Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thạc sỹ Phùng Đức
Thắng đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận. Với những lời
chỉ dẫn, sự tận tình hướng dẫn của thầy em đã giúp em vượt qua nhiều
khó khăn trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu này. Do hạn chế
về thời gian, kiến thức nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong có được những đóng góp quý báu của các thầy cô và
các bạn đọc quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô giáo trong tổ giải
tích và các thầy cô trong khoa toán đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận này, cũng như trong suốt thời gian học tập và
nghiên cứu.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè đã
giúp đỡ, động viên em rất nhiều trong suốt quá trình học tập để em có
thể thực hiện tốt khóa luận này.

Hà Nội, ngày tháng năm 2013
Sinh viên thực hiện

Trương Thị Thu Dung

Trương Thị Thu Dung

1

K35B-SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Lời nói đầu ............................................................................................. 5

Phần 1. Các kiến thức cơ bản có liên quan ............................ 7
1. Các khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số ....................... 7
2. Các định lý về giới hạn dãy số ......................................................... 9
2.1. Các tính chất của dãy hội tụ ......................................................... 9
2.2. Tính chất của đại lượng vô cùng lớn và vô cùng bé ................... 11
2.3. Các nguyên lý về tính đầy đủ của

 ........................................ 11

3. Giới hạn hàm số và quy tắc Lopital............................................... 12
3.1. Một số định lý về giới hạn hàm số ............................................. 12
3.2. Quy tắc Lopital .......................................................................... 12
4. Một số kiến thức khác có liên quan ............................................... 13
4.1. Định nghĩa tích xác định ............................................................ 12
4.2. Một số tiêu chuẩn về chuỗi hội tụ .............................................. 12

Phần 2. Các phương pháp tìm giới hạn dãy số ..................... 15
Chương 1. Các phương pháp cơ bản để tìm giới hạn dãy số ........... 15
1.1. Phương pháp sử dụng định nghĩa ............................................... 15
1.2. Phương pháp dùng định lý về giới hạn dãy số ........................... 19
1.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn .................... 19
1.2.2. Phương pháp sử dụng định lý về giới hạn kẹp...................... 24
1.2.3. Phương pháp sử dụng định lý về các phép toán của

4

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết giới hạn là cơ sở của toán giải tích. Mọi khái niệm của
giải tích đều được định nghĩa qua giới hạn. Do đó khi nghiên cứu về giải
tích chúng ta thường xuyên phải giải quyết bài toán tìm giới hạn, trong
đó có giới hạn dãy số.
Trong các kỳ thi HSG toán Quốc gia, thi Olympic toán Quốc tế
cấp trường THPT và thi Olympic toán hàng năm cho sinh viên giữa các
trường Đại học và Cao đẳng thì các bài toán có liên quan đến giới hạn
thường xuyên có mặt và được xem là một dạng toán khó, đa dạng, phức
tạp, vì vậy nó đòi hỏi người làm toán phải nắm vững, hiểu rõ bản chất
của các khái niệm về giới hạn cũng như nội dung các định lý để vận
dụng linh hoạt vào các bài toán cụ thể.
Với mong muốn tích lũy thêm cho mình những kỹ năng, kinh
nghiệm khi tiếp cận với dạng toán về giới hạn em đã nhận đề tài “ Các
phương pháp tìm giới hạn dãy số”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh một số phương pháp để có thể giải quyết
các bài toán về giới hạn dãy số từ đơn giản đến phức tạp. Qua đó củng cố
và hệ thống lại kiến thức về giới hạn dãy số giúp cho học sinh vận dụng

Chương 2. Một số phương pháp khác
Chương 3. Giới hạn của một số dãy số đặc biệt

Trương Thị Thu Dung

6

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

1. Các khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số
Định nghĩa 1 (Định nghĩa dãy số)
*

a:

Ta gọi ánh xạ



n  a (n)  an là một dãy số

Ký hiệu: a1 , a2 ,..., an ,... (1) ; hoặc

an  an1, n 

(tương ứng an  an1 , n 

).

- Dãy số  an  gọi là tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu

an  an1, n  ( tương ứng 1 an  an1 , n  ).
Các dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu.

