GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
A.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Một số giới hạn đặc biệt
limC C=g
1
lim 0
n
=g
lim 0 ( 0)
k
C
k
n
= >g
( 1)
lim 0 ( 0)
n
k
k
n
-
= >g
khi lim 0 ( 1)
n
q q= <g
II. Nguyên lý kẹp
 Nếu
0
,
lim 0

ï
ï
í
ï
= =
ï
ï
î
thì
lim
n
u a=
III. Một số tổng hữu hạn

1
( 1)
1 2 3
2
n n
S n
+
= + + + + =L

2 2 2 2
2
( 1)(2 1)
1 2 3
6
n n n
S n

2
1 2
lim
5
n n
n n
- +
+
3)
3 2
3
2 4 3 3
lim
5 7
n n n
n n
- + +
- +
4)
5 1
lim
3
n
n
-
+
5)
2
4
2 2

lim
5
n n
n
- +
+
9)
2
6 5
2 3
lim
5
n
n n
-
+
10)
5 3
5 4
3 7 11
lim
3
n n
n n n
- + -
+ -
11)
3 2
3 2
1

lim
n n
n n
- +
+
15)
2 1
lim
3
n
n
-
+
Bài 2: Tính các giới hạn sau đây:
1)
3 2
2
( 5) ( 7)
lim
n n n
n
+ - +
2)
3 2
2
2 1 5
lim
5 1
2 3
n n

÷
ç
÷
ç
è ø
+ +
Bài 3: Tính các giới hạn sau đây:
1)
2
2
2 3
lim
2
n n
n n n
+ +
+ -
2)
2
2 3
lim
1
n n
n n
+
+ -
3)
2
3
2 1

+ -
+ +
2)
2
3
(3 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
n n
n n
+ +
- +
3)
2
3
(2 1) (4 )
lim
(3 5)
n n
n
+ -
+
4)
( ) ( )
( )
( )
2 3
2
2
2 3 4 7

(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
8)
3 2
5
(2 3 ) ( 1)
lim
1 4
n n
n
- +
-
9)
( 1)(2 1)
lim
(3 2)( 5)
n n
n n
+ -
- +
10)
2 4
3 6
(5 2)(2 1)
lim

lim
1 3
n n
n
-
-
2)
1
lim
1
n
n
+
+
3)
3
3
lim
2
n n
n
+
+
4)
4
2
2 3 2
lim
2 3
n n

2
1 1
lim
3 2
n n
n
+ - +
+
9)
2
1 1
lim
3 2
n n
n
+ - +
+
10)
2
1 2
lim
2 1
n n
n
+ -
+
11)
2 2
3 1 4
lim

2 3 1
n n n n
n n
+ - +
+ +
15)
2 1
lim
3 1
n n
n
- -
+
16)
2
lim
1
n
n +
17)
( ) ( )
5 5
2 2
5
1 1
lim
n n n n
n
- - + + -
Bài 6: Tính các giới hạn sau đây:

n
+ -
3)
( 1) 2
lim
n
n
- +
4)
2
2 1
( 1)
lim
2 ( 1)
n
n
n
n
+
+ -
+ -
Bài 7: Tính các giới hạn sau đây:
1)
! ( 1)!
lim
2( 1)! 7 !
n n
n n
+ +
+ +

n n
+
2)
2
3 1
lim
2 2
n
n
+
+
3)
3 2.5
lim
7 3.5
n n
n
-
+
4)
4 5
lim
2 3.5
n n
n n
-
+
5)
1 1
( 3) 5

8)
1 3
lim
5 4
n
n
+
-
9)
2 1
5 7
lim
2.3 4.9
n n
n n
+ -
-
+
10)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
+
+
+
11)
1 2

+ +
15)
1 1
5.2 3
lim
2 3 1
n n
n n+ +
-
+ +
Bài 9: Tính các giới hạn sau đây:
1)
( )
lim 3 1 2 1n n- - -
2)
( )
2
lim 1n n n+ + -
3)
( )
2
lim 3n n n- + -

4)
( )
2
lim 2 1n n n+ + - +
5)
( )
lim 3 5n n+ - -

14)
lim n n n n
æ ö
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
15)
2 2
1
lim
2 4n n+ - +
16)
2
4
3
1
lim
n n
n n n
+ +
+ -
17)
2
lim( )n n n+ -

lim 1n n+ -
2)
3 3
3 2 3
lim( 1)n n n+ - +
3)
( )
3
2 3
lim n n n- +
4)
( ) ( )
2 2
3 3
lim 1 1n n
æ ö
÷
ç
+ - -
÷
ç
÷
ç
è ø
5)
3
3 2 2
lim( 3 )n n n n+ - +
6)
2 2

