Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG
  

Mã số: …………………………

SAÙNG KIEÁN KINH
NGHIEÄM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI

Người thực hiện: Lê Thị Thúy An
Lĩnh vực nghiên cứu:

□

- Quản lí giáo dục:



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán



- Lĩnh vực khác:



Có đính kèm: Các sản phẩm thể hiện trong bản in SKKN

8. Đơn vị công tác: Trường THPT Hồng Bàng, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng
Nai.

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân.
- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên nghành đào tạo: Toán – Tin.

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán học ở trường
THPT.
Số năm kinh nghiệm: 07 năm.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1. Một số dạng toán thường gặp của hình học không gian.
2. Phương pháp dạy học toán cho học sinh yếu kém.

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 2


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

Tên SKKN: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Đặt vấn đề
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài
toán không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Trong đó thường



Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.

 Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x  R ) là phương trình có dạng:
ax 2  bx  c  0  a  0

1

b)Cách giải.
 Tính   b 2  4ac
 Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
 Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2  

b
.
2a

 Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 

b  
b  

  0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm   P  0 .
S  0


ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f '( x)  0, x  K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f '( x)  0, x  K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.

iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị



Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0
thì f '( x0 )  0
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các
khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó :
 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

2. Phương pháp giải toán

* Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a  0)
Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 4

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x)  0  h(m)  g ( x) (i)
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (;  )
 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
( ; ]

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
 h(m)  g ( x) , x  ( ; )
 h(m)  Max g ( x)
[ ; )

c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ;  )
 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  ]

b) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
( ; )
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
 f ( x)  0, x  ( ; )
Khi đó ta có:

 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0


   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
 g (t )  0, t  0
 a  0

   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải
Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 5


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử
dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

 2m  7 m  4  0
 m  1  0

  2m 2  7 m  4  0
 
 11m  4  0
 m
0

  m  1
1

m  2
4
 m

11
4 m 1
11
2
4
Kết luận : m 
thì hàm số (1) đồng biến
11
trong khoảng (; 1)
b) Hàm số đồng biến trong khoảng (1;  )
 f ( x)  0, x  (1; ).
 m  1  0
 a  0


.
x2  4x  6
 x2  2 x  3
Đặt : g ( x)  2
.
x  4x  6
6 x 2  18
 g '( x)  2
.
( x  4 x  6)2
a) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (; 1)
 y '  0, x  (1; )
 m  g ( x), x  (; 1)
 m  Max g ( x)
 m

( ;1]

Xét : y  g ( x) , x  (; 1]
Ta có bảng biến thiên:
x
g’(x)
g(x)



-1
+
4
11

-4



-1
Trang 6


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
1

m  2

0  m  1

2

 m0

Từ bảng biến thiên ta được : m  0

Kết luận : m  0 thì hàm số (1) đồng biến trong
Kết luận : m  0 thì hàm số (1) đồng biến khoảng (1;  )
trong khoảng (1;  )
c) Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)
 f ( x)  0, x  (1;1)



 a  0

1
 m  1

 m
 
2
 11m  4  0

 m  0
   
 m 1


 m  1  0

 m  1  0

3m  0

 11m  4  0

Kết luận :

m

1
2

c) Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)
 y '  0, x  (1;1)


1
2

1
thì hàm số (1) đồng biến trong
2

thì hàm số (1) đồng biến

trong khoảng ( 1;1)
Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử
dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được
lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh.
*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a  0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (;  ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Giáo viên: Lê Thị Thúy An
Trang 7


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

Txđ: D = R

Txđ: D = R




 a  0
   0

 a  0

    f ( )  0
    S  2  0
 
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

a  0
  f ( )  0

  f (  )  0

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng (;  )
 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
( ; ]

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )
 h(m)  g ( x) , x  ( ; )
 h(m)  Max g ( x)

  0
S  0

  P  0

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 8


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
1
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =  m 2  1 x 3   m  1 x 2  2 x  1 (1) (m  1)
3

Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng ( ; 2) .
b) Nghịch biến trên khoảng (2; ) .
Lời giải thường gặp
Txđ : D = R
y’ = f(x) = (m2  1) x 2  2(m  1) x  2
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; 2)
 f ( x)  0, x  (; 2)

 a  0

  '  0
 a  0
 

 m  1  0
 2
  3m 2  2m  1  0
 m  1  0
 
  3m 2  2m  1  0
 4m 2  4m  10  0
 

 4m 2  4m  10  0
  4 m  6  0

  m  1
  2 m  3  0
  m  1
1

 m 1
1
3

 m 1
1
3
 m  1 thì hàm số (1)
Kết luận: Với
1
3
 m  1 thì hàm số (1) nghịch
Kết luận: Với


  f (2)  0
  P  0


  S  2.2  0

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 9


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
 m 2  1  0
 m 2  1  0
 2
 2
 3m  2m  1  0
 3m  2m  1  0
 2
 2
 m  1  0
 m  1  0

  3m 2  2m  1  0
  3m 2  2m  1  0


 
2

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
 e 
 e 
Txđ: D  R \  
Txđ: D  R \  
d 
d 
2
2
adx  2aex  be  dc
f ( x)
adx  2aex  be  dc
f ( x)
y' 

y' 

2
2
2
2
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
a) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng TH1: Nếu: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
(;  )


  S  2  0
 e
 
d
h(m)  Min g ( x )
[ ;  )


Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 10


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ;  )

 e
   ;  
d
 g ( x)  h(m), x  ( ;  )
 e
   ;  
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  ]

b) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
( ; )
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 


  P  0
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ;  ) b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ; )
 y '  0, x  ( ;  )
 e
 
d
 e
  ( ;  )

d
 g (t )  0, t  0 (iii)
 f ( x)  0, x  ( ;  ) ( III )
 a  0


   0

 a  0
 ad  0

(
iii
)


   0
  0

S  0

(2).
*Ví dụ 3: Cho hàm số: y 
x 1
Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 11


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (; 1) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2;  ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
Txđ : D = R
2
2x  4x  3  m
f ( x)
2 x2  4 x  3  m
f ( x)
y' 

.
y' 

.
2
2
2

m  1
g(x) 

  m  1
m9
9
 9  m  0
Kết luận: Vậy m  9 thì hàm số (2) đồng Kết luận: Vậy m  9 thì hàm số (2) đồng biến
trên (; 1)
biến trên (; 1)
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2;  )
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2;  )
 y '  0, x  (2; )
 y '  0, x  (2; )
 f ( x)  0, x  2
 m  Min g ( x)
[2; )
 a  0

Ta có bảng biến thiên của hàm số:
  '  0
g ( x), x  [2; )
m  1
 a  0

x
2

  m  1
 

g ( x), x  [1; 2].
    f (1)  0
   1  m  0
x
1
2
    
    
    S  2.1  0
   0  0
g’(x)
+


g(x)
3
    f (2)  0
   3  m  0
    S  2.2  0
    2  0


1
 m 1
Kết luận:
Kết luận: Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
biến trên (1; 2)
Giáo viên: Lê Thị Thúy An
Trang 12



2
2
2
2
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
a)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
TH1: Nếu: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
(;  )
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng (;  )
 y '  0, x  (;  )
 e
 
 e
d
 
 g ( x)  h(m), x  
d
 f ( x)  0, x   ( I )
 e
 
d
 ad  0
h(m)  Min g ( x)
(  ; ]



d
 g ( x)  h(m), x  ( ;  )
h(m)  Min g ( x)
[ ;  ]

b)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
 y '  0, x  ( ; )

 e
 
d
 f ( x)  0, x   ( I )
 ad  0

   0
 ad  0
( II )   
  0
  f ( )  0

  S  2  0
c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ;  )
Giáo viên: Lê Thị Thúy An

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành : g (t )  0 , với:
g (t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc


 a  0


 ad  0
   0

   0
 a  0
(iii )   

 ad  0
  0

S  0
    f ( )  0

    S  2  0
  P  0

(III)   
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

ad  0
  f ( )  0

  f (  )  0

a) Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)
Đặt : t = x-1
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành :
 y '  0, x  (;1)

*Ví dụ 4: Cho hàm số: y 

 2m  1

 f ( x)  0, x  1 ( I )
 '  0

 '  0
( I )  
  f (1)  0

  S  2.1  0
m  0

m  0
m  0
  2


   m  4m  1  0
m  2  3

  4m  2  0

g (t )  t 2  2(1  2m)t  m2  4m  1  0

biến trên ( ;1)