Trương Thị Thu Dung

7

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 4 (Giới hạn của hữu hạn dãy số)
Số a được gọi là giới hạn hữu hạn của dãy số  an  nếu với mọi số
dương  , nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n  N ta có

an  a  
Ký hiệu lim a n  a

( Chú ý rằng số N chỉ phụ thuộc vào  ).

với mọi số dương M tùy ý, tồn tại số N  N  M  

*

sao cho n  N ta

đều có an   M
Định nghĩa 6 (Dãy con và giới hạn riêng)
Cho dãy  an  và

 n k 1  n k

 nk 

k 

Thì dãy  ak  với ( a k  a n k ) gọi là dãy con của dãy  an  và ký
hiệu ( a n k ).

Trương Thị Thu Dung

8

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Nếu bắt đầu từ chỉ số nào đó dãy vô cùng lớn chỉ nhận các giá trị
dương thì ta viết lim an   hay an   .
n 

Nếu chỉ nhận giá trị âm thì ta viết lim an   hay an  
n 

Nhận xét
i) Mọi dãy vô cùng lớn là dãy không bị chặn.
ii) Không phải mọi dãy không bị chặn đều là dãy vô cùng lớn.
2. Các định lý về giới hạn dãy số
2.1. Các tính chất của dãy hội tụ
a) Giới hạn của dãy số hội tụ là duy nhất.
b) lim a n  a  lim ( a n  a )  0
n 

Trương Thị Thu Dung

n 

9

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


a  a
lim  n  
n b
 n b

(với b  0 )

g) Cho  an  ,  bn  là các dãy hội tụ và hằng số n0 

.Khi đó

- Nếu an   , n  n0 thì lim a n  
n 

- Nếu lim an  a   thì tồn tại số n1 

sao cho

n 

an   , n  n1
an  
- Nếu an   , n  n0 thì lim
n 
- Nếu lim an  a   thì tồn tại số n1
n

sao cho

an   , n  n1


- Nếu

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 cn  bn , n  n0
thì

lim
b

0
n
n

lim cn  0
n

h) Dãy  an  hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội
tụ và có chung một giới hạn.
i) Mọi dãy đơn điệu và bị chặn là dãy hội tụ.
2.2. Tính chất của đại lượng vô cùng lớn và đại lượng vô cùng bé
- Tích của đại lượng VCB và một đại lượng bị chặn là một đại lượng
VCB
- Tích của một đại lượng VCB và một dãy hội tụ là một đại lượng
VCB
- Tích của một đại lượng VCL và một dãy có giới hạn khác không là
một VCL.
2.3. Các nguyên lý về tính đầy đủ của 
Nguyên lý Weierstrass



Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nguyên lý:  an  Dãy là dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
3. Giới hạn hàm số và quy tắc Lopital
3.1. Một số định lý về giới hạn hàm số
Giới hạn của hàm số f khi x  x 0 , nếu có là duy nhất.
Với mọi dãy  xn   X , mà lim xn  a thì
n 

lim f ( x )  l  lim f ( xn )  l
x a

xn  a

Cho f , g , h là các hàm số cùng xác định trên tập

, trong đó

g  x  f  x  h x .

Nếu lim g ( x )  lim h ( x )  l thì lim f ( x )  l
x a

x a

x a

a  x0  x1  x2  ...  xn 1  xn  b .

Trương Thị Thu Dung

12

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

(Mỗi phép chia như thế gọi là một phép phân hoạch đoạn  a , b  ,
kí hiệu là  ).
Đặt

 x i  x i  x i 1 ( i  1, 2,..., n ) v à d(  )= m ax  x i
1 i  n

Trên mỗi đoạn

 xi , xi 1  ta lấy một điểm tùy ý i (i  1,2,..., n) và

lập tổng
n





a

lim    lim

d (  )0

d ( )0

 f ( )x
i

i

i 1

Khi đó, hàm f  x  được gọi là khả tích trên đoạn  a, b 
4.2. Một số tiêu chuẩn về chuỗi số hội tụ


Điều kiện cần: Chuỗi số

a

n

hội tụ khi lim an  0
n

n 1



Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nếu chuỗi (A) phân kỳ thì chuỗi (B) cũng phân kỳ.
Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương (A)
an1
 1 thì chuỗi số (A) hội tụ.
n a
n

Nếu lim

an1
 1 thì chuỗi số (A) phân kỳ.
n a
n

Nếu lim

Đặc biệt, giả sử tồn tại giới hạn

an1
n a
n

lim

Khi đó
- Nếu a  1 thì chuỗi số (A) hội tụ.

