Đề tài

Một số phương pháp xác định công
thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 1 -
MỤC LỤC

MỤC LỤC 1
LỜI MỞ ĐẦU 2
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. 3
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23
III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 28
IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ 32
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 32
BÀI TậP ÁP DụNG 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47


quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số.
Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản
thân đúc rút được trong qua trình học tập.
Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :
I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng công thức truy hồi đặc biệt.
II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số
III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số
IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến
phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho
các em học sinh.
Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt
hơn.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 3 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.

: gọi số hạng đầu,
n
u
gọi là số hạng tổng quát của cấp số
Định lí 1: Cho CSC
( )
n
u
. Ta có :
1
( 1)
n
u u n d
= + - (1).
Định lí 2: Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu của CSC
( )
n
u
có công sai d. Ta có:

1
S [2 ( 1) ]
2
n
n
u n d
= + -

n
S
là tổng n số hạng đầu của CSN
( )
n
u
có công bội q . Ta có:
1
1 -
1 -
n
n
q
S u
q
=
(4).

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 4 -
2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số
( )

1 1
3, 2 2
n n
u u u n
-
= = " ³
.
Giải:
Ta thấy dãy
( )
n
u
là một CSN có công bội
2
q
=
. Ta có:
1
3.2
n
n
u
-
=
.
Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy
( )
n
u
được xác định bởi:

,
k l
là
các hằng số và
0
k
¹
( ta sẽ chọn
,
k l
sau).
Khi đó, ta có:
1
2 1
. 3 . 3 1 3
n n n n
l
k v l k v l v v
k
-
-
+ = + - Û = +
.
Ta chọn
2 1 1
, : 0
2
l
k l l
k

ì
=
ï
Þ
í
= -
ï
î
. Dễ thấy dãy
( )
n
v
là CSN với công bội
3
q
=

1 1
1
5
. .3
2
n n
n
v v q
- -
Þ = = -
. Suy ra:
1
1 5.3 1

CTTQ là:
1
1
1
1
( 1) khi 1

1
. khi a 1
1
n
n
n
u n b a
u
a
u a b
a
-
-
ì
+ - =
ï
=
í
-
+ ¹
ï
î -
.

là các hằng số
0
k
¹
. Khi đó ta có:
1 1
3 2
( 1) 2 2 2 3 2 2 .
n n n n
t l t
kv t n l kv tn l n v v n
k k
+ +
+ - +
+ + + = + + + + Û = + +
.
Ta chọn
, ,
k t l
sao cho:
3
3
0
1
2
0
0
t
t
k

( ) : 6.2 3.2
2
n n
n n
n n
v
v v
v v
-
-
ì
=
ï
Þ Þ = =
í
=
ï
î
. Vậy
3 1 3.2 3 1
n
n n
u v n n
= - - = - -
.
Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào
k
, nên khi đặt ta có thể chọn
1
k

1
2 1
.
n n
t
v v n
k k
+
-
= + +
dẫn đến ta không thể làm mất
n
được.
Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho
dưới dạng sau
1
2 1
n n
u u n
-
- = +
. Từ đây ta có:
1 1 2 2 1 1
( ) ( ) ( )
n n n n n
u u u u u u u u
- - -
= - + - + + - +

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

u v an bn c
= + + +
. Khi đó, ta có:
2 2
1
( 1) ( 1) 2 1
n n
v an bn c v a n b n c n
-
+ + + = + - + - + + +

1
2(1 ) 1
n n
v v a n a b
-
Û = + - + - +
.
Ta chọn
1 0 1
1 0 2
a a
a b b
ì ì
- = =
ï ï
Û
í í
- + = =
ï ï

Vậy
2 2
2 2 1
n n
u v n n n n
= + + = + -
.
Vì
c
bất kì nên ta chỉ cần đặt
2
( )
n n n
u v an bn v n an b
= + + = + +Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của
dãy
( )
n
u
được xác định bởi:
1 0
1
. ( )
n n
u x
u a u f n
-

là một đa thức theo
n
bậc
k
, thay vào
công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn
( ) :
g n
( ) ( 1) ( 1) ( )
ng n n g n f n
- - - =
ta có được
dãy
(
)
n
v
là CSN với công bội
1
q
=
từ đó ta tìm được CTTQ của dãy
(
)
n
v
suy ra ta có
CTTQ của dãy
( )
n

là CSN với công bội
q a
=
từ đó ta tìm được CTTQ của dãy
(
)
n
v
. Suy ra ta có
CTTQ của dãy
( )
n
u
.