Trang 14


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1;  )
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1;  )
 y '  0, x  (1; )
 y '  0, x  (1; )
 2m  1
 2m  1


 f ( x)  0, x  1 ( II )
 g (t )  0, t  0 (ii)
 '  0
 '  0


 '  0
 '  0

( II )  
(ii )   
  f (1)  0
S  0


  S  2.1  0

a) Có cực trị trong (;  ) .
b) Có cực trị trong ( ; ) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1    x2 .

d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2   .
e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :   x1  x2 .
Lời giải thường gặp

Txđ: D = R

Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

y '  f ( x)  3ax  2bx  c
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (;  )
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng (;  ) .
2

 af ( )  0

 '  0
 
 af ( )  0

  S  2  0

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c


P  0

 '  0
 
S  0

  P  0

Trang 15


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1    x2 .
x1    x2 .
 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
x1    x2  af ( )  0
thỏa mãn : t1  0  t2
P0
d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  x2  
x1  x2   .
 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
x1  x2  
thỏa mãn : t1  t2  0

 '  0


tam thức bậc hai với một số thực  . Nhưng với cách làm trên ta đã đưa về bài toán quen

thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách này
để giải quyết được rất nhiều bài toán tương tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên
quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong ( ;1) .
b) Có cực trị trong (1;  ) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  1  x2 .
d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2  1 .
e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : 1  x1  x2 .
Lời giải thường gặp

Txđ: D = R
y’ = f(x) = x 2  2mx  m 2  m  1

a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1)
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng ( ;1)

 af (1)  0

 '  0
 
 af (1)  0

 
  2
1  m  2
S  0
m  3m  2  0
 2m  2  0




 m 2  3m  2  0
 2m  2  0
  P  0
1  m  2
Kết
luận: Với 1  m  2 thì hàm số (1) có cực
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số (1) có
trị trong khoảng ( ;1)
cực trị trong khoảng ( ;1)
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;  )
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;  )
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (1;  )
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (1;  ) .
 g (t )  0 có nghiệm: t > 0
 af (1)  0

 m 2  3m  2  0
P  0
 '  0


trong khoảng (1;  )
c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  1  x2 .
 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x1  1  x2

c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  1  x2 .
 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : t1  0  t2

 af (1)  0  m 2  3m  2  0
1  m  2
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số(1) có
hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  1  x2 .
d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  x2  1

 P  0  m 2  3m  2  0
1  m  2
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số(1) có hai
cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  1  x2 .

 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x1  x2  1

d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :
x1  x2  1 .
 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : t1  t2  0


e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
1  x1  x2
 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
1  x1  x2

e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
1  x1  x2 .
 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn:
0  t1  t2

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 17


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
 '  0
 '  0


 af (1)  0
 S  0
P  0
 S  2.1  0



m  1  0


2
adx  2aex  be  dc
f ( x)
y' 

2
2
 dx  e 
 dx  e 
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
(;  ) khi và chỉ khi:
Phương trình f ( x)  0 có nghiệm trong
e
khoảng (;  ) (I) và f ( )  0 .
d
 af ( )  0

 '  0
(I)   
 af ( )  0

  S  2  0

b)Hàm số(2) có cực trị trong khoảng
( ; ) khi và chỉ khi:
phương trình f ( x)  0 có nghiệm trong
e
khoảng ( ; ) (II) và f ( )  0 .
d
 af ( )  0

2

, với :

g (t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc
a) Hàm số (2) có cực trị trong khoảng (;  ) khi

và chỉ khi :
Phương trình g (t )  0 có nghiệm t < 0 (i)
e
 )  0.
d
P  0

 '  0
(i )   
S  0

  P  0

và g (

b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng ( ; ) khi

và chỉ khi :
phương trình g (t )  0 có nghiệm t > 0 (ii)
e
 )  0.
d
P  0


e
) 0.
d

 '  0

(IV)  af ( )  0
 S  2  0


phương trình g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : t1  0  t2 (iii)
e
 )  0.
d
(iii)  P  0

và g (

d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  x2   khi và chỉ khi:
phương trình g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : t1  t2  0 (iv)
e
và g (   )  0 .
d
 '  0

(iv)   S  0

 '  0
(I)   
 af (1)  0

  S  2.1  0
 m 2  4m  1  0

2
 3m  0
  2
  m  4m  1  0
  4m  2  0

2  3  m  2  3

 m  2 3
 m  2  3
(I’)  3m2  0  m  0

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
x 2  4mx  m2
y' 
( x  2m) 2