Phương pháp sử dụng định nghĩa

a) Phương pháp chung
Để tìm hoặc chứng minh giới hạn của một dãy số  an  ta có thể
tiến hành theo các bước sau :
Bước 1: Dự đoán giới hạn a ( nếu chưa biết) và cho số dương

 nhỏ tùy ý .
Bước 2: Đánh giá hiệu un  a bằng cách làm trội liên tiếp sao
cho xuất hiện biểu thức f  n  đơn giản nhất chỉ chứa n từ đó có thể dễ
dàng giải bất phương trình f  n    với ẩn là n (giả sử nghiệm đó là
n  f 1    ).

Bước 3: Đặt N   f

1

( )   1

Bước 4: Kết luận.
b) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính S  lim(1
n 

1
1
1
).(1  2 ).....(1  2 )
2


Trương Thị Thu Dung

15

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Dễ thấy

Trường ĐHSP Hà Nội 2

n 1
1 1
1  
n
n n

Với  > 0 cho trước nhỏ tùy ý thỏa mãn

1
1
  nếu n  ta chọn
n


1 
N  N ( )     1 .

n 
Ví dụ 2. Cho dãy số  un 

1
1
1
1
).(1  2 ).....(1  2 ) 
2
2
3
n
2
un2
1
xác định bởi công thức un 1   1, u1 
2
3

Chứng minh dãy số  un  có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có 1  un  0, n  2
Do đó, nếu lim u n  a thì phải là nghiệm âm của phương trình
n 

x2
x   1.
2
Giải phương trình, ta thu được x  1  3 .
Ta sẽ chứng minh rằng a  1  3 là giới hạn của dãy.

Vậy un 1  a 

n 1

n

 3
 3
Do đó un  a  
 . u2  a  
 .
 2 
 2 
n

 3
3
 1 nên lim    0
Vì 0 
n
2
 2 

Suy ra lim un1  a  0
n

un  a  1  3 .
Vậy lim
n 
n


a 1 .

n

n



n

1  1, n  1,2,... nên lim n a  1 .

a  1  n a  1  0, n  1,2,...

a  1  ... 



n

Vậy



a 1 


n



a
a 1  .
n



Do vậy với   0 nhỏ tùy ý, ta lại có
a
a
  n  .
n

a
Vậy với   0, nhỏ tùy ý ,  N     1;  n  N ta có
 
n

a 1   .

lim n a  1

Vậy theo định nghĩa ta suy ra

n 

1
 1 và theo đúng chứng minh trên ta có
a


(với a > 0)

(đpcm).

c) Các bài toán với cách giải tương tự
1. Tìm giới hạn lim
n 

n
sin 2n .
n 1
2

2. Cho dãy số  un  xác định như sau: un 

n
, n  1, 2,....
n 1

un .
Tìm lim
n 

Trương Thị Thu Dung

18

K35B-SP Toán



n  n

(a  1) .

1.2 Phương pháp dùng định lý về giới hạn
Phương pháp chung
Chúng ta sẽ kiểm tra dãy số đã cho có thỏa mãn điều kiện áp dụng
định lý (tính chất của dãy hội tụ) hay không, sau đó chúng ta mới áp
dụng các tính chất đó để tính giới hạn của dãy số.
1.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
a) Phương pháp chung
Ta chỉ ra dãy số  un  đơn điệu và bị chặn khi đó dãy số đã cho hội
tụ.

un
Ngoài ra sử dụng Nếu u1  u2  ... thì u n  lim
n
Nếu u1  u2  ... thì u n  lim u n
n 

Ta thấy rằng định lý trên chỉ cho ta biết về dấu hiệu hội tụ của một
dãy số, mà chưa xác định được một thuật toán cụ thể để tìm giới hạn của
dãy số đó. Ta cần mô tả mối liên hệ giữa các dãy số với nghiệm của
phương trình sinh bởi dãy tương ứng. Nếu phương trình liên quan này có
nghiệm duy nhất thì nghiệm đó là giới hạn của dãy số cần tìm.

