MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH CỦA
KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ
PHẦN I : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP VÀ
KHỐI LĂNG TRỤ.
Nhận xét : Vì hình lăng trụ có hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song do đó nếu ta lấy một
đỉnh bất kì của mặt đáy này nối đến tất cả các đỉnh của mặt đáy kia thì ta có được một hình chóp
có chiều cao cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ.
Vậy cách xác định đường cao của hình lăng trụ tương tự như xác định đường cao của hình
chóp.

Minh họa :
+ Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và hình chóp A’ABC cùng có chung đường cao AA’ .
Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp xác định đường cao của hình chóp có đỉnh S và mặt
đáy đang nằm trong mặt phẳng
( )
α
.
Trường hợp 1 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng .
Nhận xét : Nếu theo giao tuyến là đường thẳng d và điểm H là hình chiếu vuông
góc của S trên d thì SH sẽ vuông góc mặt phẳng suy ra SH là đường cao hình chóp .
Định lí :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
d
a
a
a d
β α

C
A

A’
C’
B’
Gọi H là trung điểm AB. Do ∆SAB cân tại S nên SH .
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SH ABCD
SH SAB
SH AB
⊥


∩ =

⇒ ⊥

⊂


⊥

SH là đường cao hình chóp S.ABCD nên hình chiếu vuông

SH ABC
SH SBC
SH BC
⊥


∩ =

⇒ ⊥

⊂


⊥

SH là đường cao hình chóp S.ABC
Ta có SH
2
3
.
1
. 6
2
1
. 2 3
3
ABC
S ABC ABC
S BA BC a
V SH S a

B C
D

A
S
H
A
C
B
S
H
(SIB) ,(SIC) cùng vuông đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
a
.
Bài giải
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SIB ABCD
SIC ABCD SI ABCD
SIB SIC SI
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =


Bài giải
+ có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABCD
Gọi O là giao điểm của AC và BD
0
( ) ( ) (1)
( à ình vuô )(2)
( (2)
ó
( ( ))
( )
(3)
(1),(2),(3) 60
SBD ABCD BD
BD AO ABCDl h ng
BD AO theo

A
S
I
C
B C
D
A
S
60 O

3
2
1 1 6 6
. . . ( )
3 3 2 6
ABCD
a a
V SA S a dvtt
= = =
Ví dụ 5 : ( Trích Đề thi khối A -2011 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt
phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bẳng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Bài giải

2 2
( ). 3
2 2
1
. 3
3
BCNM
S BCNM BCNM
BC AB
MN a BM a
BC MN BM a
S
V SA S a
= = = =
+
= =
= =
Ví dụ 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; AC =
2 3a
, BD = 2a ; AC và BD cắt nhau
tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài giải
Hai mp (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mp
(ABCD) nên giao tuyến SO vuông góc với mp(ABCD)

; OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH
= =
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK và
AB ⊥ OI nên suy ra OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
⇒
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + ⇒ =
Diện tích đáy
2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OAOB a
∆
= = =
;
đường cao của hình chóp là

Do SB = SD =BD = nên tam giác SBD là
tam giác đều có SO là đường cao (do SO vuông
góc (ABCD))
Suy ra
3 15
2 2
BD a
SO
= =
2
3
2
.
. 2
1 1 15 15
. . .2
3 3 2 3
ABCD
S ABCD ABCD
S AB AD a
a a
V SO S a
= =
= = =
Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy .
Nhận xét : Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó .
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 5/10
B C
D

