MỤC LỤC
Chương 1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP..........................................................3
1.1.

Sự cần thiết hình thành giải pháp............................................................3

1.2.

Mục tiêu của giải pháp.............................................................................4

1.3.

Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp........................................4

1.4.

Các căn cứ đề xuất giải pháp...................................................................4

1.5.

Phương pháp thực hiện............................................................................4

1.5.1.

Phương pháp nghiên cứu tài liệu.....................................................4

1.5.2.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm.................................................4

1.6.

Các chỉ dẫn cụ thể, mô tả rõ từng giải pháp trong cấu trúc tổng thể

để khắc phục những hạn chế của các giải pháp đã biết).............................20
Chương 3. HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP...................................................................29
3.1.

Thời gian áp dụng..................................................................................29

3.2.

Hiệu quả đạt được..................................................................................29
1


3.3.

Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp.................................................29

Chương 4. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ.......................................30
4.1.

Kết luận..................................................................................................31

4.1.1.

Tính mới..........................................................................................31

4.1.2.

Tính khả thi.....................................................................................31

phân biệt được dạng để áp dụng và giải bài tập mà các bài toán về tìm giới hạn
hàm số và ứng dụng của giới hạn hàm số giữ một phần rất quan trọng để xét tính
liên tục của hàm số, dùng định nghĩa để tính đạo hàm…
Vì vậy để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập giới hạn của hàm số
cũng như nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường tôi đã chọn đề tài “Một
số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 giải các bài tập về giới hạn của hàm số” .
1.2

Mục tiêu của giải pháp:

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạo
hứng thú học tập cho học sinh.

3


Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được từng dạng bài tập giới hạn
hàm số trong SGK, sách bài tập và mở rộng kiến thức để làm một số bài tập khó.
Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
Trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm trong việc dạy bộ môn nhằm nâng cao hiệu
quả giảng dạy .
1.3 Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp
Khi học chương giới hạn và giải các bài tập liên quan đến giới hạn của
hàm số học sinh cần nắm vững các định nghĩa, thuộc các định lý, công thức cũng
như cách áp dụng công thức cho từng bài toán cụ thể.
Cần nắm vững từng dạng bài tập mà lựa cách giải cho phù hợp.
1.4.

Căn cứ đề xuất giải pháp
Dựa trên thực trạng đa số các em học sinh rất khó tiếp thu khi học chương

Đề tài này chỉ nghiên cứu và áp dụng trong phạm vi kiến thức trọng tâm
môn toán cho học sinh lớp 11 ở học kỳ 2.

-

Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Văn Cừ.
Chương 2. QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP

2.1.

Quá trình hình thành
2.1.1. Giải pháp đề xuất:
Trong những năm gần đây cùng với sự phát triển mạnh mẽ của đất nước thì

nền giáo dục đã liên tục có những cải cách, đổi mới nhằm đáp ứng yêu cầu nâng
cao chất lượng giáo dục và đào tạo . Điều đó dẫn tới việc giáo dục phải có những
phương pháp giảng dạy cho phù hợp, việc nghiên cứu kỹ từng bài dạy, từng đặc
điểm bộ môn và đối tượng người học để có sự kết hợp đa dạng các phương pháp
dạy học là việc cần làm ngay của mỗi giáo viên .
Hơn nữa đa phần các em học sinh ở trường Nguyễn Văn Cừ vì điều kiện
kinh tế khó khăn phải dành nhiều thời gian phụ giúp gia đình, một số em chưa
thực sự phát tập trung cho việc học, nhiều em hổng kiến thức cơ bản từ lớp dưới
5


nên khi học chương khó có nhiều định lý và nhiều dạng bài tập như chương giới
hạn thì các em thực sự lúng túng, không phân loại được từng dạng bài tập dẫn
đến kết quả học tập là không cao.
- Vì vậy để giúp học sinh có thể dễ dàng tiếp thu, không ngại khó khăn khi
giải các bài toán giới hạn, biết phân loại và tìm ra phương pháp giải từng dạng

