Một số cách xác định công thức tổng quát
của một số dạng dãy số cơ bản
Kết quả 1:Dãy có số hạng tổng quát là
Cm: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
*n=1 ta thấy (1) đúng
*Giả sử ta cm
Thậy vậy: đpcm
Kết quả 2:Với dãy được xác định bởi : , biết
Ta xét phương trình đặc trưng: (*)
-Nếu (*) có hai nghiệm thì:
-Nếu (*) có nghiệm kép thì :
Kết quả 3: Với dãy được xác định bởi : , biết
Ta xét phương trình đặc trưng: (**)
-Nếu (**) có ba nghiệm thì:
-Nếu (**) có 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép thì: thì:
-Nếu (**) có nghiệm bội ba thì:
Kết quả 4: Với dãy được xác định:
Cách 1: Đưa vào tham số phụ . Nhân vào pt thứ hai với và cộng hai pt vào ta được
Tiếp theo ta xác định sao cho .Nếu hai pt này có nghiệm khi đó ta có
Từ đây chúng ta xác định được cttq của các dãy đã cho
Cách 2: ta có: ta dễ
dạng tìm được cttq của dãy theo kết quả 2
Kết quả 5:Với dãy số : với mọi n 1. Đối với dạng này ta có hai cách
làm như sau:
Cách 1: Xét hai dãy số được xác định như sau: ;
Theo kết quả 4 ta xác định được dãy và khi đó dãy :
Cách 2:Ta đưa vào các tham số x,y như sau:
Tiếp theo ta xác định x,y sao cho:
. Khi đó ta có: . Đặt . Ta được
. theo kết quả 1 ta xác định được dãy nên ta tìm được
Sau đây là các ví dụ:

công thức tổng quát của hai dãy
Lời giải:
Ta có: . ta chọn sao cho:
Do đó ta có hệ:
Suy ra:
Ví dụ 5: Cho dãy với mọi n>=2. Cmr
Lời giải: Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh có
là được
Dãy số đã cho gần giống với dạng ở kết quả 2, nhưng vì có hệ số tự do 1975 nên ta chưa áp dụng được kết
quả 2.Chúng ta có thể chuyển về dạng ở kết quả 1 bằng cách đặt . Khi đó
, đến đây ta
chọn a,b sao cho 22a-8b=0, chọn a=4, b=11
Suy ra
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm x=-1 và x=-5 nên
dựa vào ta xác định được . Do đó
suy ra
Do 1997 là số nguyên tố nên theo định lí nhỏ Féc ma ta có:
(vì (4;1997)=1) đpcm
Chú ý: Theo chứng minh ở trên ta có bài toán tổng quát hơn là :Cmr với mọi số nguyên tố p
Ví dụ 6: Cho hai dãy được xác định như sau: và
. Tìm tất cả các số nguyên
tố p sao cho : không chia hết cho p
Lời giải:
Ta có:
Mặt khác: . Đặt
Đặt ta có: . Áp dụng kết quả 1 ta có được . Thay vào (1) ta
có:
*p=2 không thỏa mãn
*p=3 không chia hết cho 3, suy ra p=3 thỏa mãn
*p=5 thỏa mãn