Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

BÀI T P TÍNH
N I U VÀ C C TR C A HÀM S
A/- KI N TH C C B N.
I. Tính đ n đi u c a hàm s .
1). nh ngh a: Cho hàm s y = f ( x) xác đ nh trên K
 Hàm s y = f ( x) đ ng bi n trên K n u "x1, x2 Î K : x1 < x2  f ( x1 ) < f ( x2 )
 Hàm s y = f ( x) ngh ch bi n trên K n u "x1, x2 Î K : x1 < x2  f ( x1 ) > f ( x2 )
Chú ý: K là m t kho ng ho c đo n ho c n a kho ng
2). nh lý: Cho hàm s y = f ( x) xác đ nh trên K
a) N u f ¢( x) > 0, "x Î K thì hàm s f ( x) đ ng bi n trên K
b) N u f ¢( x) < 0, "x Î K thì hàm s f ( x) ngh ch bi n trên K
nh lý m r ng: Gi s hàm s y = f ( x) có đ o hàm trên K
a) N u f ¢( x) ³ 0, "x Î K và f ¢( x) = 0 t i m t s h u h n đi m thì hàm s đ ng bi n trên K
b) N u f ¢( x) £ 0, "x Î K và f ¢( x) = 0 t i m t s h u h n đi m thì hàm s ngh ch bi n trên K
c) N u f ¢( x) = 0, "x Î K thì f ( x) không đ i trên K
3). Hai d ng toán c b n.
D ng 1. Tìm các kho ng đ n đi u c a hàm s
Quy t c tìm:
 Tìm t p xác đ nh c a hàm s
 Tính đ o hàm f ¢( x) . Tìm các đi m xi (i = 1, 2,..., n) mà t i đó đ o hàm b ng 0 ho c không xác
đ nh
 L p b ng bi n thiên
 Nêu k t lu n v các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s .
D ng 2. Tìm các giá tr m đ hàm s đ n đi u (đ ng bi n, ngh ch bi n) trên kho ng cho
tr c
Ph ng pháp: Xét hàm s y = f ( x) trên K
 Tìm t p xác đ nh c a hàm s (n u c n). Tính f ¢( x)

Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

 T b ng bi n thiên d a vào đ nh lý 1 suy ra các đi m c c tr .
2). nh lí 2. Gi s y = f ( x) có đ o hàm c p 2 trong ( x0  h; x0  h) (h > 0) .
a) N u f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) > 0 thì x0 là đi m c c ti u.
b) N u f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) < 0 thì x0 là đi m c c đ i.
Qui t c 2 tìm c c tr hàm s (d a vào đ nh lý 2).
 Tìm t p xác đ nh.
 Tính f ¢( x) . Gi i ph ng trình f ¢( x) = 0 và kí hi u xi là nghi m
 Tìm f ¢¢( x) và tính f ¢¢( xi ) .
 D a vào d u c a f ¢¢( xi ) suy ra tính ch t c c tr c a xi .
3). Các d ng toán th ng g p
D ng 1. Tìm c c tr c a hàm s cho tr c.
Ph ng pháp: D a vào quy t c 1 ho c quy t c 2
D ng 2. i u ki n đ hàm s đ t c c tr
Ph ng pháp:
 Tìm t p xác đ nh D c a hàm s
 Tính f ¢( x)
 Hàm s đ t c c tr t i x0 Î D  f ¢( x) đ i d u khi qua x0
M t s chú ý:
 Hàm s y = ax3 + bx 2 + cx = d , a ¹ 0 có c c tr (c c đ i và c c ti u)  y ¢ = 0 có hai
nghi m phân bi t
 Xét hàm s trùng ph ng y = ax 4 + bx + c, a ¹ 0
éx = 0
y ¢ = 4ax3 + 2bx = 2 x(2ax 2 + b), y ¢ = 0  êê
2
(1)
êë 2ax + b = 0


0

y

-1
CT

3
C
Trang 2/9 – tailieulovebook.com


Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

Hàm s đ ng bi n trên (0; 2); hàm s ngh ch bi n trên (;0) và (2; ) .
Hàm s đ t c c đ i t i x = 2, yC = 3; hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = -1 .
VD2. Cho hàm s y   x 4  3x 2  1 . Tìm các kho ng đ n đi u và c c tr c a hàm s .
GI I
 TX : D =  .
éx = 0
ê
 y ¢ = -4 x 3 + 6 x ; y ¢ = 0  -4 x 3 + 6 x = 0  ê
êx =  6
2
ëê
 Gi i h n: lim y  , lim y  
x 

;0  và 
;   .
Hàm s đ ng bi n trên  ; 
 ; ngh ch bi n trên  
 và  0;
2 
 2

 2 

 2 
6
13
Hàm s đ t c c đ i t i x  
, y  , Hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = 1
C
2
4

VD3. Cho hàm s y 

x
. Tìm các kho ng đ n đi u và c c tr c a hàm s .
x 1

GI I
 T p xác đ nh D   \ 1 .
 y¢ = -

1

Xét hàm s g ( x), x Î (-1;1)
Có: g ¢( x) = -6 x - 6 £ 0, "x Î (-1;1)
BBT:
x

-1

1

g'(x)
0
g(x)
- 10

T BBT suy ra m £ g ( x), "x Î (-1;1)  m £ -10
V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng (-1;1)  m £ -10
VD8. Tìm đi u ki n c a m đ hàm s y = 2 x3 - 3(m + 2) x 2 + 6 (m + 1) x - 3m + 6 đ ng bi n

trên kho ng (5; ¥) .
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = 6 x 2 - 6 (m + 2) x + 6 (m + 1)
Hàm s đ ng bi n trên kho ng (5; ¥)  y ¢ ³ 0, "x Î (5; +¥)
 6 x 2 - 6 (m + 2) x + 6 (m + 1) ³ 0, "x Î (5; +¥) (1)

Xét BPT (1): (1)  6 x 2 -12 x + 6 ³ 6m ( x -1)

Trang 5/9 – tailieulovebook.com