Đặt : t = x-1
g (t )
. với:

2  3  m  2  3

 m  2 3
m

2

3

(i’)  3m2  0  m  0

m  2  3
Kết luận: Với 
thì hàm số (2) có

m  2  3
m

0


Kết luận: Với 
thì hàm số (2) có cực
m

0

cực trị trong khoảng ( ;1)

trị trong khoảng ( ;1)


 m  2 3
 m  2  3
(I’)  3m2  0  m  0

 m 2  4m  1  0
P  0


2
 '  0
 3m  0

 
(i )  
S  0
4m  2  0


 m 2  4m  1  0
  P  0
2  3  m  2  3

 m  2 3
 m  2  3
(i’)  3m2  0  m  0

Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số (2) có Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số (2) có cực
cực trị trong khoảng (1;  )
c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:


 '  0

(IV)  af (1)  0
 S  2.1  0


 '  0

(iv)   S  0
P  0


3m2  0

  m 2  4m  1  0  m  2  3
 4m  2  0


3m2  0

  4m  2  0
 m  2 3
 m 2  4m  1  0

(i’)  m  0

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:

c) Đồng biến trên khoảng (1; 2) .
Bài 2: Cho hàm số : y =

1 2
 m  1 x3   m  1 x 2  2 x  1 (1) (m  1)
3

Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng ( ;1) .
b) Nghịch biến trên khoảng (1;  ) .
x 2  mx  m  8
(2).
x 1
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (; 1) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2;  ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) .

Bài 3: Cho hàm số: y 

x 2  2mx  m
(2).
xm
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1;  ) .

Bài 4: Cho hàm số: y 

Bài 5: Cho hàm số : y = 2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 (1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong ( ;1) .

hứng thú với mơn học. Do đó mỗi năm học tơi nhận thấy chất lượng của mơn tốn nói riêng, và
kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm là
học sinh yếu, trung bình nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh trung bình, khá và
giỏi. Trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đ ng có nhiều em đạt điểm khá
cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Cụ thể:
Kết quả học tậ bộ m n:
Đầu năm học (%)
Cuối năm học (%)
Năm học
YếuTB
Khá Giỏi Yếu- Kém
TB
Khá Giỏi
Kém
28.3
45.9
19.2
6.6
14.6
55.1
18.7
11.6
2009-2010
30.2
48.6
16.7
4.5
16.9
54.2
20

dụng, khai thác một số dạng tốn có chứa tham số, quy lạ về quen nên tơi viết sáng kiến kinh
nghiệm:
“Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu
tam thức bậc hai”.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến q báu của q thầy giáo, cơ giáo!
Giáo viên: Lê Thị Thúy An

Trang 22


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục
– 2008.
2. Sách giáo khoa Đại số 10 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục –
2006.
3. Giải toán Khảo sát hàm số – Trần Tiến Tự – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội –
2007.
4. Phương pháp giải các dạng toán Khảo sát hàm số – Nguyễn Ngọc Thu – ĐHQG TP
HCM – 2008.
5. Chuyên đề Khảo sát hàm số tự luận và trắc nghiệm – Lê Duy Lễ, Lê Khắc Bảo, Trần
Lưu Cường, Phạm An Hòa – NXB Đà Nẵng – 2004.
6. Hướng dẫn giải toán tự luận và trắc nghiệm Khảo sát hàm số – Chủ biên: Lê Đức Phúc
– ĐHQG TP HCM – 2008.
7. Tuyển tập 225 bài toán Khảo sát hàm số – Trần Văn Kỉ – NXB Trẻ – 2001.
8. Tự luận và trắc nghiệm phương pháp giải toán Khảo sát hàm số – Chủ biên: Lê Đức
Phúc – ĐHQG TP HCM – 2008.

Giáo viên: Lê Thị Thúy An

……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........

Nhận xét và xế lo i c

Hội đ ng kho học trư ng TH T H ng Bàng

……………………………………………………………..........
......................................................................................................
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........
……………………………………………………………..........

Nhận xét và xế lo i c

Tổ trưởng

ội đ ng x t duyệt KKN

HĐKH S Giáo dục – Đào t o tỉnh Đ ng N i

……………………………………………………………..........