MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
A. Dãy số và phương trình sai phân tuyến tính
I. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng
Cho dãy số biết điều kiện đầu (tức là biết và bội s thì ta thay
, khi đó (1) cũng có nghiệm . Khi đó, ứng với 2
nghiệm và lần lượt thay bằng biết điều kiện đầu và là nghiệm tổng quát của (1),
(tức bội s thì ta tìm nghiệm thì tìm nghiệm là nghiệm bội bậc s của phương trình
đặc trưng thì tìm nghiệm ở trên có thể dễ dàng thực hiện nhờ phương pháp hệ số bất định .
- Khi đã tìm được biết điều kiện đầu và theo rồi thế vào (3) ta được
phương trình tuyến tính tính theo
Bài tập
Tìm công thức tổng quát của dãy số sau :
1)
2)
3)
B. Dãy số dạng phi tuyến
I. Tuyến tính hoá 1 số dạng phương trình sai phân
1. Định nghĩa : Các bài toán phy tuyến và các bài toán có hệ số là hàm số của n, đôi khi có
thể đổi biến để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá.
2. Cách dự đoán dạng tuyến tính :
Giả sử phương trình sai phân là tuyến tính hoá được. Khi đó, điều
kiện cần là tồn tại các số để
Để tìm , trước hết ta tính rồi giải hệ phương trình :
1
Tiếp theo, cần kiểm nghiệm lại công thức bằng phương pháp quy nạp
3. Các dạng cơ bản (có thể tuyến tính hoá)
Các bài toán được cho dưới dạng dãy nguyên, 2 vế có cùng bậc đối với các số hạng của dãy .
Khi đó, người ta thường nghĩ đến việc tuyến tính hoá nó.
a) Căn thức :
Dạng thường gặp là :
VD: Tìm CTTQ dãy

Viết trực tiếp phương trình:
về dạng
công nhận rằng nghiệm của phương trình
này dạng:
đối vơi trường hợp nghiệm ảo,chúng ta thực hiện separate hai phần
thực ảo của dãy bằng viêc đồng nhất cho các giá trị cho trước, để suy ra giá trị các tham số
A1,A2.Với trường hợp nghiệm ảo,công thức Moivre ở trên là hữu dụng để suy ra công thức
tổng quát của dãy dưới dạng tổng của các hàm điều hoà ( sin và cos ).
Mở rộng ra 1 chút cho các bài toán dạng này,những bài như thế này còn hay gặp ở dưới hình
thức:
với dãy dương cho trước. Vậy nên làm thế nào?
Rõ ràng vì dãy dương nên ta thực hiện lấy ln cả 2 vế rồi chuyển ẩn sẽ thu được
phương trình khởi thuỷ.
Nhưng trong trường hợp vé trái của phương trình dãy số không phải là hằng số mà là 1 hàm số
theo n thì sao?
Dưói đây tôi xin trả lời 1 số dạng thường gặp:
(1) nếu a không phải là không điểm của đa thức thì có thể viết luôn:
.
Nếu a là nghiệm bội cấp 1 của đa thức P(E) thì viết lại: , tương tự nghiệm bội
cấp p của P(E) ta có:
(2) Dạng hoặc coskn rõ ràng theo công thức Moivre ta có:
còn đến đây lại quy về trường hợp đầu nhưng với
số mũ phức.
(3) Dạng thế thì trực tiep với về dạng:
rồi thực hiện như với bước ban đầu tôi đã trình bày ở trên.
Một chút làm quen với phương trình vi phân.
Rõ rang ý tưởng sử dụng định lí Viét hay phương trình đặc trưng của 1 dãy là rất hay.Chúng ta
hãy thử đêm nó áp dụng vào phương trình vi phan xem sao.
Xét phương trình dạng đơn giản ay+y’=0 . Nhân cả hai vế của phương trình trên với ta có
phương trình tương đương như sau: