Một số cách xác định công thức tổng quát
của một số dạng dãy số cơ bản

Kết quả 1: Dãy có số hạng tổng quát là

Cm: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
*n=1 ta thấy (1) đúng
*Giả sử ta cm
Thậy vậy: đpcm
Kết quả 2:Với dãy được xác định bởi : , biết

Ta xét phương trình đặc trưng: (*)
-Nếu (*) có hai nghiệm thì:
-Nếu (*) có nghiệm kép thì :
Kết quả 3: Với dãy được xác định bởi
: , biết
Ta xét phương trình đặc trưng: (**)
-Nếu (**) có ba nghiệm thì:
-Nếu (**) có 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép thì: thì:

-Nếu (**) có nghiệm bội ba thì:
Kết quả 4: Với dãy được xác định:
Cách 1: Đưa vào tham số phụ . Nhân vào pt thứ hai với và cộng hai
pt vào ta được
Tiếp theo ta xác định sao cho .Nếu hai pt này có
nghiệm khi đó ta có
Từ đây chúng ta xác định được cttq của các dãy đã cho
Cách 2: ta có: ta
dễ dạng tìm được cttq của dãy theo kết quả 2
Kết quả 5:Với dãy số : với mọi n 1. Đối với dạng
này ta có hai cách làm như sau:


Suy ra đpcm
Ví dụ 3: Cho dãy
a) Tính
b) Tìm phần nguyên:
Lời giải:
Ta có:
Đặt . Ta có
Áp dụng kết quả 1 ta có:
a) Theo trên ta có:
b) Ta có:
Mặt khác:
Ví dụ 4:Cho hai dãy được xác định như sau:
. Tìm
công thức tổng quát của hai dãy
Lời giải:
Ta có: . ta chọn sao
cho:
Do đó ta có hệ: Suy ra:

Ví dụ 5: Cho dãy với mọi
n>=2. Cmr
Lời giải: Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh
có là được
Dãy số đã cho gần giống với dạng ở kết quả 2, nhưng vì có hệ số tự do 1975
nên ta chưa áp dụng được kết quả 2.Chúng ta có thể chuyển về dạng ở kết
quả 1 bằng cách đặt . Khi đó

Các bài tập
1) Cho dãy được xác định bởi . Xác định công thức
tổng quát của dãy ?
2) Cho dãy số . Cmr:
là số chính phương
3) Cho dãy
a) Xác định công thức tổng quát của dãy
b)Đặt . Tìm để dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó
4)Cho hai dãy được xác định như sau:
. Cmr:
5) Cho dãy
a) Tìm số nguyên dương h bé nhất để: với mọi n
b) Cmr tồn tại ít nhất một số của dãy chia hết cho 1996