SỞ
SỞ GD&ĐT
GD&ĐT VĨNH
VĨNH PHÚC
PHÚC
TRƢỜNG
THPT
TAM
DƢƠNG
TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG II
II

BÁO
BÁO CÁO
CÁO KẾT
KẾT QUẢ
QUẢ
NGHIÊN
NGHIÊN CỨU,
CỨU, ỨNG
ỨNG DỤNG
DỤNG SÁNG
SÁNG KIẾN
KIẾN

Tên Tên
sángsáng
kiến:kiến:

MỘT
MỘT SỐ


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu.
1.1. Lí do chọn sáng kiến.
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến giới hạn của
dãy số là một những mảng kiến thức hay và khó, đặc biệt khi bài toán chưa cho
công thức số hạng tổng quát của dãy. Một trong những kiểu dãy số như vậy
chính là dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi
nhiều kĩ thuật; bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp
tỉnh, quốc gia và quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và
bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kỹ thuật tìm
giới hạn của các bài toán dạng này.
Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài
“Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi ” sẽ cho ta một phương pháp
để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ
thức truy hồi. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và
cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan tính giới hạn
của dãy số được cho bởi công thức truy hồi.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TRUY HỒI.
3. Tác giả sáng kiến.
- Họ và tên: Phùng Thế Bằng
- Địa chỉ: Trường THPT Tam Dương II - Tam Dương - Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0912 911 921
- Email:
4. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến: Phùng Thế Bằng

u:
n

Đặt u n

u n

un và gọi là số hạng tổng quát của dãy số un .

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ ℕ*, được gọi là
dãy số hữu hạn.
c) Dãy số cho bằng công thức truy hồi, tức là:
+ Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
+ Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng
(hay vài số hạng đứng trước nó).
Ví dụ: Dãy Fibonaxi được xác định bởi
u1 u2 1
un

un

un

1

2

n

3


un

M.


a) Dãy số có giới hạn 0.
- Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết : lim un
0 hoặc lim un

0 hoặc un

0

Định lí 1: Cho hai dãy số un và vn
0 thì lim un

vn với mọi n và lim vn

Nếu un

1 thì lim q n

Định lí 2: Nếu q

0.



B ; lim un

AB
. ; lim cun

A
(Nếu B
B

A

vn

B

cA

0)

Định lí 4:(Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn)
Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q 2, ..., u1q n ,... có công bội q với q

1 gọi

là một cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó

S

u1

hay un
Định lí 5: Nếu lim un

thì lim
5

1
un

0


II. Các dãy số đặc biệt.
1. Cấp số cộng.
u1

a) Định nghĩa: Dãy số un xác định bởi

a

un

un

1

d, n

( a, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng. Trong đó: a là số hạng
đầu tiên, d là công sai.


2

Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S n ) của cấp số cộng un
được cho bởi công thức:
Sn

u1

u2

...

n
u
2 1

un

n
2u
2 1

un

n

1d

2. Cấp số nhân.

Tính chất 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân un được cho bởi công thức:

u1.q n

un

6

1


Tính chất 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S n ) của cấp số nhân un
với công bội q

1 được cho bởi công thức:
Sn

u1

u2

1 qn
u1.
1 q

un

...

3. Một số tổng đặc biệt.

1. Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định công
thức tổng quát (CTTQ) của dãy.
DẠNG 1: Cho dãy số un biết
hằng số.
Ta chỉ xét với trường hợp q

u1

a

un

1, q

qun

1

0, d

d, n

1

, trong đó q, d là các

0 vì nếu xảy ra dấu bằng ở một trong

ba trường hợp này thì dãy đã cho là CSC, hoặc dãy không đổi, hoặc CSN.
Ta sẽ đưa dãy này về một CSN, bằng cách đặt un vn c , thay vào hệ thức


1

d

qvn nên vn là

một CSN.
Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định như sau:
Tính lim un .
Giải:

7

u1
un

1

2020
1
u
2019 n

2018, n

1


Đặt un


u1

Ta có: 3un
Đặt un

vn

1

u2

n 1

1
2019

un

1

2
v
3 n

un

1

1

1

vn

1
3

1

vn

1 . Khi đó:
2
v , n
3 n

1

n 1

suy ra un

v2

1

....

vn



un . Tính lim Sn

...

