Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG
Mã số: …………………………
SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI
Người thực hiện: Lê Thị Thúy An
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lí giáo dục:
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm: Các sản phẩm thể hiện trong bản in SKKN
□ Mô hình □ Phần mềm □ Phim ảnh □ Hiện vật khác
Năm học: 2011 – 2012
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 1
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: LÊ THỊ THÚY AN
2. Ngày tháng năm sinh: 26/03/1983
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Số 59/1 Ngô Quyền, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613.740090 (CQ)/ (NR); ĐTDT: 01658291478
6. Fax: Email:
7. Chức vụ: Giáo viên.
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Hồng Bàng, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng
Nai.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân.
lượng giảng dạy nên tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Giải bài toán về tính đơn điệu,
cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”.
2. Nội dung sáng kiến
I. Lý do chọn đề tài.
II. Tổ chức thực hiện đề tài.
A.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa
B.Bài tập thực hành
III. Hiệu quả của đề tài.
IV. Đề xuất, kiến nghị khả năng áp dụng.
V. Tài liệu tham khảo.
Xuân Lộc, ngày 15 tháng 12 năm 2011.
Người viết
Lê Thị Thúy An
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 3
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.
• Phương trình bậc hai đối với ẩn x (
x R
∈
) là phương trình có dạng:
( ) ( )
2
ax 0 0 1bx c a+ + = ≠
b)Cách giải.
• Tính
x R
∈
:
( ) ( )
2
ax 0 1 0bx c a+ + = ≠
có hai
nghiệm
1 2
,x x
thì
1 2 1 2
, .
b c
S x x P x x
a a
−
= + = = =
.
Dấu các nghiệm:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
0P
⇔ <
.
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥
⇔
<
.
ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là
'( ) 0,f x x K≥ ∀ ∈
đồng thời
'( ) 0f x =
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là
'( ) 0,f x x K≤ ∀ ∈
đồng thời
'( ) 0f x =
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
• Định lí 1 : Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
, khi đó nếu f có đạo hàm tại x
0
thì
0
'( ) 0f x =
• Định lí 2 : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x
0
và có đạo hàm trên các
khoảng (a;x
0
a) Đồng biến trên
( ; )
α
−∞
.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 4
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
b) Đồng biến trên
( ; )
α
+∞
.
c) Đồng biến trên
( ; )
α β
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
a) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0, ( ; )f x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞
0
0
− >
Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
TH1: Nếu bpt:
( ) 0 ( ) ( ) ( )f x h m g x i≥ ⇔ ≥
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞( ; ]
( ) ( )h m Max g x
α
−∞
⇔ ≥
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
0
0
0
0
( ) 0
2 0
a
a
f
S
α
α
>
∆ ≤
>
⇔
∆ >
f
S
a
f
f
α
α
β
β
α
β
>
∆ ≤
>
≥
≥
≥
Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh
giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet,
tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 5
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
*Ví dụ 1: Cho hàm số : y =
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 2 1 3 2 1 1
3
m x m x m x+ − − + − +
(1)
( 1)m ≠ −
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng
( ; 1)−∞ −
>
∆ ≤
>
⇔
∆ >
− ≥
− − >
2
2
1 0
2 7 4 0
− ≥
>
+
1
2
4 1
11 2
m
m
≥
⇔
≤ <
4
11
2 3
( ) .
4 6
x x
g x
x x
− − +
=
− +
2
2 2
6 18
'( ) .
( 4 6)
x
g x
x x
−
⇒ =
− +
a) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
( ; 1)−∞ −
' 0, (1; )y x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( ), ( ; 1)m g x x⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
( ; 1]
( )m Max g x
−∞ −
⇔ ≥
' 0
0
' 0
(1) 0
2.1 0
a
a
f
S
>
∆ ≤
>
⇔
∆ >
≥
+ >
⇔
− − + >
≥
−
<
+
b) Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )+∞
' 0, (1; )y x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( ), (1; )m g x x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
[1; )
( )m Max g x
0m⇔ ≥
Kết luận :
0m ≥
thì hàm số (1) đồng biến
trong khoảng
(1; )+∞
Từ bảng biến thiên ta được :
0m ≥
Kết luận :
0m ≥
thì hàm số (1) đồng biến trong
khoảng
(1; )+∞
c) Hàm số đồng biến trong khoảng
( 1;1)−
( ) 0, ( 1;1)f x x⇔ ≥ ∀ ∈ −
0
' 0
0
( 1) 0
2( 1) 0
(1) 0
2.1 0
' 0
0
( 1) 0
(1) 0
a
− − <
⇔
≥
− >
∆ >
<
m
m
m
m
m
m
m
m
+ >
− − + ≤
− − + >
≥
+ >
+ <
≥
− ≥
1
2
m⇔ ≥
Kết luận :
1
2
m
≥
1
2
m ≥
thì hàm số (1) đồng biến trong
khoảng
( 1;1)−
Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử
dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được
lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh.