không nhàm chán cụ thể :
- Với học sinh trung bình yếu thì yêu cầu học sinh cần đạt được được điểm 5-6
vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải được các dạng toán cơ bản ở
mức độ nhận biết và suy luận đơn giản.
- Với học sinh khá giỏi thì yêu cầu học sinh cần đạt được được điểm từ 6.5 trở
lên. Vì vậy ngoài những dạng toán cơ bản, học sinh cần phải nắm vững thêm
những dạng toán nâng cao, toán khó. Do đó người giáo viên cần hướng dẫn
học sinh phải biết phân loại các dạng toán và phương pháp giải ở mức độ
thông hiểu và vận dụng.
b) Xây dựng tài liệu học tập
-Tài liệu học tập được biên soạn dưới dạng tóm tắt kiến thức cơ bản của sách
giáo khoa theo từng chủ đề, phân dạng toán và phương pháp giải và một số bài
tập áp dụng.
- Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
1. Giới hạn hữu hạn:
7


A/ Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ;

x → x0

lim c = c (c: hằng số)

x → x0

B/. Định lí:
f ( x ) = L và lim g( x ) = M
a) Nếu xlim

f ( x) = L

0

f ( x ) = L thì lim f ( x ) = L
c) Nếu xlim
→ x0
x → x0

C. Giới hạn một bên:
lim f ( x ) = L

x → x0

f ( x ) = lim + f ( x ) = L
⇔ xlim
→ x0 −
x → x0

2. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
A. Giới hạn đặc biệt:
neáu k chaün
lim x k = +∞ ; lim x k = +∞

x →+∞
x →−∞
 −∞ neáu k leû
lim c = c ;

x →±∞

x 0

B. nh lớ:
f ( x ) = L 0 v lim g( x ) = thỡ:
Nu xlim
x0
x x0
+ neỏu L vaứ lim g( x ) cuứng daỏu

x x0
lim f ( x )g( x ) =
g( x ) traựi daỏu
x x0
neỏu L vaứ xlim
x0

0 neỏu lim g( x ) =
x x0
f ( x )
lim
= + neỏu lim g( x ) = 0 vaứ L .g( x ) > 0
x x0 g( x )
x x0


neỏ
u
lim g( x ) = 0 vaứ L .g( x ) < 0

x x0


Ở đây tôi sẽ khái quát phương pháp giải cụ thể, ví dụ minh họa và

một số bài tập về giới hạn hàm số theo từng dạng như sau:
2.2.1 Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm:
f ( x ) = f ( x0 ) .
a) Dạng 1: xlim
→x
0

Phương pháp giải :
- Dạng này ta chỉ cần thay trực tiếp x0 vào biểu thức f(x).
- Cần lưu ý là chỉ thay x0 được khi f ( x ) là hàm đa thức, hàm căn hoặc là
dạng phân số khi thay x vào thì có mẫu khác 0.
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:

( 4 x − 3)
1/. xlim
→2
6x −1
x→3 x + 5

3/. lim

x 2 + 5 − 4)
2/. xlim(
→2
x 2 − 3x + 2
x →−2
x−2

12
4/ lim
=
= − = −3
x →−2
x−2
4
( −2 ) − 2
2

Bài tập tương tự
2
- 2x+5)
1. lim(4x
x →1

lim ( 3x - 4x + 5 )

3

x →3

x 3 +7x - 5
5. lim
x →-1 2x 4 +1

b) Dạng 2: xlim
→x

0

x0 vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(x0)=L, g(x)=g(x0)=0. nên
f ( x)

g( x )

L
lúc này có dạng  ÷. Lưu ý kết quả dạng này là −∞ hoặc +∞
0

.
Phương pháp giải cụ thể như sau:

11


f ( x) = L
Bước 1: Tính xlim
→ x0
g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ x .
Bước 2: Tính xlim
0
→ x0
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để rút ra kết luận.
lim f ( x ) = L

lim g( x ) = 0

lim

L>0


−3 x + 5

( x − 3)

2

2 / lim

x →−1

3x − 4

( x + 1) ( x

Bài giải
1 / lim
x →3

−3 x + 5

( x − 3)

2

12

3

)


( x + 1) ( x

3

)

+1

= lim

x →−1

= lim

x →−1

3x − 4

( x + 1) ( x + 1) ( x

(

)

(

)

)


Vậy lim
x →−1

3x − 4

( x + 1) ( x

Bài tập tương tự:
Tính các giới hạn sau:
1 / lim
x →2

4x + 2

( x − 2)

3 / lim

x →−1

2 / lim

2

x →3

5x + 3

( x + 1)


+1

= −∞ .


Dạng 3: xlim
→x

0

f ( x)

g( x)

0
→  ÷. (ta tính nhẩm dạng bằng cách thay x0 vào f(x) và
0

g(x). Ta thấy f(x)=f(x0)=0, g(x)=g(x0)=0 nên xlim
→x

0

f ( x)

g( x)

0
lúc này có dạng  ÷.

x→1 2 x − x − 1 ÷



Bài giải
x−2
1
1
 x−2 
1/Lim  2
= Lim
= Lim
=
÷
x →2  x − 4 
4
x →2 ( x − 2 ) ( x + 2 )
x →2 x + 2

14


2 ( x − 1) ( x + 1)
 2x2 − 2 
2 / Lim 
= Lim
= Lim 2 ( x + 1) = 4
÷
x→1
( x − 1)

x→2
x2 − 4

x+3
x →−3 x 2 − 9
3 x 2 − 8 x − 16
4 / lim 2
x → 4 x + x − 20

2 / lim

Dạng 2: Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức có bậc cao hơn 2 thì ta phân tích các
đa thức thành nhân tử, giản ước nhân tử chung rồi làm tương tự dạng 1.
Lưu ý:
-Có thể hướng dẫn học sinh dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
-Sơ đồ Hoocner để phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử ( hoặc sử dụng máy
tính bỏ túi để tách các đa thức).
a)Một vài hằng đẳng thức đáng nhớ:
A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

(
= ( A + B) ( A

A3 − B 3 = ( A − B ) A2 + AB + B 2
A3 + B 3

2

− AB + B 2



(kq này luôn là 0)
Với f(x) = a0x + a1x + a2x +…+an f(x)=0 có nghiệm x = x0 thì
n

n-1

n-1

f(x) =(x-x0)( b0xn-1 + b1xn-2 +…+bn ).
c) Sử dụng máy tính bỏ túi:

f ( x ) = ax n + bx n −1 + cx n − 2 + cx n −1 + dx n −3 + …

f(x)=0 có nghiệm

x = x0 Ta tiến hành các bước sau:
1 Ấn a = AC
2 Ấn Alpha X + x0 . Ans
3 Ấn Calc rồi nhập các giá trị b,c,d,…..được các kết quả chẳng hạn là e,f,g,
…đây là các hệ số của đa thức :

( ax n −1 + ex n −2 + fx n −3 + gx n −4 + ...)
Suy ra f(x) được viết lại là:

f ( x ) = ( x − x 0 ) ( ax n −1 + ex n − 2 + fx n −3 + gx n − 4 + ...)
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau
1/ lim

x →2



Bài giải
x3 − 8

( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
x 2 + 2 x + 4 12
1 / lim
= lim
= lim
=
=3
x →2 x 2 − 4
x →2
x →2
( x − 2)( x + 2)
x+2
4
2
3
1 + x − 1) ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + 1
(
1
+
x
−
1
) = Lim



x →1
( x − 1)( x + 4)
( x + 4)
5

= lim

3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 10
x 4 − 3x2 − 4

x →2

)

