Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục
Phn I
L DO CHN TI
Trong chng trỡnh toỏn hc lp 12, bi toỏn v tớnh th tớch ca khi a
din (c bit l khi chúp) gi mt vai trũ quan trng, nú xut hin hu ht cỏc
thi tuyn sinh vo i hc, cao ng; thi hc sinh gii, cỏc thi tt nghip
trong nhng nm gn õy. Mc dự vy õy l phn kin thc ũi hi hc sinh phi
cú t duy sõu sc, cú trớ tng tng hỡnh khụng gian phong phỳ nờn i vi hc
sinh i tr, õy l mng kin thc khú v thng mt im trong cỏc kỡ thi núi
trờn. i vi hc sinh gii, cỏc em cú th lm tt phn ny. Tuy nhiờn cỏch gii
cũn ri rc, lm bi no bit bi y v thng tn khỏ nhiu thi gian.
Trong sỏch giỏo khoa, sỏch bi tp v cỏc ti liu tham kho, loi bi tp ny
khỏ nhiu song ch dng vic cung cp bi tp v cỏch gii, cha cú ti liu no
phõn loi mt cỏch rừ nột cỏc bi toỏn v tớnh th tớch ca khi chúp.
i vi cỏc giỏo viờn, thỡ do lng thi gian ớt i v vic tip cn cỏc phn
mm v hỡnh khụng gian cũn hn ch nờn vic biờn son mt chuyờn cú tớnh h
thng v phn ny cũn gp nhiu khú khn.
Trc cỏc lớ do trờn, tụi quyt nh vit ti sỏng kin kinh nghim mang
tờn: Phõn loi gii bi tp v tớnh th tớch ca khi chúp nhm cung cp cho hc
sinh mt cỏi nhỡn tng quỏt v cú h thng v bi toỏn tớnh th tớch ca khi chúp,
mt h thng bi tp ó c phõn loi mt cỏch tng i tt, qua ú giỳp hc
sinh khụng phi e s phn ny v quan trng hn, ng trc mt bi toỏn hc
sinh cú th bt ngay ra c cỏch gii, c nh hng trc khi lm bi qua ú
cú cỏch gii ti u cho mi bi toỏn.
Mc dự vy, vỡ iu kin thi gian cũn hn ch nờn s phõn loi cú th cha
c trit v ch mang tớnh cht tng i, rt mong c cỏc bn bố ng
nghip gúp ý kin chnh sa ti ny c hon thin hn.
Tụi xin chõn thnh cm n!
1
Trung t©m luyÖn thi ®¹i häc – trêng THPT §oµn Thîng Biªn so¹n: Lª V¨n Lôc
Phần II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

( ;( ))
( ;( ))
M P
N P
d
MI
d NI
=
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì
( ;( )) ( ;( ))
1
2
M P N P
d d=
nếu I là trung điểm của MN thì
( ;( )) ( ;( ))M P N P
d d=
Kết quả 3. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = kMC (k >
0). Khi đó
ABM ACM
S kS=
hay
1
ABM ABC
k
S S
k
=
+
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của BC thì

II. Bài tập áp dụng
1. Phương pháp tính trực tiếp
Cơ sở của phương pháp này là công thức
1
.
3
V S h=
Phương pháp này thích hợp khi ta có thể dễ dàng tính được diện tích đáy S và
chiều cao h của khối chóp. Một trong những dấu hiệu của nó là ta có thể xác định
được chân đường vuông góc hạ từ đỉnh. Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a, AC =
3a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.
Phân tích. Khối chóp A’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và chiều cao là A’H
(H là trung điểm của BC) nên bài này chúng ta áp dụng trực tiếp công thức.
Lời giải. Gọi H là trung điểm của BC.
Giả thiết suy ra A’H ⊥ (ABC)
Ta có
'.
1
' .
3
A ABC ABC
V A H S=
2
1 3
.

