TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ
BẰNG VIỆC SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
II.Tác giả: Phạm Thị Minh Ngọc
Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học
Đơn vị : Trường THPT Nho Quan A
Địa chỉ : Xã Quỳnh Lưu, huyện Nho Quan, tỉnh Ninh Bình.
III. Nội dung sáng kiến, kinh nghiệm
1.Đặt vấn đề
Đạo hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích thể hiện ở rất nhiều ứng
dụng trong việc giải toán THPT. Đạo hàm được giảng dạy ở cuối lớp 11, ngay
sau chương giới hạn, rồi xuyên suốt chương trình lớp 12 và ôn thi đại học, cao
đẳng. Đó là lý do tôi chọn đề tài này. Bên cạnh các phương pháp tìm giới hạn
hàm số thông thường, tôi muốn giới thiệu một phương pháp nữa: tìm giới hạn
hàm số bằng định nghĩa đạo hàm .
Việc giải bài toán giới hạn hàm số bằng nhiều cách giúp rèn luyện tư duy
khoa học, tính logic và hệ thống cũng như tăng cường kỹ năng thực hành của cả
giáo viên và học sinh.
2. Giải quyết vấn đề
*Cơ sở lý luận của vấn đề
1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên
khoảng
( ; )a b
và
0
( ; )x a b∈
. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của
0
0
0

f x
x x
→
−
=
−
.
2. Đạo hàm của hàm số dạng
( ) ( )
n
y f x u x= =
là

' '
' ' '
1 1
( ) ( )
( ) ( ( ))
( ( )) ( ( ))
n
n n
n n
u x u x
y f x u x
n u x n u x
− −
= = = =
*Cơ sở thực tế của vấn đề
Lứa tuổi học sinh THPT là lứa tuổi thích tìm tòi khám phá.Học sinh khá
giỏi thích tìm nhiều lời giải cho một bài toán, học sinh trung bình thích có quy

x
x
x
→
+ −
4)
0
1 1
lim
n
x
x
x
→
+ −
5)
0
1 1
lim
n
x
ax
x
→
+ −
Giải
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
1
Ta nhận thấy các câu trên đều có thể dùng biểu thức liên hợp để trục căn
thức, sau đó phân tích thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính.

f x
x x
→
−
=
−
, nói cách khác ta tìm hàm số
( )y f x=
và tính đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
.
Ta có lời giải như sau : Xét hàm số
( ) 1
n
y f x ax= = +
có

'
' ' '
1 1
(1 )
( ) ( 1 )
(1 ) (1 )
n
n n
n n
ax a
y f x ax
n ax n ax

1
3 2 4 2
lim
1
x
x x x
x
→
− − − −
−
3)
3
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
4)
2
3
1
7 5
lim
1
x

x x
f x g x
x x
→
−
−
. Nhìn kỹ hơn chút nữa,
do
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇒ − =
. Vậy ta có thể đặt
( ) ( ) ( )
n m
h x f x g x
= −
thì
0
( ) 0h x =

và giới hạn trên trở thành
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
h x h x
h x

(0) 1
12 12
h
− −
= − =
.Suy ra
3
0
8 2 1
13
lim
12
x
x x
x
→
− − +
−
=
Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả còn lại là :
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
2
Câu Hàm số
( )y h x=
0
( )h x
Đạo hàm
'
0
( )h x

−
5
9
−
4
2
3
7 5x x+ − −
(1) 0h =
2 2
3
2 1
2 5
3 ( 7)
x
x
x
+
−
+
5
12
5
2
3
4
1 1 2x x+ − −
(0) 0h =
2 2 3
3

3 2
x
x x
x
→
+ − +
+ −
3)
3 4
3
4
0
27 1 81 1
lim
1 1
x
x x
x
→
− + +
− −
4)
2
3
2 2
5
5
4
4 2
lim

0
0
'
0 0
'
0
0
0
( ) ( )
( )
lim
( ) ( )
( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x
→
−
−
=
−
−
. Từ đây ta có được kết quả như sau:
1)
3
3
3 3

'
(0) 1f⇒ =
và
2
' ' 3 '
3
3
( ) ( 1 )
2 1
x
y g x x
x
= = + =
+
'
3
(0)
2
g⇒ =
Từ đó
2
3
A=
2)
2
3
4
2
3
4

52 20
( ) ( 1 26 1 80 )
3 (1 26 ) (1 80 )
x
y f x x x
x x
= = + − + = −
+ +
'
52 20 32
(1)
27 27 27
f⇒ = − =
' ' '
1
( ) ( 3 )
2 3
y g x x
x
= = + =
+
'
1
(1)
4
g⇒ =
Từ đó
32 1 128
:
27 4 27

