Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
1

SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
*O* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI
GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG


Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị
trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0)
trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh
nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực

. Nếu theo chương trình sách giáo
khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và
các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét
nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình
sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến
định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm
thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức
được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi,
sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng
giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn
điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”
2/Nội dung sáng kiến
A.Mở đầu
B.Nội dung đề tài
I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa
II.Bài tập thực hành
C. Kết quả và bài học kinh nghiệm Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011.
Người viết
Lê Quốc Hoàng



2
ax 0 1 0bx c a 
b)Cách giải.

 Tính
2
4bac 
 Nếu
0
thì phương trình (1) vô nghiệm.
 Nếu
0 thì phương trình (1) có nghiệm kép
12
2
b
xx
a

.
 Nếu
0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
12
,
22
bb
xx
aa
   


 .
 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0P






.
 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương
0
0
0
P
S








.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com


đồng thời
'( ) 0fx
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là '( ) 0,
f
xxK
đồng thời '( ) 0fx chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
 Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
, khi đó nếu f có đạo hàm tại x
0

thì
0
'( ) 0fx

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x
0
và có đạo hàm
trên các khoảng (a;x
0
) và (x
0
;b) klhi đó :
 Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
f
xxax và


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
5
2. Phương pháp giải toán
*Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a


0
0
() 0
20
a
a
f
S



























b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )




() (), (; )hm gx x


[; )
() ()hm Maxgx





c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )

() (), (;)hm g x x



a
a
f
S



























a
f
f








































TH2
: Nếu bpt: ( ) 0fx không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -


Khi đó ta có:
22
'()3 2(3 )3 2
y
gt at abta bc


  .
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )



() 0, 0.gt t














b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )



() 0, 0gt t


0
0
0
0
0
0
a
a
S
P


Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo
về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã
hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm
hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách
giáo khoa.
*
Ví dụ 1: Cho hàm số : y =

32
1
1213211
3
mx mx mx

  (1)
(1)m 

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
7
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng
(;1)  .
b) Đồng biến trên khoảng
(1; )



























2
2
10
2740














1
2
41
11 2
m
m









4
11

2
23
.
46
xx
m
x
x
 




Đặt :
2
2
23
() .
46
xx
gx
x
x
 


2


x

 -1
g’(x)
+
g(x)

4
11

-1

Từ bảng biến thiên ta được :
4
11
m

Kết luận
:
4
11
m
 thì hàm số (1) đồng
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long















2
2
10
2740
10
2740
30
2
0
1
m
mm
m
mm
m
m




1
2
1
0
2
m
m









0m
Kết luận
:
0m 
thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng
(1; )

b)Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )


Từ bảng biến thiên ta được :
0m 
Kết luận
: 0m  thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng
(1; )

 c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)


() 0, (1;1)fx x
c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)
'0, (1;1)yx


(), (1;1)mgx x



[1;1]
()mMaxgx




Xét :
(), [1;1].ygx x

a
f
f


































2
2
10
2740
2740
30
2
0
1
11 4 0
0
1
10
10
30
11 4 0
m
mm
mm
m
m
m
m
m

































g’(x)
+ 0 -
g(x)

1
2

4
11
0

Từ bảng biến thiên ta được :
1
2
m

Kết luận
:
1
2
m
 thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng ( 1;1)


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
a)Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng
(;)



() 0, ( ; )fx x


0
0
0
0
() 0
20
a
a
f
S








TH1: Nếu bpt:
() 0 () ( ) ()
f
xgxhmi



a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(;)




() (), ( ;)hm g x x




(;]
() ()hm Maxg x




b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(; )






0
0
0
0
() 0
20
a
a
f
S



















() 0
() 0
a
a
f
S
f
S
a
f
f






































() (), (;)hm g x x





[;]
() ()hm Maxg x


a
S
P


















































*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =


23 2
1
1121
3
mxmxx

() 0, ( ;2)fx x

0
'0
0
'0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S





















































Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =
22 2 2
( 1) (4 2 6) 4 4 10mt mmxmm  
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(;2)


() 0, 0gt t


0
0
0
0
0
0
a
a
S
P







3210
44100
23
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m



















3
m


 thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng ( ; 2)


b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
 () 0, (2; )fx x
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )



Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
13
0
'0
0
'0




2
2
2
2
2
10
3210
10
3210
44100
46
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m







Kết luận:
Với 11m

 thì hàm số
(1) nghịch biến trong khoảng (2; )



() 0, 0gt t


0
0
0
0
0
0
a
a
S
P








44100
23
0
1
m
mm
m
mm
mm
m
m





















*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài
toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến
thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự
hứng thú đối với học sinh. *Bài toán 3: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
yad
dx e



.
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(;)



.
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e




TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )
f
xgxhmi 
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )


(;]
() ( ),
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx































Txđ: \
e
DR
d












0
0
0
()
0
() 0
20
ad
ad
I
f
S








[;]
;
() ( ), ( ; )
;
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx



























0
0
0
()
0
() 0
20
ad
ad
II
f
S











() 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be d
c



a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng
(;)



() 0, 0( )
e
d
gt t ii











0
0
0
()
0








c) Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ; )