*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
≠
0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
( ; )
α
−∞
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
( ; )
α
+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
( ; )
α β
.
<
⇔
∆ >
≤
− >
b) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0, ( ; )f x x
α
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
0
0
− <
c) Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β
( ) 0, ( ; )f x x
α β
⇔ ≤ ∀ ∈
0
0
0
( ) 0
2 0
( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
a
a
f
S
f
S
a
− <
⇔
≤
− >
∆ >
>
( ; )
α
+∞
( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞[ ; )
( ) ( )h m Max g x
α
+∞
⇔ ≥
c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β
( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α β
⇔ ≥ ∀ ∈[ ; ]
( ) ( )h m Max g x
α β
⇔ ≥
TH2: Nếu bpt:
( ) 0f x ≥
không đưa được về
<
⇔
∆ >
>
≥
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0, 0g t t⇔ ≤ ∀ >
0
0
0
0
0
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 8
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =
( )
( )
2 3 2
1
1 1 2 1
3
m x m x x− + − − +
(1)
( 1)m ≠ ±
Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng
( ;2)−∞
.
b) Nghịch biến trên khoảng
(2; )+∞
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
y’ = f(x) =
2 2
( 1) 2( 1) 2m x m x− − − −
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
( ) 0, ( ;2)f x x⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
0
− >
2
2
2
2
2
1 0
3 2 1 0
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
4 6
0
1
m
m m
m
m m
m m
m
m
− <
1
1
3
m
−
⇔ ≤ <
Kết luận: Với
1
1
3
m
−
≤ <
thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
Txđ : D = R
y’ = f(x) =
2 2
( 1) 2( 1) 2m x m x− − − −
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =
2 2 2 2
( 1) (4 2 6) 4 4 10m t m m x m m− + + − + + −
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
( ) 0, 0g t t⇔ ≤ ∀ <
0
0
≥
2
2
2
2
2
1 0
3 2 1 0
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3
0
1
m
m m
m
m m
m m
m
m
− <
1
3
m
−
⇔ ≤ <
Kết luận: Với
1
1
3
m
−
≤ <
thì hàm số (1) nghịch
biến trong khoảng
( ;2)−∞
b) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )+∞
( ) 0, (2; )f x x⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
0
' 0
0
' 0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
<
0
0
0
a
a
S
P
<
∆ ≤
<
⇔
∆ >
<
≥
− − ≤
− <
⇔
− − >
+ − ≤
− −
<
+
− <
− − ≤
− <
⇔
− − >
+ − ≤
− −
<
α
+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; )
α β
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ:
\
e
D R
d
−
=
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
a) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
ad
I
f
S
α
α
>
∆ ≤
>
⇔
∆ >
≥
− >
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
−∞
−
≥
⇔
≥ ∀ <
−
≥
⇔
≤
⇔
≤
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 10
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β
( )
( )
[ ; ]
;
( ) ( ), ( ; )
;
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α β
α β
α β
α β
−
−
≤
⇔
≥ ∀ >
0
0
0
( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
II
f
S
α
α
>
∆ ≤
( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc
α α α
= + + + + + −
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t ii
α
−
≥
⇔
≥ ∀ <
0
0
0
( )
0
0
0
a
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β
' 0, ( ; )
( ; )
( ) 0, ( ; ) ( )
y x
e
d
f x x III
α β
α β
α β
⇔ ≥ ∀ ∈
−
∉
⇔
≥ ∀ ∈
(III)
0
0
0
( ) 0
2 0
>
≥
− <
⇔
≥
− >
α
−
≤
⇔
≥ ∀ >
0
0
0
( )
0
0
0
a
a
iii
S
P
>
∆ ≤
=
−
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 11
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
2
2 2
2 4 3 ( )
' .
