lim 2 1 5
lim 3 0 3 0 3
x
x
x
x và x x

lim
2
x
x
x





Giải
Ta có :
 
 
2
2
lim 2 1 3 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




  






Giải
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

Ta có :
 
 
2
2
lim 3 7 1 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




   



     




Ta có :
 
 
2
2
2
lim 2 2 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x





  


     



Nên
2
2
2
lim
2

   
 
 
2 2 2
36
32
lim lim lim 3 3
22
x x x
x
x
xx
  
     


  
Tính
 
2
36
lim
2
x
x
x


 
3
39
lim
3
x
x
x





Giải
Ta có :
 
3 9 0 3xx    

Nên
   
 
 
3 3 3
39
33
lim lim lim 3 3
33
x x x
x
x

 
 
3 3 3
39
33
lim lim lim 3 3
33
x x x
x
x
xx
  
     


    
Tính
 
2
1
32
lim
1
x
xx
x



   




  
    Tính
 
2
1
32
lim
1
x
xx
x





Giải
Ta có :
 
1 0 1xx    


2
2
lim
1
x
xx
x




Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943

  
  
 
2
12
2
lim lim
11
12
lim lim 2
1
xx
xx

Ta có :

 
 
 
22
5 2 5 2
lim lim
2 1 2 1
91
lim
2 4 4 2 1
1 9 1
lim
2 4 4 2 1
xx
x
x
x x x x
xx
x
x
x
x x x
 


   

  

3
lim lim
22
xx
xx
xx
xx





Xét
2
22
0 0 0
3
3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2
x x x
xx
x x x
xx
  
  


  
2

0
2
lim
2
x
xx
x



Giải
Ta có :
2
24
00
12
2
lim lim
22
xx
xx
xx
xx





Xét
2

   
vậy không tồn tại
24
0
2
lim
2
x
xx
x


.

Cho hàm số
 
 
 
 
2
2
9 3 3
13
93
xx
f x x
xx

   


  

 
2
33
lim lim 9 0
xx
f x x


  

 
3
lim 0
x
fx

Cho hàm số
 
 
 
3
13
,1
11
21

11
2
1
13
lim lim
11
12
13
lim lim
1 1 1 1
2
lim 1
1
xx
xx
x
fx
xx
xx
xx
x x x x x x
x
xx








12
1
xx
f x f x
m
m



  
  

Và
 
1
lim 1 1
x
f x khi m

  