CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN
BÀI 1.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A/TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn .
*Dãy số (u
n
) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu
n
u
có thể nhỏ
hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:limu
n
= 0 hay u
n
0
→

khi
+∞→
n
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi
+∞→
n
nếu lim(u
n
-a)=0
Kí hiệu:limu
n
=a hay un
a

∞
khi
+∞→
n
,nếu lim(-u
n
)=+
∞
Kí hiệu:limu
n
=-
∞
hay u
n
−∞→

khi
+∞→
n
.
3.Các giới hạn đặc biệt.
a/lim
n
1
=0 ;lim
n
k
1
=0;limn
k

n
v
n
=ab lim
b
a
v
u
n
n
=
b/Nếu u
n
0
≥
với mọi n và limu
n
=a thì a
0
≥
và lim
au
n
=
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
Định lí 2.
a/Nếu limu
n
=a và limv
n

n
v
u
6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn
q
<1
*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S=u
1
+u
2
+u
3
+...=
q
u
−
1
1
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I..Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ NHỜ VÀO
CÁC ĐỊNH LÍ1, 2 VỀ GIỚI HẠN
PHƯƠNG PHÁP
Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí 1,2.
*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho n
k
,trong đó k là
số mũ cao nhất của n(hoặc q
n
với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)

3
3
32
3
+
+−
n
n
nn
n
=lim
2
3
2
1
52
3
3
32
=
+
+−
n
nn
Ví dụ 2.Tính lim
14
3.25
+
+
n

n
n
5
1
)
5
4
(
)
5
3
.(21
(vì lim(1+2.(
1))
5
3
=
n
>0,lim((
0)
5
1
)
5
4
=+
n
n
và
0

n
21
1
4
2
+
−+
=lim
2
1
2
1
1
1
4
2
=
+
−+
n
n
Ví dụ 4. Tính lim(n-
1
73
2
+
−+
n
nn
)

−+−+
n
n
n
n
n
nnnn
Ví dụ 5. Tính lim(2n
3
+3n-1)
Ta có lim(2n
3
+3n-1)=limn
3
(2+
32
13
nn
−
)=+
∞
Ví dụ 6. Tính lim(-2n
2
+n
n
-n+4)
Ta có : lim(-2n
2
+n
n

Ví dụ 8. Tính lim(
)1
22
nnn
−−+
Ta có : lim(
)1
22
nnn
−−+
=lim
nnn
nnnnnn
−++
−++−−+
22
2222
1
)1)(1(
=lim
nnn
nnn
−++
−−+
22
22
1
)()1(
=lim
nnn

;
)(
+∞−∞+
;
)(
+∞+∞−
;
0
0
II.Vấn đề 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Phương pháp : Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn(nếu bài
toán chưa cho giả thiết này).Sau đó tính tổng bằng công thức :
S=
q
u
−
1
1
Ví dụ 1. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau :
1,-
,...)
3
1
(,...,
27
1
,
9
1
,

1
=
+
=+−++−+
−
n

Ví dụ 2. Tính tổng S=
...
)2(
)1.(3
...
4
3
22
3
2
3
2
3
1
+
−
++−+−
+
n
n
Dãy số:
,...
)2(

2
1
2
1
<=−=
q
nên(u
n
) là một cấp số nhân lùi vô hạng.Do
đó ta có:
S=
...
)2(
)1.(3
...
4
3
22
3
2
3
2
3
1
+
−
++−+−
+
n
n

nn
3.lim
5
2
2
+
−
n
nnn
4. lim
5
32
1
)43()21(
n
nn
+
+−
5. lim
n
nn
41
234
1
+
+−
+

6. lim
)

9. lim
32
232
2
4
+−
−+
nn
nn
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1. lim(-n
3
+2n-1) 2. lim(3n
2
-5n
n
-9)
3.lim(3
n
+2
n
+5)
4. lim(3n
3
-7n+11) 5. lim
22
24
++−
nnn
6.lim

12
1
+−+
nn

3.lim
)12
2
+−++
nnn
4.lim
1223
1
+−+
nn

5.limn(
)1 nn
−+
6.lim
23
11
2
+
+−+
n
nn
Bài 4.Tính các giới hạn sau.
1.lim(
)

3.lim(
)
1
1)...(
3
1
1)(
2
1
1
222
n
−−−
4.lim
n
n
3...2793
2....8421
++++
+++++
Bài 5.Tính các tổng sau:
1.A=
1
1
2
)1(
...
8
1
4

−
+−+−+−
−
n
n
BÀI 2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số.
*Cho khoảng K chứa điểm x
o
và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\(x
o
)
Số L được gọi là giới hạn của hàm số y=f(x
0
) khi x dần tới x
o
nếu với dãy số (x
n
)
bất kì,x
n
K∈
\(x
o
) và x
n
→
x
o

) bất kì,x
o
<x
n
<b v à x
n
→
x
o
,ta

có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu:
Lxf
o
xx
=
+
→
)(lim
• Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;x
0
)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x
→

• Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;+
∞
)
Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x
→
+
∞

nếu với dãy số
(x
n
) bất kì x
n
>a v à x
n
→
+
∞
,ta

có f(x
n
)

→
L
Kí hiệu:
Lxf
x
=

x
=
−∞→
)(lim
2.Định nghĩa gi ới hạn vô cực của hàm số
*Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+
∞
).
Hàm số y=f(x) được gọi là có giới hạn -
∞
khi x
→
+
∞
nếu với dãy số (xn)
bất kì,xn>a v à x
n
→
+
∞
,ta có f(x
n
)