( 1) ( 1)
x x m f x
y
x x
− + −
= =
− −
a)Hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
' 0, ( ; 1)
( ) 0, 1
− ≥
− − >
1
1
9 0
m
m
m
≤
⇔
>
− ≥
9m
⇔ ≤
y x
m Min g x
−∞ −
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
⇔ ≤
Ta có bảng biến thiên của hàm số:
( ), ( ; 1]g x x∀ ∈ −∞ −
x
−∞
-1
g’(x
)
g(x)
+∞
9
Kết luận: Vậy
9m
≤
thì hàm số (2) đồng biến
trên
( ; 1)−∞ −
b)Hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
[2; )
' 0, (2; )
( )
y x
m Min g x
f
S
>
∆ ≤
>
⇔
∆ >
≥
− <
1
1
⇔ ≥ ∀ ∈
' 0
' 0
(1) 0
2.1 0
(2) 0
2.2 0
f
S
f
S
∆ ≤
∆ >
≥
⇔
− <
>
− ≥
⇔
<
− ≥
− >
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ; )
α
+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ; )
α β
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ:
\
e
D R
d
−
=
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
( ) 0
2 0
ad
ad
I
f
S
α
α
<
∆ ≤
<
⇔
∆ >
≤
α
−∞
( ; ]
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
−∞
−
≥
⇔
≥ ∀ <
−
≥
⇔
≤
≥ ∀ >
c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β
( )
( )
[ ; ]
;
;
( ) ( )
( ) ( ), ( ; )
e
e
d
d
h m Min g x
g x h m x
α β
α β
α β
α β
−
−
∉
≤ ∀ >
0
0
0
( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
II
f
S
α
α
<
∆ ≤
<
⇔
∆ >
−∞
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t ii
α
−
≥
⇔
≤ ∀ <
0
0
0
( )
0
0
0
a
a
ii
S
P
<
+∞
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 13
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
' 0, ( ; )
( ; )
( ) 0, ( ; ) ( )
y x
e
d
f x x III
α β
α β
α β
⇔ ≤ ∀ ∈
−
∉
⇔
≤ ∀ ∈
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t iii
α
−
β
β
α
β
<
∆ ≤
<
≤
− <
≤
0
0
0
( )
0
0
0
a
a
iii
S
P
<
∆ ≤
<
⇔
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
2 2
2 2
4 ( )
' .
( 2 ) ( 2 )
x mx m f x
y
x m x m
− + −
= =
− −
a) Hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞
' 0, ( ;1)
2 1
( ) 0, 1 ( )
y x
m
f x x I
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
>
⇔
≤ ∀ <
' 0
' 0
m m
m
=
≠
⇔
− + − ≤
− >
0
2 3
m
m
=
⇔
≥ +
Kết luận: Với
g t t i
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
>
⇔
≤ ∀ <
' 0
' 0
( )
0
0
i
S
P
∆ =
∆ >
⇔
>
≥
2 3
m
m
=
⇔
≥ +
Kết luận: Với
2 3m ≥ +
thì hàm số (2) nghịch
biến trên
( ;1)−∞
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 14
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
b)Hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞
' 0, (1; )
2 1
( ) 0, 1 ( )
y x
m
f x x II
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
<
⇔
≤ ∀ >
4 2 0
m
m
m m
m
=
≠
⇔
− + − ≤
− <
2 3m⇔ ≤ −
Kết luận: Với
2 3m ≤ −
thì hàm số (2)
nghịch biến trên
(1; )+∞
b)Hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞
<
≥
2
0
0
4 2 0
4 1 0
m
m
m
m m
=
≠
⇔
− <
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
e) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
≥
− <
Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
α
khi đó :
2 2
' ( ) 3 2(3 ) 3 2y g t at a b t a b c
α α α
= = + + + + +
.
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ; )
α
−∞
.
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ; )
α
+∞
.
( ) 0
' 0
( ) 0
2 0
af
af
S
α
α
α
<
∆ ≥
⇔
≥
− >
>
≥
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 15
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
.
( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
1 2
x x
α
< <
( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
' 0
( ) 0
2 0
af
S
α
α
∆ >
⇔ >
− <
>
e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
' 0
( ) 0
2 0
af
S
α
0
0
S
P
∆ >
⇔ >
>
Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các nghiệm của một
tam thức bậc hai với một số thực
α
. Nhưng với cách làm trên ta đã đưa về bài toán quen
thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách
này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương tự mà không cần sử dụng các kiến thức
liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =
3 2 2
1
( 1) 1
3
x mx m m x− + − + +
(1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.
2 2
2 1x mx m m− + − +
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ;1)−∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ;1)−∞
(1) 0
' 0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
<
∆ ≥
⇔
≥
− <
∆ ≥
⇔
<
≥
2
2
3 2 0
1 0
2 2 0
3 2 0
m m
m
m
m m
− + <
⇔
− + ≥
− <
1 2m
⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m
< <
thì hàm số (1) có
cực trị trong khoảng
( ;1)−∞
1 2m
⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m
< <
thì hàm số (1) có cực
trị trong khoảng
( ;1)−∞
2
3 2 0
1 0
3 2 0
2 2 0
m m
m
m m
m
− + <
− ≥
⇔
− + ≥
− >
1 m
⇔ <
Kết luận: Với
1m >
>
≥
2
2
3 2 0
1 0
2 2 0
3 2 0
m m
m
m
m m
− + <
− ≥
⇔
− >
(1) 0af⇔ <
2
3 2 0m m⇔ − + <
1 2m⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m< <
thì hàm số(1) có
hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
.
( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
' 0
(1) 0
2.1 0
af
S
∆ >
⇔ >
− <
2
1 0
3 2 0
2 2 0
m
m m m
m
− >
⇔ <
>
2
1 0
3 2 0
2 2 0
m
m m m
m
− >
⇔ − + > ⇔ ∈∅
− <
Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa
mãn yêu cầu của bài toán
e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
' 0
(1) 0
2.1 0
af
S
∆ >
⇔ >
− >
2
1 0
3 2 0 2
2 2 0
m
m m m
m
− >
⇔ − + > ⇔ >
− >
Kết luận: Với
2m >
− >
⇔ − + > ⇔ >
− >
Kết luận: Với
2m >
thì hàm số (1) có hai cực
trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1 x x< <
.
*Bài toán 6: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
y a d
dx e
+ +
= ≠
+
.
Tìm điều kiện để hàm số (2):
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ:
\
e
D R
d
−
=
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
−∞
khi và chỉ khi:
Phương trình
( ) 0f x =
có nghiệm trong
≥
− <
Txđ:
\
e
D R
d
−
=
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
( ) 0
e
g
d
α
−
− ≠
.
0
' 0
( )
0
0
P
i
S
P
<
∆ ≥
⇔
<
af
II
af
S
α
α
α
<
∆ ≥
⇔
≥
− >
b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
+∞
khi
và chỉ khi :
>
≥
c)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
c) Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
khi và chỉ khi:
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 18
,t
2
thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iii)
và
( ) 0
e
g
d
α
−
− ≠
.
(iii)
0P
⇔ <
d)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
khi và chỉ khi:
⇔ >
− <
d) Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
khi và chỉ khi:
phương trình
( ) 0g t =
có hai nghiệm t
1
,t
2
thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iv)
và
( ) 0
e
−
Tìm điều kiện để hàm số (2) :
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.
b) Có cực trị trong
(1; )+∞
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
2 2
2 2
4 ( )
' .
⇔
≥
− <
2
2
2
4 1 0
3 0
4 1 0
4 2 0
m m
m
m m
m
− + <
≥
4
'
( 2 )
x mx m
y
x m
− +
=
−
Đặt : t = x-1
Khi đó:
2
( )
' .