+ -
L
3)
2 2 2
3
1 2
lim
3 2
n
n n
+ + +
+ +
L
4)
3 3 3
2 2
1 2
lim
( )
n
n n
+ + +
+
L
5)
3 3 3
1 2
lim
(2 3)( 1)
n

1
3 3 3
lim
1 1 1
1
5 5 5
n
n
æö æö æö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ + + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æö æö æö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ + + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
L
L
9)
1 1 1

L
12)
2 2 2 2
3
1 2 3
lim
(7 2)
n
n
+ + + +
+
L
13)
1 1 1 1
lim
1.3 2.4 3.5 ( 2)n n
æ ö
÷
ç
÷
+ + + +
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
L
14)

÷
-
ç
÷
÷
ç
è ø
+
L
17)
2 2 2
4
2.1 3.2 ( 1)
lim
n n
n
+ + + +L
18)
1 2 3 4 (2 1) 2
lim
2 1
n n
n
- + - + + - -
+
L
Bài 11: Tính các giới hạn sau đây: (dùng nguyên lý kẹp)
1)
sin3
lim 1

4)
2
.sin2
lim
1
n
n
n
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+
5)
3
2
.sin( !)
lim
1
n n
n +
6)
1
lim

3 3
2sin( 1)
lim
2
n n
n n n
+ +
+
11)
3.7 cos( 1)
lim
7
n
n
n- +
12)
1
( 1) .2 .cos
lim
5
n n
n
n
+
-
13)
2 2
lim sin 2cos
n
n n+

-
ê ú
-
ê ú
ë û
18)
5.2 cos4
lim
2
n
n
n-
19)
2
2
3 4sin
lim
n n
n
+
20)
2 ( 1)
lim
4 3
n
n
n
+ -
+
21)

æ öæ öæ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
ê ú
÷ ÷ ÷ ÷
= - - - -
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
ê ú
è øè øè ø è ø
ë û
L
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 1
2 3
C
n
é ù
æ öæ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ê ú
÷ ÷ ÷
= - - -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ê ú
ç ç ç

1 4 (3 2)
lim
1 4 (3 2)
n
E
n
+ + + -
=
é ù
+ + + -
ë û
L
L
1 3 5 2 1
lim
2 4 6 2
n
F
n
æ ö
-
÷
ç
÷
= × ×
ç
÷
ç
è ø
L

+
=
+
2 3
1 3 5 2 1
lim
2
2 2 2
n
n
I
é ù
-
ê ú
= + + + +
ê ú
ë û
L
2 3
1 2 3
lim
3
3 3 3
n
n
J
é ù
ê ú
= + + + +
ê ú

2 2 2 2
3
1 3 5 (2 1)
lim
n
N
n
+ + + + -
=
L
( ) ( )
2 2 2
lim 1 1 1
2.3 3.4
1 2
O
n n
é ù
æ öæ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ê ú
÷ ÷ ÷
= - - -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç
ê ú
ç
÷è øè ø

2
1.5 2.6 3.7 ( 4)
lim
( 1)
n n
R
n n
+ + + + +
=
-
L
3
1.2 2.3 3.4 ( 1)
lim
2
n n
S
n n
+ + + + +
=
-
L
3 3 3 3
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
lim
1 2 3
n n n
T
n
+ + + + + +

1
8 4 2 1
2
k
A = + + + + + +L L
biết rằng
1
8;4;2;1; ; ;
2
k
L L
là một CSN
2
1
2 1
2
k
B
-
= + + + +L L
biết rằng
2
1
2;1; ; ;
2
k-
L L
là một CSN
1
4 2

L L
là một CSN
2 1 1 1
2
2 1 2 2
E
+
= + + +
- -
L
biết rằng
2 1 1 1
; ; ;
2
2 1 2 2
+
- -
L
là một CSN
Dương Phước Sang
GII HN CA DY S
2
sin sin sin
n
F a a a= + + + +L L
bit rng
( )
2
k k
p

5
3
, cũn tng ca 3 s hng u ca nú bng
39
25
. Tỡm s hng u v cụng bi ca CSN ú.
Bi 18: Tỡm s hng u v cụng bi ca mt CSN lựi vụ hn bit rng CSN ú cú tng
bng 12, hiu ca s hng u v s hng th hai l
3
4
v s hng u l mt s
dng.
Bi 19: Tỡm s hng u v cụng bi ca mt CSN lựi vụ hn bit rng s hng th hai l
12
5
v tng ca CSN ny l 15.
Bi 20: Cho hai dóy s
1
1
10
( ):
3,
5
n
n
n
u
u
u
u n

v
lim
n
u
Bi 21: Cho dóy s
1
1
1
( ):
4
, 1
6
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
-
ớ

n
u
Bi 22: Cho dóy s
1
1
3
( ):
2 1, 1
n
n n
u
u
u u n
+
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
= +
ù
ợ
a) Chng minh rng
( ) : 1
n n n
v v u= -
l mt CSN lựi vụ hn.
b) Tớnh
lim

ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
L L
Dng Phc Sang
GII HN CA DY S
Bi 24: Vit cỏc s thp phõn vụ hn tun hon sau õy di dng phõn s
34,121212 a =
(chu k 12)
0,1111 b =
(chu k 1)
15,2131313 c =
(chu k 13)
1,50111 d = -
(chu k 1)
Bi 25: Cho mt hỡnh vuụng cnh bng a. Ngi ta ni trung im cỏc cnh ca hỡnh
vuụng ú to nờn mt hỡnh vuụng nh hn. T hỡnh vuụng nh hn ny, ngi ta
li thc hin cụng vic nh trờn to ra thờm mt hỡnh vuụng nh hn na v c
thc hin hoi nh th (sau mi ln v ra c mt hỡnh vuụng nh, ta lp li cỏch
lm ó thc hin). Tớnh tng din tớch tt c cỏc hỡnh vuụng ú.
C.GII HN CA DY CHO BI CễNG THC TRUY HI
nh lý Weierstrass
Mt dóy s tng ng thi b chn trờn hoc gim ng thi b chn
di thỡ cú gii hn hu hn.
Bi 26: Chng minh rng cỏc dóy s sau õy cú gii hn
a)

ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ù
ợ
b)
1
1
0
1 1
2
n n
n
u
u u
u
+
ỡ
ù
>
ù
ù
ù

u n
*
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
= + ẻ
ù
ù
ù
ợ
Ơ
.CMR,
( )
n
u
l dóy s gim v b chn. T ú
tớnh
lim
n
u
Bi 29: Cho hai dóy s
1
1
10

n n n
v v u= -
Chng minh rng
( )
n
v
l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh
lim
n
v
v
lim
n
u
Bi 30: Cho dóy s
1
1
1
( ):
4
, 1
6
n
n
n
n
u
u
u
u n

4
, 1
6
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
-
ớ
ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
a) Chng minh rng vi mi
n

n n
u
u
u u n
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ù
ợ
. CMR,
( )
n
u
l mt dóy s gim v b chn. T
ú tớnh
lim
n
u
Dng Phc Sang
GII HN CA DY S
Bi 33: Cho dóy s
1
1

-
- <
vi mi
n
*
ẻ Ơ
. T ú
tớnh
lim
n
u
Bi 34: Cho dóy s
1
1
1
( ):
2 1
, 1
1
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
ỡ

Chng minh rng
( )
n
u
l mt dóy s tng v b chn. T ú tớnh
lim
n
u
Bi 36: Cho ha dóy s
( ),( )
n n
u v
tho món
vaứ
1 1
1 1
; ( , 0 )
; . , 1
2
n n
n n n n
u a v b a b a b
u v
u v u v n
+ +
ỡ
ù
= = > ạ
ù
ù

u
u
u n
n
+
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
+
ù
ợ
. CMR,
( )
n
u
l dóy s gim v b chn. T ú
tớnh
lim
n
u

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau đây:
1)
5 4
3 2
2
lim
4 6 9
n n n
n n
+ - -
+ +
2)
2
lim( 2 3 19)n n- + -
3)
5 4
3 2
3 2
lim
4 6 9
n n n
n n
+ - -
+ +
4)
( )
3
lim 3 7 11n n- +

8)
3
2
3 5 1
lim
4
n n
n
- +
+
9)
lim( 1)(3 7)n n- +
10)
2
lim( 4 3 1)n n- + +
11)_
2 5
lim( 1)n n- +
Bài 2: Tính các giới hạn sau đây:
1)
3
3 2
lim 8 3n n n- + - +
2)
3
3
lim 1 2n n+ -
3)
3
9 2

11)
2
lim 5 1n n+ -
Bài 3: Tính các giới hạn sau đây:
1)
lim 2.3 2
n
n- +
2)
lim(2 3 )
n n
-
3)
4
lim(2 5 2)
n
n n- + -
4)
lim(2 cos )n n+
5)
2
1
lim( 3sin2 5)
2
n n- - +
6)
3 2
3
2 2
1

n n+
- +
Dương Phước Sang