Phân tích. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết
SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao của hình chóp.
Lời giải. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
cắt nhau theo giao tuyến SI suy ra SI ⊥ (ABCD). Bởi vậy
.
1
.
3
S ABCD ABCD
V S SI=
3
I
D
C
B
S
A
K
Trung t©m luyÖn thi ®¹i häc – trêng THPT §oµn Thîng Biªn so¹n: Lª V¨n Lôc
2
( )
3
2
ABCD
AB DC AD
S a
+
= =
.
Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc giữa

SI IK a= =
.
Vậy
2 3
.
1 3 15 3 15
3 .
3 5 5
S ABCD
V a a a= =
Cách 2. Phương pháp tọa độ. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ I, D(a ; 0 ; 0),
C(a ; a ; 0), S(0 ; 0 ; h) suy ra B(-a ; 2a ; 0), A(-a ; 0 ; 0). Từ giả thiết góc giữa
(SBC) và (ABCD) bằng 60
0
ta tính được h.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA =
2a
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
trên SB, SD.
a) Chứng minh SC ⊥ (AHK).
b) Tính thể tích khối chóp OAHK.
Phân tích. SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể
xác định được theo phương SC, hơn nữa, tam giác AHK cân nên ta tính được diện
tích của nó.
Lời giải.
a) AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC
Tương tự AK ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AHK)
b) Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là
trung điểm của AI, khi đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥

AH
AH AB AS a
= + = ⇒ =
;
6
3
a
SAD SAB AK AH∆ = ∆ ⇒ = =
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD.
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên
2 2 2 2
3 3 3
HK SG a
HK BD
BD SO
= = ⇒ = =
. Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm
của HK nên AG ⊥ HK và
2 2 1 1 2
. .2
3 3 2 3 3
a
AG AI SC a= = = =
2
1 1 2 2 2 2 2
. . .
2 2 3 3 9
AHK
a a a
S AG HK= = =

3 3
a a
 
 ÷
 
, K
2 2
;0;
3 3
a a
 
 ÷
 
, O
; ;0
2 2
a a
 
 ÷
 
Áp dụng công thức
1
, .
6
V AH AK AO
 
=
 
uuur uuur uuur
Bài 4 Cho Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên

a a
AM SM SC= = =
và AM ⊥ SC.
Do tính đối xứng nên
3
.
1 2 1 6
2 2. . . . . . .
3 3 2 18
S AEMF EAMS AMS
a
V V S EI AM SM EI= = = =
Cách 2. EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM. Lại có SC ⊥ BD ⇒ SC ⊥ EF,
do đó SC ⊥ (AEMF).
EF // BD ⇒
2 2 2 2
3 3 3
EF SI a
EF BD
BD SO
= = ⇒ = =
(I là trọng tâm tam giác SAC)
Tứ giác AEMF có AM ⊥ EF nên
2
1 3
.
2 3
AEMF
a
S AM EF= =

2
a
 
 ÷
 
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh SA bằng x, tất cả các cạnh còn lại
đều có độ dài bằng 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể
tích đó lớn nhất.
Phân tích. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác
định được đường cao.
OA OC OS= =
nên tam giác SAC vuông tại S, do vậy tính
được SH, AC và diện tích của ABCD.
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABCD).
Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCD. Tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, O là giao của AC và BD.
CBD ABD SBD∆ = ∆ = ∆

OC OA OS SAC⇒ = = ⇒ ∆
vuông tại S
2
1AC x⇒ = +
.
2 2
2
1 1 1
1
x
SH

2 2
2
1 1 3 1
3 .
6 6 2 4
x x
V x x
+ −
= − ≤ =
Đẳng thức xảy ra
6
2
x⇔ =
. Vậy V lớn nhất khi
6
2
x =
Bài 6 Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Lấy một điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm
A, B, C thuộc mặt cầu sao cho SA = SB = SC và
·
·
·
ASB BSC CSA
α
= = =
0 0
0 90
α
< <
). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo R và

vuông tại A nên SA
2
= SI.SS
’