= lim

( x − 2)(3 x 2 + 5 x + 5)

x →2 ( x − 2)( x 3

+ 2 x 2 + x + 2)

= lim

(3 x 2 + 5 x + 5)

x →2 ( x 3

+ 2 x 2 + x + 2)



lim

x → x0

f ( x)

g( x)

với f(x0) = g(x0) = 0

a) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc thì nhân tử và mẫu cho
các biểu thức liên hợp. Các biểu thức liên hợp thường gặp:

17

=

27
20


1)

a− b=

2)

a+ b=


2− 4−x
x →0
x

b) lim



4x
c) lim 
÷
x →0  9 + x − 3 

d ) lim

x →1

x →1

x+2 −2
x +7 −3

4 x + 5 − 3x + 6
x +3 −2

Bài giải

(2− 4− x)(2+ 4− x)
2− 4− x
1

)(
x + 7 − 3) (

x +2 −2

18

)(
x + 7 + 3) (
x+2 +2

)
x + 2 + 2)
x+7 +3


( x − 2) (
= lim
x →1 x − 2
( )(

) = lim x + 7 + 3 = 6 = 3
x + 2 + 2 ) x →1 x + 2 + 2 4 2
4 x ( 9 + x + 3)
4 x ( 9 + x + 3)

4x
= lim
÷ = lim
9+ x−9


)(

x +3 +2

) ( x + 3 − 2)
( 4 x + 5 − 3x − 6 ) ( x + 3 + 2 )
( x − 1) ( x + 3 + 2 )
= lim
= lim
x →1 x + 3 − 4
(
) ( 4 x + 5 + 3x + 6 ) x→1 ( x − 1) ( 4 x + 5 + 3x + 6 )
x + 3 + 2)
(
2
= lim
=
x →1 4 x + 5 + 3 x + 6
(
) 3
x →1

(

)(

x +3 +2

b) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn không cùng bậc ta sử dụng thủ

x

1 + 2 x − 3 1 + 3x
b) lim
x →0
x
Bài giải

 3 x +1 −1 1− 1− x 
x +1 − 1− x
a) lim
= lim 
+
÷
x →0
x →0 
x
x
x


 1 1 5
1
1
= lim 
+
÷= + =
x →0  3
2
3

3

Bài tập tương tự:
3

2x + 6 − x + 3
a) lim
x →1
x −1
3
x −9 + x+3
d ) lim
x →1
x −1

x + 2 − 3 2 + 3x
b) lim
x →2
x −2
3
x−6 + x+6
e) lim
x →−2
x2 + x − 2

c) lim

x →−1

d ) lim

+∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – ∞
nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
−2 x + 4
a) lim
x→−∞ 3 x − 5
− x2 − 8x + 5
d ) lim 3
x →+∞ 2 x − 6 x 2 + 7