2un

1

1
v . Nên vn là một
2019 n

1 . Do đó

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
Đặt Sn

vn

2018

1
và v1
2019

CSN có công bội q
vn

un

3

n

n.

1 . Do


u1

DẠNG 2: Cho dãy số un biết
là các hằng số và q
+ Nếu q

0;c

a0

un

qun

1

cn

d, n

1


c. n

...

1 , khi đó ta đặt un

+ Nếu q

qvn

1

Chú ý: Nếu un

1

a n

1

vn

1

qvn

d

a

n

1d

en

f

an, khi đó:

q vn
a

0

cn n

a0

an

cn

a

c n

qa
a


Giải:
Ta có:
u1 5
u2 u1 3.1 2
u 3 u2 3.2 2
....................
un

un

1

3. n

1

2

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
9

u1
un

5
1

un

3n

3n

2n

1

2

7n
2n 2

3n n

1

2n

2

3

14

1

7

lim

Ví dụ 4: Cho dãy số un được xác định bởi

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy và tính lim

un

1

9n

n

1

.

n

2018n

Giải:
Đặt un

vn
v1

1

9n
1 10
10 vn



10vn

1

10.10n

10 , do vậy vn
10n
lim
2018n

2018n

vn

un

10n

1

un

n . Từ

0

a0
rc n


rc n n

u1
u2

a0
u1

1

, ta có thể làm như sau:

rc

u 3 u2 rc 2
....................
un

un

1

rc n

1

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
un



cr 1 c n

a0

1 c


vn

1

acn

1

ac n

q vn

xác định a sao cho r

a q

rc n

c

vn



u1

c

un

a0
qun

1

n

rq , n

Thay vào hệ thức truy hồi ta được: q n 1vn

1

q q nvn

1

q n .vn .

, khi đó ta đặt un
rq n

vn

1

Hãy tìm lim un
Giải:
Ta có:
u1

2019

1
2
2
1
u 3 u2
2
....................
u2

u1

un

un

1

1
2

n 1


n 1

2019

1

2020

1
2

2020

un
3n

1

n 1

Ví dụ 6: Cho dãy số un được xác định bởi
Hãy tìm lim

1
.
2

n 1


Đặt un
vn

3n

vn

3 2
2 vn 3n

n 1

3

1

un
3n

5 và công bội q

đầu v1

Do đó lim

un
3n

vn


5 2
lim .
6 3

1

DẠNG 4: Cho dãy số un biết

vn là một CSN với số hạng
n

1
3

1

3n.

1
.
3

a

un

cun
,
q dun



1

q.vn

d

u1

a

DẠNG 5: Cho dãy số un biết
là các hằng số.
Đặt un vn
vn

vn

Ta xác định
d

un

vn

b
q

1



d vn

d

vn

1

vn

d
q

2

1

c

b

c vn

q

d vn

q



Ví dụ 7: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2014 - 2015) Cho dãy số  un  được xác định
2014 u1 1 u2 1 ... un 1
un
, n 1,2,3,... Tính lim
bởi: u1 1, un 1
.
2015n
un 1
12


Giải:
1
, thay vào hệ thức truy hồi ta có:
vn

Đặt un

1
vn

1
vn

1
vn

1


1

vn

1

n

1 .1

n

1
. Do đó
n

1
1
1
1
1 ...
1
2014 u1 1 u2 1 ... un 1
1
2
n
lim
lim
2015n
2015n

Đặt vn

yn

với y1

v1

q

yn

2

1
vn

2

1

1 , ta có: yn
1

1
2

3 n
.2
2

1

2yn

, công bội
3 n
.2
2

vn
2n
3.2n

2vn

2 yn

1

1

1

2

1

1

1

3
1

un

1

n

un

2

.

1

Hãy tìm lim un .
Đặt un

Giải:
, từ hệ thức truy hồi ta có:

vn

vn

Ta xác định

1


1 , khi đó: vn

1
yn
1

1

0

1

1
yn

2

vn

vn

2

1
1
, ta có:
yn 1
vn



1

1
và công sai d
2

1

n . Khi đó un

vn

u1

1

1

1
yn

1 , do đó

2n
2n

1

1.