( 1 2 )
g t
y
t m
=
+ −
với:
2 2
( ) 2(1 2 ) 4 1 0g t t m t m m= + − + − + ≤
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ;1)−∞
khi
và chỉ khi phương trình:
( ) 0g t =
có nghiệm t
< 0 (i)
2
2
4 1 0
3 0
4 2 0
4 1 0
m m
m
m
m m
− + <
≥
⇔
− <
− + ≥
2 3 2 3
2 3
2 3
3 0 0m m⇔ − ≠ ⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3
0
m
m
< +
≠
thì hàm số (2) có cực
trị trong khoảng
( ;1)−∞
b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
(1; )+∞
khi và chỉ khi: phương trình
( ) 0f x =
có
nghiệm trong khoảng
(1; )+∞
(I) và
(2 ) 0f m ≠
(I’)
(I)
(1) 0
m m
m
m m
m
− + <
≥
⇔
− + ≥
− >
2 3 2 3
2 3
2 3
m
m
m
− < < +
⇔ ⇔ > −
S
P
<
∆ ≥
⇔
>
≥
2
2
2
4 1 0
3 0
4 2 0
4 1 0
m m
m
m
m m
(i’)
2
3 0 0m m⇔ − ≠ ⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3m > −
thì hàm số (2) có cực
trị trong khoảng
(1; )+∞
c)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
khi và chỉ khi :
phương trình
( ) 0f x =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
(III) và
(2 ) 0f m ≠
2
thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iii)
và
(2 1) 0g m − ≠
(i’).
(iii)
0P
⇔ <
2 3 2 3m⇔ − < < +
(i’)
0m⇔ ≠
Kết luận :Với
2 3 2 3m− < < +
thì hàm số
(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
d)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
2
3 0
4 1 0 2 3
4 2 0
m
m m m
m
>
⇔ − + > ⇔ < −
− <
(I’)
0m⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3
0
m
m
< −
≠
thì hàm số (2) có
⇔ <
>
2
2
3 0
4 2 0 2 3
4 1 0
m
m m
m m
>
⇔ − < ⇔ < −
− + >
(i’)
0m⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3
0
m
m
2 2 8 1
3
m x m x m x m+ − + + − + −
(1)
( 1)m ≠ −
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng
( ;1)−∞
.
b) Đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
.
c) Đồng biến trên khoảng
(1;2)
.
Bài 2: Cho hàm số : y =
( )
( )
2 3 2
1
1 1 2 1
3
m x m x x− + − − +
(1)
( 1)m ≠ ±
Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng
( ;1)−∞
.
b) Nghịch biến trên khoảng
=
+
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞
.
Bài 5: Cho hàm số : y =
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1x m x m x+ − + − −
(1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.
b) Có cực trị trong
(1; )+∞
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi
nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà
một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là định lý đảo về
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 21
Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
dấu tam thức bậc hai và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằng
cách ứng dụng đạo hàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et. Chính vì các em nhận thấy
với mỗi bài tốn nếu ta chịu tìm tòi sáng tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích nên rất
hứng thú với mơn học. Do đó mỗi năm học tơi nhận thấy chất lượng của mơn tốn nói riêng, và
kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm là
học sinh yếu, trung bình nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh trung bình, khá và
giỏi. Trong các kỳ thi tủn sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá
cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Cụ thể:
“Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu
tam thức bậc hai”.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến q báu của q thầy giáo, cơ giáo!
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục
– 2008.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 22
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
2. Sách giáo khoa Đại số 10 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục –
2006.
3. Giải toán Khảo sát hàm số – Trần Tiến Tự – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội –
2007.
4. Phương pháp giải các dạng toán Khảo sát hàm số – Nguyễn Ngọc Thu – ĐHQG TP
HCM – 2008.
5. Chuyên đề Khảo sát hàm số tự luận và trắc nghiệm – Lê Duy Lễ, Lê Khắc Bảo, Trần
Lưu Cường, Phạm An Hòa – NXB Đà Nẵng – 2004.
6. Hướng dẫn giải toán tự luận và trắc nghiệm Khảo sát hàm số – Chủ biên: Lê Đức Phúc
– ĐHQG TP HCM – 2008.
7. Tuyển tập 225 bài toán Khảo sát hàm số – Trần Văn Kỉ – NXB Trẻ – 2001.
8. Tự luận và trắc nghiệm phương pháp giải toán Khảo sát hàm số – Chủ biên: Lê Đức
Phúc – ĐHQG TP HCM – 2008.
MỤC LỤC
I. Lý do chọn đề tài 3
1. Đặt vấn đề 3
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 23
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
2. Nội dung sáng kiến 3
II. Tổ chức thực hiện đề tài 4
A. Cơ sở lý thuyết - Ví dụ minh họa 4
1. Kiến thức cần nhớ 4
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 25
Tổ trưởng
Hội đồng xét duyệt SKKN
Hội đồng xét duyệt SKKN
Copyright: Tài liệu đại học ©