'0, (;)
(; )
() 0, (; )( )
yx
e
d
f
xx III











0
a
a
iii
S
P

























f
S
ad
f
f








































*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với
cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà
không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã
được giảm tải
*Ví dụ 3: Cho hàm số:
2
23
(2).
1
xxm
y
x







a)Hàm số (2) đồng biến trên
(;1)



'0, ( ;1)
() 0, 1
yx
fx x



0
'0
0
'0
(1) 0
2( 1) 0
a
a
f
S
















9m

Kết luận:
Vậy
9m 
thì hàm số (2)
đồng biến trên
(;1)


b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; )


'0, (2; )
() 0, 2
yx
fx x



0







1
1
30
m
m
m












3m
Kết luận:
Vậy 3m  thì hàm số (2)
đồng biến trên (2; )

Txđ : D = R

mMingx
 




Ta có bảng biến thiên của
hàm số:
(), ( ;1]gx x


x


-1
g’(x)

g(x)



9

Kết luận:
Vậy 9m

thì hàm số (2) đồng
biến trên
(;1)



thì hàm số (2) đồng biến
trên (2; )


c)Hàm số (2) đồng biến trên (1;2)
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
18
c)Hàm số (2) đồng biến trên (1;2)

'0, (1;2)
() 0, (1;2)
yx
fx x



'0
'0
(1) 0
2.1 0
(2) 0
2.2 0
f
S










1
1
10
00
30
20
m
m
m
m













Vậy
1m  thì hàm số (2) đồng biến
trên (1;2)
[1;2]
'0, (1;2)
()
yx
mMingx




Ta có bảng biến thiên của
hàm số:
(), [1;2].gx x


x
1 2
g’(x)
+
g(x)
3

1
Kết luận:
Vậy
1m


GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
19
Txđ: \
e
DR
d








 
2
22
2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e




TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )










b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
(; )




[; )
() ( ),
() ()
e
d
gx hm x
e
d
hm Mingx







22
2()
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e




a)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )


'0, ( ;)
() 0, ()
yx
e
d
f
xxI


























c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng ( ; )





[;]
;
() ( ), ( ; )
;
() ()

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
20
b)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )


'0, (; )
() 0, ()
yx
e
d
f
xxI



 




















 TH2:
Nếu bpt: () 0fx

không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -


Khi đó bpt:
() 0fx

trở thành : () 0gt  , với:
22
() 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc

a
a
ii
S
P





























b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )



() 0, 0( )
e
d
gt t iii









Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
21
































0
0
0
()
0
0
0
a
a
iii
S
P




















b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; )

 .

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
22
22
4()
'.
(2) (2)
xmxm fx
y
x
mxm
 



a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)


'0, ( ;1)
21
() 0, 1()
yx
m
f
xxI





Txđ : D = R\{2m}
22
22
4()
'.
(2) (2)
xmxm fx
y
x
mxm
 



Đặt : t = x-1
Khi đó bpt:
() 0fx

trở thành :
22
() 2(1 2 ) 4 1 0gt t mt m m      

a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)
'0, ( ;1)
21
() 0, 0 ()








 







0
23
m
m






Kết luận: Với 23m  thì hàm số
(2) nghịch biến trên ( ;1)

'0
'0

410
m
m
m
mm


















0
23
m
m




(1) 0
2.1 0
II
f
S


















2
0
0
410
420
m
m

gt t ii









'0
'0
()
0
0
ii
S
P


















23m
Kết luận
: Với 23m  thì hàm số (2)
nghịch biến trên (1; )


*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a

0).
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Có cực trị trong ( ; )

 .
b) Có cực trị trong ( ; )

 .
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :

x


 . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
'()3 2
y
f x ax bx c
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(;)


() 0fx có nghiệm trong
khoảng ( ; )

 .
() 0
'0
() 0
20
af
af
S




'()3 2(3 )3 2
y
gt at a bt a b c


  .
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )


() 0fx

 có nghiệm trong khoảng ( ; )

 .
() 0gt

 có nghiệm: t < 0
0
'0
0
0
P
S
P







af
S





















b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )



() 0fx

 có nghiệm trong khoảng ( ; )

c)Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2

thõa mãn :
12
x
x

.
() 0fx có hai nghiệm x
1
, x
2

thõa mãn :
12
x
x


() 0af


c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1


GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long
24
d) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2

thõa mãn :
12
xx


() 0fx
có hai nghiệm x
1
, x
2

thõa mãn :
12
xx



'0
() 0
20
af
S

0tt


'0
0
0
S
P










e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2

thõa mãn :
12
x
x


e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
x
x



() 0gt

 có hai nghiệm t
1
,t
2

thõa mãn :
12
0 tt


'0
0
0
S
P


(1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong
(;1) .
b) Có cực trị trong
(1; )
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
1
x
x

 .
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thõa mãn :
12
1xx

 .
e) Có hai cực trị x
1
, x

khoảng ( ;1)
.
(1) 0
'0
(1) 0
2.1 0
af
af
S


















2
2
320



Txđ: D = R
y’ = f(x) =
22
21xmxmm



 Đặt
11tx xt

 
ta được :


22
'() 21 32ygtt mtm m

    
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1)

() 0fx

 có nghiệm trong khoảng ( ;1) .

() 0gt

 có nghiệm: t < 0


220
320
mm
m
m
mm


















 12m











2
2
320
10
320
220
mm
m
mm
m




























2
2
320
10
220
320
mm
m
m
mm