4
6

vn

1
1

4 0 , chọn
Ta xác định sao cho 2 5
5vn
1
, khi đó:
vn 1
. Ta lại đặt yn
vn
vn 2

14

vn
vn

2

yn

1



lim un

yn

2

1

1
, ta có: an
3

số hạng đầu a1
do đó an

5

1
3

y1

2 2
.
15 5

2
4.
5

5 n

1

1
3

4
n 1

1
. Tiếp tục đặt
5

an

1

2 2
.
15 5

yn

2
y
5 n

1
3


5n 4.2n
. Do vậy
2n 5n

n

1
2
5

n

1

BAI TẬP TỰ LUYỆN:
1. Cho dãy số (un) xác định bởi

u1
un

5
2
u
3 n

1

ĐS: limSn = -18
u


, n

1

.Tính limun

2

u1

4. Cho dãy số (un) xác định bởi

1, n

1

2
3

22n

3. Cho dãy số (un) xác định bởi

6, n

1
un

1


2
un
1

3un

2

, n

1

Tìm số hạng tổng quát của un và tính lim 2n.un .
1

ĐS: un

6. Cho dãy số un

4
7

; lim 2n.un

7.2n 2 3
u1 2
xác định bởi
2un
un 1


m

- Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un
n

lim un

n

1

Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi
hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.
u1 1
Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định bởi
un 1
un
un2 1 1

n

2

. Tính lim un .

Giải :

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un


Khi đó dãy đã cho tồn tại giới hạn. Ta đặt lim un

a

lim un

a

chuyển qua giới hạn hai vế của hệ thức truy hồi ta được: a
Vậy lim un

a, a

1

a2

a

1

0 ,
0

0

Ví dụ 2: Cho dãy số un xác định bởi

u1



1.

2018
un 1

1
.2.
2

un 1.

2018
un 1

2018 , vậy

un bị chặn dưới.

n

, ta có : un

1
u
2 n

un

1

a

2018
a

a2

2018 . Vậy lim un

Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định bởi

a

2018 . Do

2018 .

u1
un

2018

2
1

2

un , n

1


un 1 > un , n

uk

2

2

uk

2

1

uk 1 . Vậy

2 . Ta sẽ chứng minh dãy ( un )

1 . Do đó un bị chặn dưới bởi

bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy
Khi n = 1 ta có u1
Giả sử uk

2

2, k

2

2

a

a2

a

2

a

a
a

2

un

1
2

2 . Vậy lim un

2 nên a

lim 2

1


3 1, n

.

Với n

1 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n

n

1 , ta có uk

k

6

1

uk

6

3

k k

(do 0

1



6

un

6

un

3

un un

2

0

un

6

un

0

a

3 . Từ hệ thức

).


a2

a

6

0

a
a

3
2

.


u1

Ví dụ 5: Cho dãy số un xác định bởi:

1
2 2un

un

un

1


2 2uk
1

uk

1
3

k k

10

4

uk

(do 0

1

un

un

2 2un
un

1


a
un 1 3
a 3
a

2 . Với

, ta có :

un2 un 2
un 3

Vậy un tồn tại giới hạn hữu hạn. Ta đặt lim un

Do 0

1 , ta có uk

2 (do uk

3

luôn đúng với mọi n
.
Ta chứng minh un đơn điệu tăng. Thật vậy n
un

. Ta chứng

.

2.

Nhận xét : Ta cũng có thể tính giới hạn này bằng cách sử dụng dạng 5 trong
mục 1.
Ví dụ 6: Cho dãy số un

u1
xác định bởi: u2
un

1
2
1

.
un

un 1 , n

2

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó.
Giải :
Dễ thấy un

0, n

. Ta chứng minh un

19


un

un

1

2 un

2

k k

uk

1

u1

un

1 , ta có uk

uk 2 , vậy (1) luôn

1, n

.

4, n


Do 1

lim un

1

a

lim un

lim un

4

a

1

a2

2 a

4a

4.