Trương Thị Thu Dung

19


4

Dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn.
Đặt

a  lim xn .

Ta có

xn 1 (1  xn ) 

n 

1
4

Nên

1
 lim  x n 1 (1  x n )   lim x n 1 .lim (1  x n )
n 
n
4 n 
1
  a (1  a )
4
2

 1
 a  2   0

*

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải
Ta sẽ chứng minh dãy  yn  hội tụ về e. Thật vậy với n 

ta có

1 1
1
  ... 
2! 3!
n!

yn  2 
 2

*

1 1
1
1
  ...  
2! 3!

Do dãy  yn  bị chặn trên bởi số e, vì thế nên  yn  là dãy hội tụ.
Với n 
yn  1  1 

*

ta có

1  1  1  1  2 
1  1  2   n  1 
1    1  1    ..  1  1   ..... 1 

2!  n  3!  n  n 
n !  n  n  
n 

1 n.(n 1) 1 n(n 1)(n  2) 1
n(n 1)(n  2).....(n  n 1) 1
 1 n. 
. 2
. 3  ... 
. n
n
1.2 n
1.2.3
n
1.2.3.....n
n
n



 1
lim 1    e .
n 
 n

yn  e
Suy ra theo tính chất hội tụ ta có lim
n 
Từ (1) và (2) ta suy ra

(2)

lim yn  e
n 

Ví dụ 3. Cho dãy số  un  xác định như sau:

u1  1, u n 1 

u n2
 un
2013

(*)

 u1 u 2
u 

 ...  n 

u1 u2
u
1 
  ...  k  2013         ...   

u2 u3
uk 1
 uk uk 1 
 u1 u2   u2 u3 
1
1 
 2013  

 u1 uk 1 


1 
 2013 1 

 uk 1 

Trương Thị Thu Dung

22

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp


 a0
Điều này vô lý do a  1 .
Như vậy dãy  un  không bị chặn trên. Trong đó, nó lại đơn điệu
tăng nên  un  là dãy vô cùng lớn khi n   thì un  
Từ đó suy ra

1
 0 khi n  
un

u
u
u
Vậy lim  1  2  ...  n
n  u
u n 1
 2 u3



1 
2013.  1 
  lim
  2013
n 
u
n 1 





Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1
a 
yn   2 yn1  2  , với n  2, a  0, y1  0
3
yn1 
Chứng minh rằng dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.

 1n 
lim
n
3. Chứng minh rằng n  a  1  ln a



 a  0

1.2.2. Phương pháp sử dụng định lý giới hạn kẹp
a) Phương pháp chung
Bước 1: Từ dãy số ban đầu  un  ta đưa về bất đẳng thức kép
vn  un  w n . Mà việc tìm giới hạn của các dãy  vn  và  wn  đơn

giản hơn tìm giới hạn của dãy số ban đầu (chú ý đưa về hai dãy số
có cùng giới hạn).
Bước 2: Tìm lim vn và lim w n . Từ kết quả lim vn  lim w n , và
n 

 n
n ( n  1)

Trương Thị Thu Dung

24

K35B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

nn  1 n
n

.

,n  2
n
n
n 1 n 1

n
 1 nên theo định lý về giới hạn kẹp ta suy ra
n  n  1

Vì lim1  lim
n 

Đặt x 

n



k 1

 (1  x ).1  1  x 

1 x 1
2

1 x
x
 1 x 1
2 x
2

k
, k  1, 2,..., n; n  1, 2,.... thỏa mãn x  1 ta có
n2

k

1


n2



1 
2n


2





 n k
k
 k  n 
  2
    1  2  1   2 , n  1, 2,...
n
k 1  2 n  k 
k 1 
 k 1 2n
n

n

Mà

n
1
n(n  1)
1