2 2
'
2
SA a
SI
SS R
⇒ = =
Trong tam giác SAB ta có
2 2 2
2 . .cosAB SA SB SA SB
α
= + −

2 2 2
2 (1 cos ) 4 sin 2 .sin
2 2
a a AB a
α α
α
= − = ⇒ =
2 4
0 2 2 2 2 2
1 1 3
. .sin60 3sin 3sin . sin
2 2 3 2 2 6 2

4 3 2 3 2
a a
a a R
R
α α
⇒ = + ⇒ = −
Vậy
3 2 2 2
8 3 4
sin (1 sin )
3 2 3 2
V R
α α
= −
7
S
A
C
O
B
J
S’
I
O
A
B
C
D
S
H

(theo công thức hêrông). Mặt
khác
2 6
3
S a
S pr r
P
= ⇒ = =
. Áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác SHE ta có
0
tan60 2 2SH r a= =
.
Vậy
2 3
1 1
. .6 6 .2 2 8 3
3 3
SABC
V S SH a a a= = =
Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng
BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
, tam giác ABC vuông tại C và
·
0
60BAC =
.
Hình chiếu của điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác
ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

F
I
a
A'
C'
G
M
B
A
C
B'
Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục
Vy
'
1
. '
3
A ABC ABC
V S B G=
. Tam giỏc BBG cú
0
'.cos60
2
a
BG BB= =
,
0
3
' '.sin60
2

1 9 3 3 9
. .
3 32 2 64
A ABC
a a a
V = =
*Nhn xột. bi toỏn trờn ta ó thay nh A bng nh B m th tớch khụng thay
i, trong khi vi nh B ta d dng xỏc nh c chõn ng vuụng gúc. Vic
lm ny nhiu khi rt thun li v ú chớnh l ni dung ca phng phỏp 2 sau õy
2. Phng phỏp trt nh, dón ỏy
C s ca phng phỏp ny l bng cỏch thay nh v m rng ỏy, ta quy
vic tớnh th tớch ca khi chúp ó cho v vic tớnh th tớch ca nhng khi chúp
c bit.
Bi 9 Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a, SA =
2a
. Gi M, N, P ln
lt l trung im ca cỏc cnh SA, SB, CD. Tớnh theo a th tớch khi t din
AMNP.
Phõn tớch. Theo gi thit, vic tớnh th tớch cỏc khi chúp S.ABCD hay S.ABC l
d dng. Vy ta cú th ngh n vic quy vic tớnh th tớch ca khi t din AMNP
v vic tớnh th tớch ca cỏc khi chúp núi trờn. Trong cỏc mt ca khi t din
AMNP ta thy tam giỏc AMN cú th m rng thnh tam giỏc SAB, khong cỏch t
P n (AMN) cú th thay bng khong
cỏch t C n (SAB).
Li gii.
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD, khi
ú SO (ABCD).
M, N ln lt l trung im ca SA v SB
nờn
1 1

V V S SO= = =
.
2 2 2
1 6
,
2 2
ABC
a
S a SO SA AO= = =
.
Vy
3
2
1 1 6 6
. .
12 2 2 48
AMNP
a a
V a= =

Bi 10. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh, AB = a, AD = 2a, gúc
ã
0
30ABC =
; SA = 3a v nm trờn ng thng vuụng gúc vi ỏy. Gi M, N ln
lt l trung im ca SC v SD, O l giao im ca AC v BD. Tớnh th tớch khi
t din OAMN.
Phõn tớch. Khi t din OAMN cú
mt AOM cú th m rng thnh
tam giỏc SAC, khong cỏch t N

. . . . . . .sin30 .
3 4 4 4 3 12 2 8
OAMN SAC D SAC S ACD ACD
a
V S d V S SA DA DC SA= = = = =
Bi 11 Cho t din
ABCD
cú
, ;AB a CD b= =
gúc
( , )AB CD

=
, khong cỏch
gia
AB
v
CD
bng
d
. Tớnh th tớch ca khi t din
ABCD
theo
, ,a b d
v