→
-
∞

Kí hiệu:
−∞=

xf
xx
... được định nghĩa tương tự.
*Nhận xét:
+∞=
+∞→
)(lim xf
x

−∞=−⇔
+∞→
))((lim xf
x
3.Các giới hạn đặc biệt.
a/
0
0
lim xx
xx
=
→
; b/
cc
xx
=
→
0
lim
;c/
cc

k
x
xlim
, nếu k là số chẵn
4.Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
a/Nếu
Lxf
o
xx
=
→
)(lim
và
Mxg
o
xx
=
→
)(lim
thì:
*
MLxgxf
o
xx
±=±
→
))()((lim
*
MLxgxf

thì L
0
≥
và
Lxf
o
xx
=
→
)(lim
Chú ý: Định lí vẫn đúng khi
+∞→−∞→→→
−+
xxxxxx ;;;
00
Định lí 2.
LxfLxf
xxxx
xx
o
==⇔=
+−
→→
→
00
lim)(lim)(lim
5.Quy tắc về giới hạn vô cực
a/Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x).

Lxf


+
∞
-
∞
-
∞
+
∞

b/Quy tắc tìm giới hạn của thương
)(
)(
xg
xf

)(lim xf
o
xx
→
)(lim xg
o
xx
→
Dấu của g(x)
)(
)(
lim
xg
xf

2
−
+
→
x
xx
x

Ta có:
1
2
lim
2
2
−
+
→
x
xx
x
=
10
12
22.2
2
=
−
+

b/

+
−→
x
x
x

Ta có:
0)1(lim,01)23(lim
2
11
=+<−=+
−→−→
xx
xx
và (x+1)
2
>0 với mọi
1
−≠
x
.
Do đó
2
1
)1(
23
lim
+
+
−→

x
−
−
+
→
5
112
lim
5
=+
∞
e/
)24(lim
24
xxx
x
+−
+∞→

Ta có:
)24(lim
24
xxx
x
+−
+∞→
=
)
12
4(lim

xx
x
x
+−−
−∞→
==+
∞
II.Vấn đề 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
PHƯƠNG PHÁP:
Tuỳ từng dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp.
*Dạng
0
0
(tính
)(
)(
lim
0
xv
xu
xx
→
khi
0)(lim)(lim
00
==
→→
xvxu
xxxx
).

)(
)(
lim
0
xB
xA
xx
→
(Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp,trước khi phân tích chúng thành tích rồi giản ước).
*Dạng
∞
∞
( tính
)(
)(
lim
0
xv
xu
xx
→
khi
±∞==
→→
)(lim)(lim
00
xvxu
xxxx
).

−∞==
→→
)(lim)(lim
00
xvxu
xxxx
Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức)hoặc
quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức(nếu chứa nhiều phân thức).
Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau:
a/
23
55
lim
2
1
++
+
−→
xx
x
x
Ta có:
5
2
5
lim
)2)(1(
)1(5
lim
23

Ta có:
)314)(2(
)2(4
lim
)314)(2(
9)14(
lim
2
314
lim
222
++−
−
=
++−
−+
=
−
−+
→→→
xx
x
xx
x
x
x
xxx
=
3
2

3
22
lim
32
32
3
−=
−
−+
=
−
−+
−∞→−∞→
x
xx
xx
xx
xx
d/
2
1
lim
4
45
+
++−
+∞→
x
xx
x

2
+
+−−
−∞→
x
xxx
x
Ta có:
72
3
11
1
lim
72
31
lim
2
2
+
+−−
=
+
+−−
−∞→−∞→
x
x
x
x
x
x

+−−−
=
−∞→
x
x
x
x
f/
xxx
x
++
−∞→
2
lim
Ta có:
xxx
xxxxxx
xxx
xx
−+
−+++
=++
−∞→−∞→
2
22
2
))((
limlim
=
xxx

1
1
2
(lim
2
xx
x
x
−
+
−∞→
Ta có:
)
1
1
2
(lim
2
xx
x
x
−
+
−∞→
=
+∞=
+
−−
=
+

53
lim
1
+
+
→
x
x
x
3.
2
2
)2(
45
lim
+
+
−→
x
x
x
4.
3
17
lim
3
−
−
+
→

+−
−∞→
xx
x
8.
73lim
2
−+
+∞→
xx
x
9.
14lim
2
−+
−∞→
xx
x
Bài 2.Tính các giới hạn sau.

1.
2
2
lim
2
2
−
−−
→
x

2
3
1
−
+−
→
x
xx
x
4.
4
22
lim
2
23
2
−
+−−
→
x
xxx
x
5.
x
xx
x
−−+
−∞→
11
lim

lim
2
0
−++
→
9.
2
3
0
3
33
lim
x
x
x
−
+
→
Bài 3.Tính giới hạn các hàm số sau khi
−∞→+∞→
xx ,
1.f(x)=
xxxx
−−+
44
2.g(x)=
xx
++
1
2

xx
=
→
.
*Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi
điểm của khoảng đó.
* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục
trên khoảng (a;b) v à
)()(lim afxf
ax
=
+
→
,
)()(lim bfxf
bx
=
−
→
.
Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền
trên khoảng đó.
II.Các định lí.
1. Định lí 1.
a/Hàm số đa thức lien tục trên toàn bộ tập số thực R.
b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác
định của nó.
2. Định lí 2 .
Giả sử y=f(x) và y=g(x)là hai hàm số liên tục tại x
0

∈

4.Định lí 4.( định lí giá trị trung gian).
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a)
≠
f(b)thì với số thực M
nằm giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm c
( )
ba;
∈

sao cho f(c)=M.