− − − −
−
Trong đó
2 3
' ' 3 4 '
3
4
3 2 4 3
3
4
27 81
( ) ( 27 1 81 1)
(27 1) (81 1)
x x
y f x x x
x x
= = − − + = −
− +
'
(0) 0 0 0f⇒ = − =
' ' '
1
( ) ( 1 )
2 1
y g x x
x
−
= = − =
−
'

x x
x
D
x x x x
x
→ →
+ − +
+ − +
−
= =
+ − + + − +
−
Trong đó
' ' 2 '
3
2 2
3
1 2
( ) ( 4 2 )
2 4
3 (2 )
x
y f x x x
x
x
= = + − + = −
+
+
'
1 10 11

− −
= =
Từ các giới hạn trên có thể khái quát dẫn đến các kết quả sau:
1. Cho
0
lim ( ) 0
x
f x
→
=
thì
1
0
. ( )
lim 0
( ) .
n
n
n
x
a f x b b
a
b
f x n b
−
→
+ −
= >víi
2. Cho
0

Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
4
1)
0
sin 3
lim
x
x
x
→
2)
0
1 os2
lim
x
c x
x
→
−
3)
0
3
1 2 1 sinx
lim
3 8 2
x
x
x x
→
− + −

( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
với
( )y f x=

là một hàm số lượng giác nào đó.
1) Xét
( ) sin3y f x x= =
thì
(0) 0f =
và
'
( ) 3 os3y f x c x= =
Do đó
0 0
sin 3 sin3 sin 0
lim lim 3 os0 3
0
x x
x x
c
x x

x x
x x
x
x x x x
x
→ →
− + −
− + −
=
+ − − + − −
Trong đó
' ' '
1
( ) ( 2 1 sin ) cos (0) 2
2 1
f x x x x f
x
= + + = + ⇒ =
+

' ' '
3
2
3
1 3
( ) ( 3 8 ) 1 (0)
4
(3 8)
g x x x g
x

x x x
x x
x x
x
x
x
x
→ →
+ − +
+ − +
=
=
'
'
(0) 2
(0) 3
f
g
=
Trong đó
' ' 2 ' '
3
2 2
3
2 2 2
( ) ( 2 1 2 1) (0)
3
3 (2 1) 2 1
x
y f x x x f

4
0
1 1 1 1
lim
x
ax bx cx
x
→
+ + + −
4)
3 5
4
0
1 1 1 1 1
lim
x
ax bx cx dx
x
→
+ + + + −
Giải
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
5
Nhận thấy rằng, nếu tính đạo hàm ngay thì kết quả sẽ khá phức tạp do
phải sử dụng đạo hàm của một tích, ta biến đổi biểu thức để chỉ phải tính đạo
hàm của một tổng các biểu thức bằng cách thêm bớt số hạng. Chẳng hạn lấy câu
1 làm ví dụ
1)
3 3 3 3
0 0

x x
→ → →
+ − + −
+ + = + =
Từ các câu trên ta có kết quả tổng quát là:
3
2 3
3
2
0
1 1 1 1
lim
2 3
n
n
n
x
a x a x a x
a a
a
x n
→
+ + + −
= + + +
Bài 6
1)
2
2
1
3 2 4 2

x x
x
→
− − −
−
4)
2
3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
→
+ − −
+
Giải
Các giới hạn này tính được dựa vào việc phân tích mẫu thức thành nhân
tử, sau đó dùng định nghĩa đạo hàm để tiếp tục tìm giới hạn.
1)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x

7 5
lim
1
x
x x
x
→
+ − −
−
=
2 2
3 3
1 1
7 5 7 5
1
lim lim .
( 1)( 1) 1 1
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − − + − −
=
− + − +
Từ đó kết quả là
5 1 5
.
12 2 24
=
3)

− −
=
4)
2
3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
→
+ − −
+
=
2 2
3 3
4 4
0 0
1 1 2 1 1 2
1
lim lim .
( 1) 1
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − − + − −

x
→
+ −
3.
0
1 sin 1
lim
x
x
x
→
+ −
4.
2
3
2
0
1 2sin 1
lim
x
x
x
→
+ −
5.
0
4 tan 2
lim
x
x

lim 0
sin
n n
n
x
a x c x a
khi a
x
→
+ + − −
>
9.
2 2
1
1 1
lim
1
x
x x x x
x
→
+ − − + −
−
10
.
2 2
3
2
1
2 3 4 2 4

x x c x
x x x
π
→
+ − − +
+ − − −
13.
3
2 2
2
0
1 1 2 1
lim
x
x x
x
→
+ + −
14.
3
2 34
0
1 1 2 1 3 1
lim
x
x x x
x
→
+ + + −
15

nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ suất. Chính vì vậy, tôi rất
mong có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Ninh Bình, tháng 5 năm 2009
Tác giả
Phạm Minh Ngọc
Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc
7