.
Phõn tớch. Nu dng hbh BCDE thỡ tam giỏc
ABE hon ton xỏc nh v
BCD BDE

CD bằng hoặc bù với góc
· ·
sin sinABE ABE
α
⇒ =
.
BCD BDE
S S= ⇒

( ;( ))
1
.
3
ABCD ABDE DABE ABE D ABE
V V V S d= = =
.
1
sin
2
ABE
S ab
α
=
.
Mp(ABE) chứa AB và song song với CD nên
( ; ) ( ;( )) ( ;( ))CD AB CD ABE D ABE
d d d d= = =
Vậy
1 1
. sin . sin

= =
2 2 2
' ' ' 'NN N M MN NN N M⊥ ⇒ = +
2
2 2 2 2 2
2
( ) 2 cos 2 (1 cos )
4cos
2
a
x y a x y xy xy a xy
α α
α
⇔ + = + + − ⇔ + = ⇔ =
Vậy
2
3
2
1 1
. .sin . tan
6 12 2
4cos
2
ABMN
a
V a a
α
α
α
= =

A A A∆
. Ta có
3 2 1
, ,BCA D BCDA BDCA
là
các hình bình hành nên
1 2 1 2
1
2
AB DC A A AA A= = ⇒ ∆
vuông tại A. Tương tự
1 3
AA A∆
,
2 3
AA A∆
vuông tại A.
1 2 3 1 2 3
1 1
4 4
BCD A A A ABCD AA A A
S S V V= ⇒ =
đặt x = AA
1
, y = AA
2
, z = AA
3
Trong tam giác vuông
2 3

+ y
2
+ z
2
= 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2( )
2( )
2( ) 2( )
2( )
2( )
x b c a
x b c a
y a c b y a c b
z b a c
z b a c

= + −
= + −


V V b c a a c b b a c⇒ = = + − + − + −
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
=
3a
và mp(SAB) vuông góc với mp đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và BC. Tính theo a thể tích
khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa
hai đường thẳng SM và DN.
Phân tích. Tam giác ABS vuông tại S nên
ta tính được SH. Diện tích tứ giác BMDN
có thể tính gián tiếp qua diện tích của hình
vuông ABCD.
Lời giải.
12
c
b
a
a
c
b
c
z
b
x
y
a
c
b
a
D

SB SC a
SH AB SB SC SH
AB
= ⇒ = =
1 1
2 2
BMDN BMD BND BAD BCD
S S S S S= + = +

2
1 1
.2 .2 2
2 2
ABCD
S a a a= = =
. Do đó
3
2
.
1 1 3 3
. .2 .
3 3 2 3
S BMDN BMDN
a a
V S SH a= = =
3. Phương pháp phân chia và lắp ghép khối chóp
Cở sở của phương pháp này là: Nếu khối chóp phức tạp hoặc chưa tính thể
tích ngay được thì ta có thể phân chia khối chóp thành những khối chóp đơn giản
hơn mà việc tính thể tích của những khối chóp được phân chia là khả quan hoặc ta
có thể coi khối chóp đã cho là phần bù của một khối chóp khác.

1 1
=V . .
3 6 6
D ACD A B ABC ABC B ABC ABCD B ABCD
V
V V V S d S d= = = = =
.
Từ đó ta có
' '
4.
6 3
ACB D
V V
V V= − =
13
D'
A'
C'
C
A
D
B
B'
Trung t©m luyÖn thi ®¹i häc – trêng THPT §oµn Thîng Biªn so¹n: Lª V¨n Lôc
Bài 16. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a
a) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Chứng minh rằng mặt
phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Phân tích. Mp(MNP) chia khối chóp thành 2 khối đa diện phức tạp nên để tích thể
tích của nó ta chọn phương án lấy hiệu.