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 7 -
Ví dụ 1.6: Cho dãy số
1
1
1
( ) :
3 2 ; 2, 3,
n
n
n n
u
u
u u n
-

+ = + + Û = + +

Ta chọn
1 1
1 1
2 3 .3 5.3
n n
n n
a v v v
- -
-
= - Þ = = =

Vậy
1 1
5.3 2
n n
n
u
- +
= - .
Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy
1
( ) : . .
n
n n n
u u a u b
a
-
= +

ë û
. Do đó, nếu
a
a
¹
, ta chọn
b
y
a
a
a
=
-

1
1 1
. .
n
n n n
x a x x x a
-
-
Þ = Þ =
2
1
1
( ) .
n n
n
b b

1
( 1)
n n
n
u b n a u a
-
Þ = - +
. Vậy ta có kết quả sau.
Dạng 3: Cho dãy
1
1
( ) :
. . 2
n
n
n n
u p
u
u a u b n
a
-
ì
=
ï
í
= + " ³
ï
î
. Khi đó ta có:


¹ Þ = - +
- -
.
Chú ý : Trong trường hợp
a
a
=
ta có thể tìm CTTQ của dãy
( )
n
u
như sau:
Đặt
. .
n
n n
u x y n a
= +
. Khi đó ta có:
1
1
. . . ( 1). .
n n n
n n
x y n a x ay n a b a
a
-
-
+ = + - +


5 2.3 6.7 12 ; 2, 3,
n n
n
n n
u
u
u u n
-
ỡ
= -
ù
ớ
= + - + =
ù
ợ
.

Gii: t .3 .7
n n
n n
u v a b c
= + + +
. Khi ú , ta cú:
1 1
1
.3 .7 5( .3 .7 ) 2.3 6.7 12
n n n n n n
n n
v a b c v a b c
- -

1 1
1 1
5 .5 157.5
n n
n n n
v v v v
- -
-
= ị = =

Vy
1 1 1 1 1
3 3.7 3 157.5 3 3.7 3
n n n n n
n n
u v
+ + - + +
= - - - = - - -
.
Qua vớ d trờn ta cú kt qu sau:

Dng 4: tỡm CTTQ ca dóy s
1
1
( ) :
. . . ; 2
n n
n
n n
u p

2
1 1
0
( )
n
n n i n i
i
u u u u
-
- - -
=
ị = + -
ồ2 2 2
1 1
0 0 0
( . . ) .( 1)
n n n
n i n i n i n i
i i i
u b c d u b c d n
a b a b
- - -
- - - -
= = =
= + + + = + + + -
ồ ồ ồ


= + + +

Ta cú:
1 1
1
. ( ) ( ) ( 1)
n n
n n
v a v ax x b by y c z a d
a a a b b b
- -
-
= + - + + - + + - +

Ta chn :
; ;
1
b c d
x y z
a b a
a b
a b
= = =
- - -
.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 9 -
Khi đó:
2 2
1 1

a b a b
-
æ ö
= - - - + + +
ç ÷
ç ÷
- - - - - -
è ø
.

Chú ý : Nếu
a
a
=
hoặc
a
b
=
thì khi đặt
n
u
theo
n
v
thì ta nhân thêm
n
vào trước
n
a


n
u
ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3
Đặt .3
n
n n
u v a bn c
= + + +
.
Ta có:
(
)
1
1
.3 2 .3 ( 1) 3
n n n
n n
v a bn c v a b n c n
-
-
+ + + = + + - + + -

1
1
2 ( 1)3 ( 1) 2
n
n n
v v a b n b c
-
-

( ) :
. . ( ); 2
n
n
n n
u p
u
u a u b f n n
a
-
ì
=
ï
í
= + + " ³
ï
î
, trong đó
( )
f n
là đa
thức theo
n
bậc
k
ta tìm CTTQ của dãy như sau:
* Nếu
1
a
¹

a
=
thì ta tìm được
n
u
theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 10 -
Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy
0 1 1 1
( ) : 1, 3, 5 6 1.
n n n n
u u u u u u n
+ -
= - = = - " ³Giải:
Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau:
1 1
2 3( 2 )
n n n n
u u u u
+ -
- = -
(1)
Đặt
1 1