4 x 2 + 3 x − 11
b) lim
x →+∞ 7 x 2 − x + 5

6 x 2 + 3x − 8
c) lim 4
x →−∞ 3 x − 9 x + 1

3x 4 + 6 x + 7
e) lim 2
x →+∞ 2 x − 2 x + 5

4 x5 + 3x − 8
f ) lim 4
x →−∞ x − 6 x + 1

Bài giải
4
4


−
4
+
−

÷

4 x 2 + 3x − 11
x x2 
x


b) lim
= lim
= lim
x →+∞ 7 x 2 − x + 5
x →+∞
x →+∞ 
1
5
1


x2  7 − + 2 ÷
7 − +
x x 
x




x →−∞ 3 x − 9 x + 1 x →−∞
9
1  x→−∞ 
9
1 
4
x 3 − 3 + 4 ÷
3 − 3 + 4 ÷
x
x 
x
x 



21


5
5
 1 8
 1 8
x3  − − 2 + 3 ÷
− − 2 + 3÷

− x − 8x + 5
x x
x 
x x
x 

x
x 
e) lim 2
= lim 
= lim x 2 . 
= +∞
x →+∞ 2 x − 2 x + 5
x →+∞
2 5  x→+∞
2 5 

2
x 2 − + 2 ÷
2 − + 2 ÷
x x 
x x 


3
8 
3
8 


x5  4 + 4 − 5 ÷
4+ 4 − 5 ÷

5
4 x + 3x − 8
x

d ) lim 4
x →+∞ 3 x − 5 x 2 − 9

6 x3 + 9 x − 4
b) lim 3
x →−∞ 3 x − 6 x + 7
−4 x 4 + 6 x3 + 7
e) lim
x →−∞ 2 x 2 + 7 x − 3

4 x5 + 3x 2 − 2
c) lim
x →−∞ 3 x 3 + 4 x − 5
2 x 3 + 11x 2 − 6 x + 3
f ) lim
x →+∞ 9 x 4 − 6 x 2 + x − 4

 f ( x )  với f(x) là hàm đa thức hoặc biểu thức dưới dấu căn.
Dạng 2: lim
x→ ∞ 
Phương pháp:
Đưa mũ cao nhất của x ra ngoài đa thức hoặc trong biểu thức dưới dấu căn .
Cần lưu ý khi x → +∞ thì khi đưa x ra khỏi dấu căn thì coi như x > 0 và khi
x → −∞ thì coi như x
a) lim (3 x 4 − 7 x 3 + 5 x − 2) = lim x 4 .  3 − + 3 − 4
x →+∞
x →+∞
x x
x

vì:
 lim x 4 = +∞
 x →+∞

7 5
2

x4 . 3 − + 3 − 4
 xlim
x x
x
 →+∞ 


÷= 3 > 0

2 5

b) lim (4 x 3 − 2 x 2 + 5) = lim x 3 .  4 − + 3 ÷ = −∞
x →−∞
x →−∞
x x 

vì:

x x
 →+∞

23


÷= +∞


x 2 − 3x + 4
4 x 2 + 2 − 3x + 4
x2 − 2 + 2 x − 1


d ) lim 4 x 2 + 7 x − 8 = lim x . 4 +
x →−∞

x →−∞

7 8
7 8
− 2 = lim − x. 4 + − 2 = −∞
x →−∞
x x
x x

vì:
 lim x = −∞
 x →−∞




 3 1 
 3 1 
x. 1 − + 2 ÷
1 − + 2 ÷
x x 
x x  1


= lim
= lim
=
x →+∞
x →+∞
1
1
2


x2 + ÷
2 + ÷
x
x


4 x + 2 − 3x + 4
2

f ) lim

x 

2 

− x. 1 − 2 ÷ + 2 x − 1
x 


Bài tập tương tự
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau

24

= lim

x →−∞

= lim

x →−∞

2 

x .  4 + 2 ÷ − 3x + 4
x 

2 

x . 1 − 2 ÷ + 2 x − 1
x 

e) lim

x →−∞

x →+∞

4 x 2 + 3 x − 11
−4 x + 3

c ) lim 9 x 2 + 4 x − 2
x →+∞

f ) lim

x →−∞

x2 + 2 x − 9 x − 1
4 x 2 + 6 x − 1 + 3x + 2

Dạng 3:
a) Dạng:

lim  f ( x ) ± g ( x )  → ∞ − ∞

x →∞ 


Giới hạn này thường có chứa

căn.


b) lim  x 2 + 2 x + 3 − x ÷
x →+∞ 

4x - 1
e) lim ( 2x + 3 )
x →+∞
x3 + 2x

3

d ) lim ( x 3 + x 2 − x )
x →±∞

c ) lim  x 2 + x − x 2 − 2 ÷
x→−∞ 


Bài giải
a) lim

x →+∞

(

4 + x − x ) = lim

x →+∞

(