2 PCIJ FDNJ EBMI
V V V V= − −
Vì P là trung điểm của SC nên
( ;( )) ( ;( ))
1 1
2 2
P ABCD S ABCD
d d SH= =
Gọi K là trung điểm của CD, khi đó MK // ND, KP // DF suy ra
1 1 1 1 1
. ,
2 2 2 2 4 2 2
DF JD ND a a
DF KP SD JD JK
KP JK MK
= = = ⇒ = = = = =
Tương tự
4
a
BE =
,
2
a
BI =
2
( ;( ))
1 1 1 1 3 3 3 9
. . . . . . . .
3 3 2 2 12 2 2 16 16
PCIJ CIJ P CIJ

S
Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục
Bi toỏn. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC. Trờn cỏc tia SA, SB, SC ln lt ly A,
B, C khụng trựng vi im S. Khi ú ta cú cụng thc sau
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
=
Vic chng minh nú khỏ n gin v ó cú trong sỏch giỏo khoa. Cỏi hay
ca bi toỏn ny l ch: khi ó bit th tớch ca khi chúp S.ABC v cỏc t s núi
trờn thỡ ta s tớnh c th tớch ca khi chúp S.ABC (ụi khi vic tớnh trc tip
th tớch ca khi chúp S.ABC gp nhiu khú khn). Ta s minh ha iu ny
bng mt s vớ d sau.
Bi 17. Cho t din ABCD cú AB = a, AC = b, AD = c v cỏc gúc BAC, CAD,
DAB u bng 60
0
. Tớnh th tớch khi t din ABCD theo a, b, c.
Phõn tớch. Nu a = b = c thỡ t din ABCD l hỡnh chúp u nh A nờn ta tớnh
c th tớch ca nú. Nu a, b v c khụng ng thi bng nhau thỡ ta ly C v D
trờn cỏc tia AC, AD sao cho AC = AD = a c hỡnh chúp u. Tip theo ta
dựng cụng thc t s th tớch tớnh th tớch khi chúp A.BCD.
Li gii.
Khụng gim tng quỏt, gi s a nh nht. Trờn cỏc tia
AC, AD ln lt ly C v D sao cho AC = AD = a.
Tam giỏc ABC cõn ti A v cú

' ' 12 12
A BCD
A BCD
A BC D
V AB AC AD bc bc a abc
V
V AB AC AD a a
= = = =
Bi 18 Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA =
2a v SA vuụng gúc vi mt phng (ABC). Gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng
gúc ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th tớch ca khi chúp A.BCNM.
15
A
B
C
D
C
D
Trung t©m luyÖn thi ®¹i häc – trêng THPT §oµn Thîng Biªn so¹n: Lª V¨n Lôc
Phân tích. Ta dễ dàng tính được thể tích của khối chóp S.ABC và các tỉ số
,
SM SN
SB SC
nên tính được thể tích của khối chóp S.AMN. Mặt khác, khối chóp
S.ABC được phân chia thành hai khối chóp S.AMN và A.BCNM nên
ABCNM SABC SAMN
V V V= −
Lời giải.
2 3
1 1 3 3

ABCD là hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a;
SA vuông góc với đáy và SA =
3a
. Gọi
B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên
SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng A, B’, C’, D’ đồng
phẳng.
b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Phân tích. Do
', ', 'AB AC AD
cùng vuông
góc với SC nên chúng đồng phẳng. Để làm
câu b) ta lưu ý rằng công thức tỉ số của hai khối chóp chỉ áp dụng cho các khối
chóp tam giác nên ta nghĩ đến việc phân chia khối chóp S.AB’C’D’ thành hai khối
chóp tam giác.
16
2a
a
C'
O
B
D
C
A
S
B'
D'
A
C