.
Sử dụng kết quả 2, ta có:
5.3 6.2
n n
n
u = -
.
Trong lời giải trên ta đã phân tích
5 2 3
= +
và
6 2.3
=
để viết lại công thức truy hồi
như (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ
( )
n
v
là một CSN. Các hệ số xuất hiện trong công
thức truy hồi là
5;6
nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng quát ta
có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tích như thế
nào ?. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.10: Cho dãy số
(
)
n
u

x y
x y
xy
ì
+ =
ï
Û
í
= -
ï
î
là nghiệm PT:
2
4 1 0
X X
- - =

2 5
X
Û = ±
, ta chọn
2 5; 2 5
x y
= + = -
.
Ta có:
1 1 1 1
( ) . ( )
n n n n n n n
u x y u xyu u x u y u xu

. Áp dụng kết quả 3, ta có:
2 2 1
(2 5) (2 5)
2
n n n n
n
y x
u x y
y x y x
- -
é ù
= + = + + -
ë û
- -
.

Ví dụ 1.11: Cho
, ,
a b c
là các số thực khác không và dãy
( )
n
u
được xác định bởi
0 1
1 1
;
. .
n n n
u p u q

x y a
x y
xy b
ỡ
+ =
ù
ị
ớ
= -
ù
ợ
l nghim PT:
2
0
X aX b
- - =
(1).
Gi s tn ti ti
,
x y
, tc l phng trỡnh (1) cú nghim.
t
1
.
n n n
v u x u
-
= -
. Ta cú:
1

.

ã
Nu (1) cú hai nghim phõn bit, hay
x y
ạ
. p dng kt qu 2, ta cú:
n n
n
yp q q xp
u x y
y x y x
- -
= +
- -
.

ã
Ta xột trng hp cũn li: (1) cú nghim kộp
2
a
x y
ị = =
.
1
1
( )( )
2 2 2
n
n n

v dóy
( )
n
u
c xỏc nh
bi:
0 1
1 1
;
. .
n n n
u p u q
u a u b u
+ -
ỡ
= =
ù
ớ
= +
ù
ợ
. Khi ú:

ã
Nu
2
4 0
a b
- >
thỡ

2 2 2
n
n
a pa ap
u q n
-
ổ ử ộ ự
= + -
ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ở ỷ
.
Phng trỡnh (1) gi l phng trỡnh c trng ca dóy.
Chỳ ý : xỏc nh CTTQ ca dóy
( )
n
u
núi trờn ta cú th trỡnh by nh sau
Xột phng trỡnh c trng (1)

ã
Nu (1) cú hai nghim phõn bit
1 2
,
X X
thỡ
1 2
. .
n n
n

ta tìm
được
,
p q
.

Ví dụ 1.12: Cho dãy
0 1
2
1 2
1; 3
( ) :
5 6 2 2 1; 2
n
n n n
u u
u
u u u n n n
- -
ì
= - =
ï
í
- + = + + " ³
ï
î
. Xác định
CTTQ của dãy
( )
n

- + = = -
î î
. Khi đó:
0 1
1 2
12; 23
( ) :
5 6 0
n
n n n
x x
x
x x x
- -
ì
= =
ï
í
- + =
ï
î
. Áp dụng kết quả 3, ta có:
2
13.2 3 13.2 3 8 13
n n n n
n n
x u n n
= - Þ = - + - -
.


).

Giải:
Đặt
( )
n n
u x g n
= +
với
( )
g n
là một đa thức theo
n
. Thay vào công thức truy hỗi của
dãy ta được:
1 2
. . . . ( ) . ( 1) ( 2) ( )
n n n
a x b x c x a g n b g n cg n f n
- -
+ + + + - + - =

Ta chọn
( ) : . ( ) ( 1) ( 2) ( )
g n a g n bg n cg n f n
+ - + - =
(*).
Khi đó:
1 2
. . 0

và
1
k
x
-
trong VP là:
.( )
k
k
a a b c x
+ +
và
1
1
( 2 ) . ( )
k
k k
b c k a a b c a x
-
-
é ù
- + + + +
ë û
.Do đó :
Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 13 -
* Nu PT:
2
0
aX bX c

.
* Nu PT (1) cú nghim kộp
1
x
=

0
a b c
ị + + =
v
1
1
( 2 ) . ( )
k
k k
b c k a a b c a x
-
-
ộ ự
- + + + +
ở ỷ
nờn VT(*) l mt a thc bc
2
k
-
.
Vy chn
( )
g n
ta cn chỳ ý nh sau:

1 1
;
( ) :
. . . ( ) ; 2
n
n n n
u p u q
u
a u b u c u f n n
+ -
ỡ
= =
ù
ớ
+ + = "
ù
ợ
,
( trong ú
( )
f n
l a thc theo
n
bc
k
v
2
4 0
b ac
-

=
1
xã
Khi xỏc nh c
( )
g n
ta t
= +
( )
n n
u x g n
, ta cú dóy
( )
n
x
c xỏc nh bi:
+
ỡ
= - = -
ù
ớ
+ + = "
ù
ợ
0 1 1
1
(0); x (1)

ù
ớ
- + = "
ù
ợ
.
Gii: t
.2
n
n n
u x y
= +
. Khi thay vo cụng thc truy hi ta khụng lm mt
5.2
n
VT
Ta s i tỡm cỏch gii khỏc cho bi toỏn ny
Ta vit cụng thc truy hi ca dóy nh sau:
1 1 2
( 2 ) 3( 2 ) 5.2
n
n n n n
u u u u
- - -
- - - =

t
1 1
2 3 5.2
n

-
-
= + - - +
. Ta chọn
25, 10
a b
= = -

1
0
.2 26.2 25.3 (5 13).2
n n n n
n n
v v u n
+
Þ = = - Þ = - +
.

Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác
như sau:
Đặt
.2
n
n n
u x yn
= +
, ta có:
1
1 2
5 6 .2 5.2

. Áp dụng kết quả 4, ta có:
1
26.2 25.3 25.3 (5 13).2
n n n n
n n
x u n
+
= - + Þ = - +
.
Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy
- -
ì
= =
ï
í
- + =
ï
î
0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 3.2
n
n
n n n
u u
u
u u u
.

1
2 3.2
n
n n
x x
. Áp dụng kết quả 2, ta có:
1
(6 5).2
n
n
x n
-
Þ = -
1
1
2 (6 5).2
n
n n
u u n
-
-
Þ - = -

1
1 1 2 1 0 0
( 2 ) 2( 2 ) 2 ( 2 ) 2 .
n n
n n n n n
u u u u u u u u
-

+
= - + = - +
ê ú
ë û
.
Lưu ý : Từ CTTQ của dãy
( )
n
u
ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau
Đặt
2
.2
n
n n
u x yn= +
. Ta có:
1 2
4 4 2 .2 3.2
n n
n n n
x x x y
- -
- + + =
. Ta chọn
3
2
y
=


Dạng 8: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi:
0 1
1 2
;
. . . ; 2
n
n n n
u u
u b u c u d n
a
- -
ì
ï
í
+ + = " ³
ï
î
. Để xác
định CTTQ của dãy
( )
n
u
ta làm như sau:

·
Nếu phương trình :

Þ
.

·
Nếu
x
a
=
là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt:
2
.
2
n
n n
d
u x n
b c
a
a
= -
+
, ta có:
1 1
. . 0
n n n
a x bx c x
+ -
+ + =
.Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được
n n

.Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được
n n
x u
Þ
.

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau
Dạng 9: Cho dãy
( ):
n
u
1 2 3
2 1 1
, ,
0 2
n n n n
u x u y u z
au bu cu du n
+ + -
ì
= = =
ï
í
+ + + = " ³
ï
î
.Để xác định CTTQ
của dãy ta xét phương trình:
3 2
0

a b g
= ¹ Þ = + +

Dựa vào
0 1 2
, ,
u u u
ta tìm được
, ,
a b g
.

·
Nếu (1) có nghiệm bội 3
2
1 2 3 1
( )
n
n
x x x u n n x
a b g
= = Þ = + +
. Dựa vào
0 1 2
, ,
u u u

ta tìm được
, ,
a b g

Phương trình có 3 nghiệm thực:
1 2 3
1, 5
x x x
= = =

Vậy
5
n
n
a n
a b g
= + +

Cho
1, 2, 3
n n n
= = =
và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
1 3 1
, ,
16 4 16
a b g
= - = =

Vậy
( )
1
1 3 1
1 .5

Giải:
Ta có:
1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2( 2 )
n n n n n n n n
u u u v u u u u
- - - - - - -
= + + = + + -
1 2
4 3
n n n
u u u
- -
Þ = -
và
1
5
u
=

