đặt vấn đề
Trong chơng trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là
một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thờng phải đối
mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong
vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số
lớp bài toán khi đã xác định đợc công thức tổng quát của dãy số thì nội dung
của bài toán gần nh đợc giải quyết
Để đáp ứng đợc một phần đề tài Xác định công thức tổng quát của
dãy số và kết hợp với sự tiếp cận Lý thuyết phơng trình sai phân qua
một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã đợc học
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phơng pháp cơ bản xác
định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán .
Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là
học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo
Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của
Lý thuyết phơng trình sai phân . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng
kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trờng hợp đặc biệt và giới
hạn trong trờng số thực .
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát
của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, ng-
ời đọc có thể trang bị thêm cho mình phơng pháp xác định công thức tổng
quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng
cho mình một lớp các bài toán về dãy số đợc trình bày trong đề tài
1
Một số phơng pháp xác định công thức
tổng quát của dãy số và xây dựng bài
toán về dãy số
A. Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp một
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng
*
1 1

*
n N
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
. 0a b

+ =
để tìm

Khi đó
n
n
u q

=
(q là
hằng số ) , trong đó q đợc xác định khi biết
1
u

=
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu
tiên bằng 1 và công bội bằng 2
Bài giải Ta có
1 1
2 , 1
n n
u u u
+
= =

*
1 1
, ,
n n n
u au bu f n N

+
= + =
(2 .1)
trong đó
n
f
là đa thức theo n
2
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
. 0a b

+ =
ta tìm đợc

Ta có
0 *
n n n
u u u= +

Trong đó
0
n
u

2) Nếu
1

=
thì
*
.
n n
u n g=
với
n
g
là đa thức cùng bậc với
n
f
Thay
*
n
u
vào phơng trình, đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của
*
n
u
Bài toán 2: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
2; 2 ,

(2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau
3 2 1
5 4 1
a b a
a b b
+ = =



+ = =

Do đó
( )
1
n
u n n=
Ta có
( )
0 *
1
n n n
u u u c n n= + = +
Vì
1
2u =
nên
( )
2 1 1 1 2c c= + =
Vậy


Ta có
0 *
n n n
u u u= +

Trong đó
0
.
n
n
u c

=
, c là hằng số cha đợc xác định ,
*
n
u
đợc xác định nh sau :
1) Nếu
#
à
thì
*
.
n
n
u A
à
=

thoả mãn điều kiện
*
1 1
1; 3. 2 ,
n
n n
u u u n N
+
= = +
(3.2)
Bài giải Phơng trình đặc trng 3 0

= có nghiệm
3

=
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
trong đó
0 *
.3 , .2
n n
n n
u c u a= =
Thay
*
.2
n

u
thoả mãn điều kiện
*
1 1 1 2
, . ,
n n n n
u a u bu f f n N

+
= + = +
(4.1)
Trong đó
1n
f
là đa thức theo n và
2
.
n
n
f v
à
=
Phơng pháp giải
Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +
Trong đó
0
n

a u b u f
+
+ =
Bài toán 4: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
2 *
1 1
1; 2 3.2 ,
n
n n
u u u n n N
+
= = + +
(4.2)
4
Bài giải Phơng trình đặc trng
2 0

=
có nghiệm
2

=
Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +
trong đó

= = = = + + = =

Vậy
* 2
1
2 3
n
u n n=
thay
*
2n
u
vào phơng trình
1
2. 3.2
n
n n
u u
+
= +
Ta đợc
( ) ( )
1
3

1 2 2 3 0c c= + =
Vậy
1 2
3 .2 2 3
n
n
u n n n

=
B. Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng
*
1 2 1 1
, , . . ,
n n n n
u u a u bu c u f n N

+
= = + + =
trong đó a,b,c,

,

là các hằng số , a # 0 và
n
f
là biểu thức của n cho trớc
(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn
có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong
trờng số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