= = = = ⇒ =
2 2
. ' '
. ' ' .
2 2 2 2
.
' ' '. '. 9 9
. . .
56 56
S AC D
S AC D S ACD
S ACD
V SC SD SC SC SD SD SA SA
V V
V SC SD SC SD SC SD
= = = = ⇒ =
Kí hiệu V là thể tích của khối chóp S.ABCD thì
3
1 3
.
3 3
ABCD
a
V S SA= =
và do
ABCD là hình chữ nhật nên
. .
1
2
S ABC S ACD

a
S S= =
Góc
·
0
90ABD =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BD ⊥ AB, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ SB. Do đó, góc giữa (SBD)
và (ABCD) bằng góc
· ·
0
45SBA SBA⇒ =
suy ra tam giác SAB
vuông cân tại A ⇒ SA = a.
17
O
N
M
A
B
C
D
S
Trung t©m luyÖn thi ®¹i häc – trêng THPT §oµn Thîng Biªn so¹n: Lª V¨n Lôc
Vậy
2
3
1 1 3 3 3
. . .
3 3 4 4

C SBD
SBD
V a
d
S
= =
c) Mặt phẳng (ADM) song song với BC nên cắt (SBC) theo giao tuyến MN // BC,
M là trung điểm của SB nên N là trung điểm của SC.
Ta có
. . .S AMND S AMN S AND
V V V= +
3
.
. .
.
1 1 1 1 1 1 3
. . . .
2 2 4 4 4 3 48
S AMN
S AMN S ABC ABC
S ABC
V SM SN a
V V S SA
V SB SC
= = = ⇒ = = =
3
.
. .
.
1 1 1 3

1
3
OK
OC
=
. Vấn đề còn lại là tìm mối quan hệ giữa
OM
OB
và
ON
OD
.
Lời giải.
Vì ABCD là hình bình hành cho nên ta có:
V
O.ABC
= V
O.ADC
= V
O.ABD
= V
O.CBD
=
1
2
V
O.ABCD
=
1
2

Tương tự: V
OANK
=
y.V
6
Vậy V
1
= V
OAMK
+V
OANK
=
V
(x y)
6
+
(1)
Mặt khác ta có:
V
1
= V
OAMN
+ V
OMNK
= x.y.
V
2
+ x.y.
V
6

V 6
= + =
2
2 2 x 2 x
x.y .x. .
3 3 4x 1 3 4x 1
= =
− −
Xét hàm số f(x) =
2
x
4x 1−
có f '(x) =
2
2x(2x 1)
(4x 1)
−
−
= 0
⇔
x =
1
2
Bảng biến thiên:
x
1
3

1
2

và y =
1
2
giá trị lớn nhất là:
2
9
khi
1
x
3
y 1

=



=

hoặc
x 1
1
y
3
=



=



BCD
S
MB PM
MB BA
BA PB S
⇒ = =
.
Tương tự ta cũng có
'
MBD
CBD
S
MC
CA S
=
và
'
MBC
DBC
S
MD
DA S
=
.
Cộng vế lại ta được
' ' '
1
MB MC MD
BA CA DA
+ + =

C
1
D
1
. Do vậy
1 1 1
AB C D
MB'C'D'
1 1 1
ABCD ABCD
V
V
AB .AC .AD
MB'.MC'.MD'
V V AB.AC.AD AB.AC.AD
= = =
Áp dụng BĐT AM – GM và (1) ta được
3
MB'C'D'
ABCD
MB' MC' MD'
V
MB'.MC'.MD' 1
AB AC AD
V AB.AC.AD 3 27
 
+ +
 ÷
= ≤ =
 ÷

Bài 23. Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
bằng a. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của các cạnh
', , ' 'BB CD A D
. Tính thể tích của tứ diện BMNP.
Phân tích. Tứ diện BMNP không có gì đặc biệt nên khó
có thể tính được thể tích của nó theo cách thông thường.
Tuy nhiên với pp tọa độ thì đây lại là bài toán dễ.
Lời giải. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho
O ≡ A, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; a) ⇒ M
;0;
2
a
a
 
 ÷
 
, N
; ;0
2
a
a
 
 ÷
 
, P
0; ;