Áp dụng kết quả 4, ta có:
1 1
1
1 3 1 3
2
2 2
n n
n n n n
u v u u
+ +

x y
ta làm như sau:
Ta biến đổi được:
1 1
( ) ( ) 0
n n n
x p s x ps qr x
+ -
- + + - =
theo kết quả 4 ta xác định được
n
x
, từ đây thay vào hệ đã cho ta có được
n
y
.
Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 -
Ta đưa vào các tham số phụ
l
,
'
l
1 1
1 1
( )( )
'
' ( ' )( )
'


Ta chọn
l
,
'
l
sao cho
1 1
1 1
( )( )
' ' ( ' )( ' )
'
'
n n n n
n n n n
q r
x y p s x y
s p
q r x y p s x y
s p
l
l
l l l
l
l l l l
l
l
+ +
+ +
ì

+ +
+ +
ì
- = - -
ï
í
+ = + +
ï
î
giải hệ này ta tìm được
(
)
(
)
,
n n
x y
.

Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy
1
1
1
1
( ) : 2
2
3 4
n n
n
n

= = + . Đặt
1
n
n
x
u
= , ta có:
1
1
1
3
2
2
n n
x
x x
-
ì
=
ï
í
= +
ï
î
. Áp dụng kết quả 1, ta được:
1
1
5.2 3 2
2
5.2 3

- -
í
= " ³
ï
+
î
.
Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,
do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng
cách đặt
n n
u x a
= +
. Thay vào công thức truy hồi, ta có:
2
1 1
1 1
9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 24
5 5 13 5 5 13
n n
n n
n n
x a a x a a
x a x
x a x a
- -
- -
- - - - - - - -
+ = Þ =
+ + + +

-
Þ = Þ = + Þ = Þ =
+
-

1
1
22.3 24
2
11.3 10
n
n n
n
u x
-
-
- +
Þ = - =
-
.
Dạng 11: Cho dãy (x
n
):
1
1
1
; 2
n
n
n

+ + - - + - +
= - =
+ + + +
(1).
Ta chọn
2
: ( ) 0
t rt s p t q
+ - - =
. Khi đó ta chuyển (1) về dạng:
1
1 1
n n
a b
x x
-
= +

Áp dụng kết quả 1, ta tìm được
1
n
x
, từ đó suy ra
n n
x u
Þ
.

Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số
1

= +
ï
" ³
í
=
ï
î
.

Giải:
Ta có:
2 2
2
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
2 ( 2 )
2 2 2
2 ( 2 )
n n n
n n n n
n n n
n n n n
u u v
u v u v
v u v
u v u v

u v u v
- -
- -
ì
+ = + = +
ï
Þ
í
ï
- = - = -
î

1 1
1 1
2 2
2 2
1
(2 2) (2 2)
2
1
(2 2) (2 2)
2 2
n n
n n
n
n
u
v
- -
- -

1
2
2
2
2
2
2
n
n
n n n
n n n
n n n
n n n
n
n
u
v
u u v
u u v
v u v
v u v
u
v
-
-
- -
- -
- -
- -
-

1
1
2
( ) :
2
2
n
n
n
n
x
x
x
x
x
-
-
ỡ
=
ù
+
ớ
=
ù
ợ
. Ta cú bi toỏn sau:
Vớ d 1.22: Xỏc nh CTTQ ca dóy s
1
2
1

1
2
( ),( ) :
1
n n
u
u v
v
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
v
2 2
1 1
1 1
2
2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
- -
- -
ỡ

ã
Gi s
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2
(*)
2 2
n n n n n
n n
n n n n n
u x u v u
x x
v x u v v
- - - -
-
- - - -
+ +
= ị = = = ị c chng minh
Theo kt qu bi toỏn trờn, ta cú:
1 1
1 1
2 2
2 2
(2 2) (2 2)
2
(2 2) (2 2)
n n
n n

ỡ
= + =
ù
ớ
= =
ù
ợ
(trong ú
a
l s thc dng) nh sau:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 20 -
Ta có:
2 2
2
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1
.
( ( )
. 2 .
( ( )
n n n
n n n n
n n n
n n n n
u u a v
u au u au

n n
n
n
u a a
v a a
a
a b a b
a b a b
- -
- -
ì
é ù
= + + -
ï
ê ú
ï
ë û
Þ
í
é ù
ï
= + - -
ê ú
ë û
ï
î
.
2)
Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy
1

. ;
( ),( ) :
2 ; 1
n n n
n n
n n n
u u a v u
u v
v v u v
a
- -
- -
ì
= + =
ï
í
= =
ï
î

Khi đó:
1 1
1 1
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
n

=
ï
í
= + - " ³
ï
î
. Tìm
n
u
?