Ví dụ 7: Cho dãy số un xác định bởi

u1


Mặt khác ta có
(vì un

un 2 4
2un

2, n

un .

un

1

1

uk

1

1
(u
2 n

4
un

2, n



0

4
) . Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
un
1.

1
2

2
un 2

1
2

1
2

1

1
)
2

Nên un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2, do đó dãy un có giới hạn hữu
hạn. Giả sử lim un
Và ta có un
a2

a

a2 4
2a


Ví dụ 8: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2015-2016) Cho dãy số  xn  được xác định
bởi: x1  2016, xn1  xn2  xn  1, n  1, 2,3,...
a) Chứng minh rằng dãy  xn  tăng và lim xn  .
1 1
1
  ...   . Tính lim yn .
xn 
 x1 x2

b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn  2016 
Giải:
a) Ta có n
xn

x1

, xn

1

xn2

xn



a

0

không bị chặn trên và do đó lim xn  .
b) Từ hệ thức truy hồi ta có:
xn1  xn2  xn  1  xn1  1   xn  1 xn 

1
xn

1
xn1  1



1
xn

1
1
1


 xn  1 xn xn  1 xn

1
xn


 2016 


  2016 

 x1  1 xn1  1 
 2015 xn1  1 

Từ đó lim yn

2016
.
2015

Ví dụ 9: Cho dãy số un xác định bởi
Tính lim (

u1
u2

u2
u3

.....

un
)
un 1

21


u1
u2

1
un

u2
u3

u1
u2

Do đó lim

un

1

un

un

2

un , n

1

2019.


.....

1
u1

1
un

2019 1
1

lim 2019. 1

1
un

1

1
un

1

Giả sử un bị chặn trên, khi đó dãy un có giới hạn hữu hạn, giả sử lim un
(Vì un

1, n

a


un
)
un 1

.....

a

0 (vô lý).

2019

Ví dụ 10: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2013-2014) Cho dãy số x n được xác định
như sau: x1

3, x n

x n2

1

3x n

4, n

1,2,... Chứng minh rằng x n là một

dãy đơn điệu tăng và không bị chặn. Tìm giới hạn của dãy số yn trong đó yn
được xác định bởi công thức:

2

3.

22


Giả sử dãy bị chặn trên, khi đó dãy tồn tại giới hạn hữa hạn. Đặt
lim xn  a  a  3 . Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình:

a

a2

3a

a2

4

4a

4

2 (Vô lí vì a  3 ). Vậy  xn  không

a

0


x2

2

1

1
x1

Khi đó lim yn

x2

2
xn

1

x3

2

1
2

1

1

xn

un

1

un

un 1 , n

6

số đã cho có giới hạn và tính giới hạn đó
(ĐS: lim un
2. Cho dãy un

u1
xác định bởi u2
un

1

. Chứng minh rằng dãy

3)

9
6

. Chứng minh rằng
un


u
2 n

un

(ĐS: 1)

23

2, n

1


u1

4. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

1
u1

1
u2

un

1

un


1

un

u1
un

...

...

1)2 , n

1

1

1
1

...

un

1
1

2019


2

1
u2

1

7. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

1, n

2019

1

1
1

un

...

1

6. Cho dãy ( un ) xác định bởi
Tính lim

un 2


7un

25), n

1

1
un

2

C. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại nhà trường
+) Nhóm thực nghiệm : Đội tuyển học sinh giỏi
+) Lớp đối chứng : 11A1
Kết quả: Các học sinh đội tuyển HSG đa phần có thể làm được các bài tập dạng
này, còn các em không trong đội tuyển và chưa tìm hiểu các kỹ thuật giải toán
này thì rất khó khăn và hầu như không thể giải quyết được yêu cầu của bài toán.
Điều đó cho thấy học sinh ở nhóm thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng
kiến thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với đối
chứng.
24


8. Những thông tin cần bảo mật: Không có
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.
Môn Toán là môn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử của học sinh, vì
vậy luôn được sự quan tâm nhà trường, các em học sinh cũng như các bậc phụ
huynh. Không những thế đây còn là môn học được nhiều lĩnh vực khác áp dụng.
Đối với học sinh: Cần rèn luyện tư duy logic, nắm được kỹ thuật giải để