. .
n n
n
u A B

= +
, trong
đó A và B đợc xác định khi biết
1 2
,u u

2) Nếu
1 2
,

là hai nghiệm kép
1 2

= =
thì
( )
.
n
n
u A Bn

= +
, trong
đó A và B đợc xác định khi biết
1 2

0
1
1
1
3
1 .4 16
u A
A
B
u B
= =

=




=
= + =



Vậy
( )
1 3 .4
n
n
u n= +
Dạng 2
Tìm

n
u
là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất
1 1
. . . 0
n n n
a u b u c u
+
+ + =
và
*
n
u
là một nghiệm tuỳ ý của phơng trình
1 1
. . .
n n n n
a u b u c u f
+
+ + =
6
Theo dạng 1 ta tìm đợc
0
n
u
, trong đó hệ số A, B cha đợc xác định ,
*
n
u
đợc xác

n n n
u n g g=
là đa thức cùng bậc với
n
f
,
Thay
*
n
u
vào phơng trình , đồng nhất các hệ số, tính đợc các hệ số của
*
n
u
. Biết
1 2
,u u
từ hệ thức
0 *
n n n
u u u= +
tính đợc A, B
Bài toán 6: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
1; 0, 2 1, 2
n n n
u u u u u n n

2
1 1 2 . 1 1 1n a n b n a n b n a n b n+ + + + + + = +


Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
4 2 2 2
6
1
9 3 8 2 3
2
a
a b a b
a b a b a b
b

=

+ + =




+ + + + =



=

11
1 1
2 4 0
3
3 2
A B
A
B
A B

+ + + =
=





=

+ + + =

ữ



Vậy
2
11 1
4
3 6 2

0 *
,
n n n
u u u= +
trong đó
0
n
u
đợc xác định nh dạng 1 và hệ số A và B cha đợc xác
định,
*
n
u
đợc xác định nh sau
1) Nếu
#
à
thì
*
.
n
n
u k
à
=
2) Nếu
à
=
là nghiệm đơn thì
*

Bài toán 7: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
0; 0, 2 3.2 , 2
n
n n n
u u u u u n
+
= = + =
Bài giải Phơng trình đặc trng
2
2 1 0

+ =
có nghiệm kép 1

= Ta có
0 *
1n n n
u u u= +
trong đó
( )
0 *
. .1 , .2
n n
n n
u A B n A Bn u k= + = + =


1, 0u u= =
vào phơng trình ta thu đợc
1 12 2
0 2 24 13
A B A
A B B
= + + =



= + + =

Vậy
1
2 13 3.2
n
n
u n
+
= +
Dạng 4
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
, , . , 2
n n n n n
u u au bu c u f g n


,
*
1n
u
là nghiệm riêng tùy ý của ph-
ơng trình không thuần nhất
1 1
.
n n n n
au bu c u f
+
+ + =

*
2n
u
là nghiệm riêng tùy
ý của phơng trình không thuần nhất
1 1
.
n n n n
au bu c u g
+
+ + =
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1

n n n
u A B u a bn u k= + = + =
Thay
*
1n
u
vào phơng trình
1 1
2 3
n n n
u u u n
+
=
, ta đợc
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 4 1 4 0a n b an b a n b n a n a b+ + + + = + =9
Vậy
1
4
a b= =
Do đó
( )
*
1
1
4
n

n n
n
u
+
= =
Vậy
( ) ( )
0 * * 1
1 2
1 1
1 .3 1 .2
4 3
n
n n
n n n n
u u u u A B n
+
= + + = + +
(8.3)
Ta thay
1 2
1, 0u u= =
vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình
1 4 61
3 1
2 3 48
3 8 25
9 0
4 3 48
A B A

+ +
= = = + + + =
(a.1)
trong đó a,b,c, d,

,

,

là các hằng số , a # 0 và
n
f
là biểu thức của n cho
trớc
10