Giải:
Ta có:
2 3 4
9; 89; 881
u u u
= = =
. Giả sử:
1 2
n n n
u xu yu
- -
= +

9 89 10
89 9 881 1
x y x
x y y
ì ì
+ = =

n n n n
u u u u
- -
Û - + + =

(1)
thay
n
bởi
1
n
-
, ta được:
2 2
2 2 1 1
10 8 0
n n n n
u u u u
- - - -
- + - =

(2)
.
Từ
2
(1),(2) ,
n n
u u
-
Þ

- +
= - + +
.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 21 -
Dạng 13:
1)
Dãy
1
2
1 1
1
( ) :
5 8 2
n
n n n
u
u
u u au n
- -
ì
=
ï
í
= + - " ³
ï
î
là dãy nguyên
24
a

kết hợp với
( )
f t
là số chẵn ta suy ra
2
5
m t t x
= + +
với
{
}
6,8,10,12
x Î . Thử trực tiếp ta thấy
4 24
t a
= Þ =
.
2)
Với dãy số
1
2
1 1
( ) :
2
n
n n n
u
u
u au bu c n
a

, ta có:
2 2
2 1 2 1
2 0
n n n n
u au u u c
- - - -
- + - =
2 1
2
n n n
u u au
- -
Þ + =
.
3)
Với dãy
1
1
2
1
( ) :
2
n
n
n
n
u
u
u

1
1
n n
n
a b
c
u u
u
-
-
= + + . Đặt
1
n
n
x
u
=
Ta có
2
1 1
n n n
u au bx c
- -
= + +
đây là dãy mà ta đã xét ở trên. Ví dụ 1.24: Cho dãy
1 2
2

Giải:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 22 -
Ta có:
3 4 5
3; 11; 41
u u u
= = =
. Ta giả sử
1 2
n n n
u xu yu z
- -
= + +
.Từ
3 4
3; 11;
u u
= =

5
41
u
=
ta có hệ phương trình:
1 2
3 4
3 11 1 4
11 3 41 0
n n n

ï
î·
Với
3 2 1
3 4 3 3
n u u u n
= Þ = - = Þ =
đúng

·
Giả sử
1 2
4
k k k
u u u
- -
= -
. Ta có:
( )
2
2 2 2
1 2
1 1 2 2
1
1 1 1
4 2
2 16 8 2

-
- +
= = - +

1 2 2 3 1
4(4 ) (4 ) 4
k k k k k k
u u u u u u
- - - - -
= - - - = -

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm
(
)
(
)
1 1
3 1 3 1
2 3 2 3
2 3 2 3
n n
n
u
- -
+ -
Þ = - + +
.

2
2 1 2
n
n n
u
u
u u n
-
ì
=
ï
í
ï
= - " ³
î
. Xác định CTTQ của dãy
( )
n
u
.
Giải:
Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin
Ta có:
2
1 2
1 2
cos 2 cos 1 cos
2 3 3 3
u u
p p p

3 3
n u
p p
-
= Þ = =
(đúng)

·
Giả sử
2 1 1
2 2
1 1
2 2 2
cos 2 1 2 cos 1 cos
3 3 3
n n n
n n n
u u u
p p p
- - -
- -
= Þ = - = - =

Vậy
1
2
cos
3
n
n

2
u a
a
= +
( trong đó
0
a
¹
và cùng dấu với
1
u
).
Khi đó
2 2 4
2 3
2 2 4
1 1 1 1 1 1
( 2 ) 1 ( ) ( )
2 2 2
u a a u a
a a a
= + + - = + Þ = +
Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 24 -
Ta chng minh c
1
1
2
2
1 1

1
1 1
2
n n
n
u u u u u
- -
ộ ự
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
= - - + + -
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.

Vớ d 2.2: Xỏc nh CTTQ ca dóy s
1
3
1 1
3
( ) :
2
4 3 2
n
n n n
u
u
u u u n

-
=
.
Nhn xột:
1)
tỡm CTTQ ca dóy
1
3
1 1
( ) :
4 3 2
n
n n n
u p
u
u u u n
- -
ỡ
=
ù
ớ
= - "
ù
ợ
, ta lm nh sau

ã
Nu
| | 1 0; : cos
p p

ố ứ
(
a
cựng du vi
1
u
)
Bng quy np ta chng minh c
1
1
3
3
1 1
2
n
n
n
u a
a
-
-
ổ ử
= +
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
Hay
1 1
3 3