Thứ ba, khi áp dụng đề tài này xong, khả năng vẽ hình của các em khá tốt, trí
tưởng tượng hình không gian phong phú, lối tư duy sâu sắc tạo nền tảng chắc chắn
để các em có thể học tiếp các mảng kiến thức khác.
Kết quả thu được cụ thể ở các lớp giảng dạy 12A1 và 12A3 như sau:
* Trong đề thi thử đại học lần 1 năm 2010 (Học sinh đã học xong chương I hình
học 12 và chưa áp dụng đề tài này) có câu IV hình: “Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có AB = a, SA =
2a
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SB, CD. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP”
Kết quả
Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm đúng câu IV
12A1 40 30 17
12A3 43 25 11
21
N
P
M
A'
D'
C'
C
A
D
B
B'
Trung t©m luyÖn thi ®¹i häc – trêng THPT §oµn Thîng Biªn so¹n: Lª V¨n Lôc
* Trong đề thi thử đại học lần 2 năm 2010 (Học sinh đã được áp dụng đề tài này)
có câu IV hình: “Cho tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = h
và vuông góc với đáy. Gọi H, I lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.

điểm A, B, C. Cho biết
· ·
·
, , Ox , , ,xOy yOz z OA a OB b OC c
α β γ
= = = = = =
(
, ,
α β γ
đều là góc nhọn).
22
Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục
a) Tớnh th tớch V ca khi t din OABC theo
, , , , ,a b c

.
b) Gi s A, B, C di ng sao cho
3a b c k+ + =
(k l hng s dng). Tỡm giỏ
tr nh nht ca V.
Bi 7. Cho khi lp phng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cnh a. Gi M, N ln lt l trung
im ca
' 'B C
v
' 'C D
. Mt phng (AMN) chia khi lp phng thnh hai khi
a din. Tớnh th tớch ca hai khi a din ú.
Bi 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAD l tam

Phn III
KT LUN V KIN NGH
Sỏng kin kinh nghim ca tụi ó gii quyt c nhng vn sau:
1. Giỳp hc sinh cú cỏi nhỡn tng quỏt v cú h thng v bi toỏn tớnh th
tớch ca khi chúp, t ú cú k nng gii thnh tho cỏc bi toỏn thuc ch
ny v hn th cú th s dng th tớch nh mt cụng c tớnh khong cỏch,
chng minh ng thc v mt s vn khỏc.
2. Gii quyt mt cỏch tng i trit bi toỏn v tớnh th tớch ca khi
chúp.
3. Thụng qua vic v hỡnh, tớnh toỏn, tỡm con ng ti u tớnh th tớch,
to cho cỏc em kh nng lm vic c lp, sỏng to, phỏt huy ti a tớnh tớch
cc ca hc sinh theo ỳng tinh thn phng phỏp mi ca B giỏo dc v o
to. iu quan trng l to cho cỏc em nim tin, khc phc c tõm lớ s bi
toỏn v hỡnh hc khụng gian.
Qua thc t ging dy chuyờn ny tụi thy cỏc em hc sinh khụng nhng
nm vng c phng phỏp, bit cỏch vn dng vo nhng bi toỏn c th m
cũn rt hng thỳ khi hc tp chuyờn ny. Khi hc trờn lp v qua cỏc ln thi
th i hc, s hc sinh lm c bi v tớnh th tớch cao hn hn cỏc nm
trc v cỏc em khụng c hc chuyờn ny.
Mt s xut
Mi bi toỏn thng l cú nhiu cỏch gii, vic hc sinh phỏt hin ra nhng
cỏch gii khỏc nhau cn c khuyn khớch. Song trong nhng cỏch gii ú cn
23
Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục
phõn tớch rừ u im v hn ch t ú chn c cỏch gii ti u. c bit cn
chỳ ý ti nhng cỏch gii bi bn, cú phng phỏp v cú th ỏp dng phng
phỏp ú cho nhiu bi toỏn khỏc. Vi tinh thn nh vy v theo hng ny cỏc
thy cụ giỏo cựng cỏc em hc sinh cú th tỡm ra c nhiu kinh nghim hay
vi nhiu ti khỏc nhau. Chng hn, cỏc bi toỏn v ng dng th tớch tớnh
khong cỏch hay chng minh ng thc hỡnh hc; cỏc bi toỏn v tớnh khong