2
2
1 1 33 3 11
. . .
3 3 9 2 18
ABCD ABC
S ABCD ABCD
a
S S
a a a
V SH S
∆
= =
= = =
Ví dụ 9:
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’C’ = a, độ dài cạnh bên bằng b.
Đỉnh D cách đều 3 đỉnh A’,D’,C’.
a) Tính thể tích khối tứ diện DA’C’D’, tính thể tích V của khối hộp đj cho.
b) Gọi V
1
là thể tích của khối đa diện BCDA’C’. Tính
V
V
1
Bài giải
a) Tam giác A’D’C’ là đều ( do A’D’=D’C’ = A’C’)
Gọi I là tâm tam giác đều A’D’C’ . Vì D và I cùng cách
đều các điểm A’,D’ ,C’ nên DI vuông góc (A’D’C’) do đó
DI là đường cao tứ diện DA’C’D’ và khối hộp đj cho
4

a
b
a
SDIV
CDACDDA
−
=
−==
2
3
6
222
'''
aba
VV
CDDA
−
==
.
b)
.
6
1
'''
VV
CBBA
=
VVVVVVVV
DCDACBBA
3

1
=⇒
V
V
Trường hợp 5 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc
Nhận xét : Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là
tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
Ví dụ 10 :
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a,BC = 6a , CA = 7a . Các mặt bên (SAC), (SBC),
(SCA) tạo với mặt đáy một góc
0
60
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo
a
.
Bài giải
- Kẻ
( )
, ,HE AB HF
⊥ ⊥ ⊥

SH ABC BC
và
HJ
⊥
AC
.
Theo định lí ba đường vuông góc ta có

, ,SE AB SF BC SJ BC

3
ABC
V SH S a
= =
S.ABCTrường hợp 6 : Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc .
Nhận xét : Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao thuộc
đường phân giác của góc
ϕ

với
ϕ
là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung của mặt đáy với
hai mặt bên nêu ở trên.
Ví dụ 11:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC . Các mặt
bên (SAC), (SAB) tạo với mặt đáy cùng một góc.Chứng minh rằng chân đường cao xuất phát từ
đỉnh S của hình chóp S.ABC thuộc AI.
Bài giải
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 7/10
B
F
C
A
S H

⊥ ⊥
.
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
' , 'A E AB A F AD
⊥ ⊥
.
Hai tam giác vuông A’AE,A’AF bằng nhau ( do AA’
chung , ). Từ đó suy ra HE = HF nên
suy ra H thuộc đường phân giác của góc .
Vì ABCD là hình thoi nên H thuộc AC.
• Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’
+ 60
0
, AA’ = a nên là nữa tam
giác đều cạnh a do đó ta có
Tam giác HAE vuông tại E có góc HAE bằng 30
0
nên
HE = AE.tan 30
0
=
3
6
a
Tam giác A’EH vuông tại H , theo định lý Pitago ta
có
6
'
3
a

A’H
F
E
B’
D’

C’
C’3
' ' ' '
2
' . ( )
2
ABCDA B C D ABCD
a
V A H S dvtt
= =
PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc 60
o
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

2
57
a
8
.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b. Tính d (A,(SBC))
Bài 9 :Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy
(ABCD), mặt bên (SCD) hợp với đáy (ABCD) một góc 60
0
.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 10 :Cho tứ diện A.BCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác cân tại D , ABC)
⊥
(BCD) , AD = a và hợp với (BCD) một góc 60
o
.Tính thể tích tứ diện A.BCD.
Bài 11 :Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy
(ABCD ) .Góc giữa SC và đáy bằng
60
ο
và M là trung điểm của SB.Tính thể tích của khối chóp
M.ABCD.
Bài 12 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB =BC =
a , AD = 2a . SA vuông góc (ABCD ) , góc giữa SC và mặt đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 13 : Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4 cm và diện tích tam giác
A’BC bằng 8 cm
2

0
60
, BB’
= a .Cạnh bên BB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc
0
60
.Hình chiếu vuông góc của B’ trên
(ABC) là trọng tâm tam giác ABC.
1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . 2/ Tính thể tích khối tứ diện A’ABC .
Bài 19 ( đề thi đại học khối A-2008)
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC =
3a
, AA’
= 2a.Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
1. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC .
2.
Tính cosin góc giữa 2 đường AA’ và B’C’.
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 10/10