Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 –
2014
1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Bối cảnh:
Năm học 2013-2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học
tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai không”; “
Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm
học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây
dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã
khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy
học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học ". Do đó
trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng
nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học,
sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học
tập cho các em.
1.2 Lý do chọn đề tài:
Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích
toán học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình
toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên quan tới nội
dung này thường là khó với các em.
Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 những năm qua, cũng
như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán
khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các bài
toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán
học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần
như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác
nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh.
Xuất phát từ các lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ”. Qua nội dung

u
gọi là dãy số tăng nếu
*
1
,
n n
u u n
+
< ∀ ∈¥
* Dãy số
( )
n
u
gọi là dãy số giảm nếu
*
1
,
n n
u u n
+
> ∀ ∈¥
Vậy: Nếu
*
1
0,
n n
u u n
+
− > ∀ ∈¥
suy ra

m
sao cho
*
,
n
u m n≥ ∀ ∈¥
thì
( )
n
u
bị chặn dưới
* Nếu dãy số
( )
n
u
bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn
c) Cấp số cộng
* Dãy số
( )
n
u
là cấp số cộng
1n n
u u d
+
⇔ = +
với
*
n∀ ∈¥
, trong đó

d) Cp s nhõn
* Dóy s
( )
n
u
l cp s nhõn
1
.
n n
u u q
+
=
vi
*
n Ơ
, trong ú
q
l s
khụng i gi l cụng bi ca cp s nhõn.
* Nu dóy s
( )
n
u
l cp s nhõn thỡ
1
1
.
n
n
u u q

- Nu
1q >
thỡ
lim
n
q = +
- Nu cỏc dóy s
*
,
n n n
a b c n Ơ
v
lim lim
n n
a c L= =
thỡ
lim
n
b L=
- Nu dóy s
( )
n
u
tng v b chn trờn thỡ
( )
n
u
cú gii hn
Nu dóy s
( )

1 1
, . . 0
n n
u a u b u

+
= + =
(1.1)
trong đó
, ,a b

cho trớc
*
n N
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
. 0a b

+ =
để tìm

Khi đó
n
n
u q

=
(q là hằng
số ) , trong đó q đợc xác định khi biết
1

2
c =
Do đó
1
2
n
n
u

=
Dạng 2
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
, ,
n n n
u au bu f n N

+
= + =
(2 .1)
trong đó
n
f
là đa thức theo n
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng

n
u
nh sau :
1) Nếu
#1

thì
*
n
u
là đa thức cùng bậc với
n
f
2) Nếu
1

=
thì
*
.
n n
u n g=
với
n
g
là đa thức cùng bậc với
n
f
Thay
*

trong đó
( )
0 *
.1 ,
n
n n
u c c u n an b= = = +
Thay
*
n
u
vào phơng trình (2.2) ta đợc
( ) ( ) ( )
1 1 2n a n b n an b n+ + + = + + (2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau
3 2 1
5 4 1
a b a
a b b
+ = =



+ = =

Do đó
( )

1 1
, . . ,
n n n
u a u bu v n N
à
+
= + =
(3.1)
trong đó
n
f
là đa thức theo n
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
. 0a b

+ =
ta tìm đợc

Ta có
0 *
n n n
u u u= +
Trong
đó
0
.
n
n
u c

*
n
u
vào phơng trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của
*
n
u
. Biết
1
,u
từ hệ thức
0 *
n n n
u u u= +
, tính đợc c
Bài toán 3: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
1; 3. 2 ,
n
n n
u u u n N
+
= = +
(3.2)
Bài giải Phơng trình đặc trng
3 0

Suy ra
2
n
n
u =
Do đó
.3 2
n
n
u c n=
vì
1
1u =
nên c=1 Vậy
3 2
n n
n
u =
Dạng 4
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1 1 2
, . ,
n n n n
u a u bu f f n N

+

,
*
n
u
là một nghiệm riêng của phơng trình không thuần
5
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
nhất
1 1
. .
n n n
a u b u f
+
+ =
,
*
2n
u
là nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình không thuần nhất
1 2
. .
n n n
a u b u f
+
+ =
Bài toán 4: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện

*
n
u
vào phơng trình
2
1
2.
n n
u u n
+
= +
, ta đợc
( ) ( )
2
2 2
1 1 2 2 2a n b n c an bn c n+ + + + = + + +
Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình
2 1 1
4 2
2 2 9 3
a c a
a b c b
a b c c
= = = = + + = =

* 1
2
3
.2 3 .2
2
n n
n
u n n

= =
Do đó
( )
2 1
.2 2 3 3 .2
n n
n
u c n n n

= + +
. Ta có
1
1u =
nên
1 2 2 3 0c c= + =

Vậy
1 2
3 .2 2 3
n
n

u
thoả mãn điều kiện
*
1 2 1 1
, , . 0,
n n n
u u au bu c u n N

+
= = + + =
(5.1)
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
2
. . 0a b c

+ + =
tìm

Khi đó
1) Nếu
1 2
,

là hai nghiệm thực khác nhau thì
1 2
. .
n n
n
u A B

u
thoả mãn điều kiện sau
0 1 2 1
1, 16, 8. 16.
n n n
u u u u u
+ +
= = =
(5.1)
Bài giải Phơng trình đặc trng
2
8 16 0

+ =
có nghiệm kép
4

=

Ta có
( )
. .4
n
n
u A B n= +
(5.2)
Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình
( )
0
1

thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
, , . . . , 2,
n n n n
u u a u b u c u f n

+
= = + + =
(6.1)
trong đó a # 0,
n
f
là đa thức theo n cho trớc
Phơng pháp giải
7
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
Giải phơng trình đặc trng
2
. . 0a b c

+ + =
để tìm

. Khi đó ta có
0 *
,
n n n
u u u= +
trong đó

nh sau :
1) Nếu
#1

thì
*
n
u
là đa thức cùng bậc với
n
f
2) Nếu
1

=
là nghiệm đơn thì
*
. ,
n n n
u n g g=
là đa thức cùng bậc với
n
f
3) Nếu
1

=
là nghiệm kép thì
* 2
. ,

u u u u u n n
+
= = + = +
(6.2)
Bài giải Phơng trình đặc trng
2
2 1 0

+ =
có nghiệm kép
1

=
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
trong đó
( ) ( )
0 * 2
. .1 , .
n
n n
u A B n A Bn u n a n b= + = + = +
Thay
*
n
u
vào phơng trình (6,2) , ta đợc
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=


Vậy
* 2
1
6 2
n
n
u n

= +
ữ

Do đó
0 * 2
1
6 2
n n n
n
u u u A Bn n

= + = + + +
ữ

8
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
Mt khác
1 1

11 1
4
3 6 2
n
n
u n n

= + +
ữ

Dạng 3
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
, , . . , 2
n
n n n
u u au bu cu d n
à
+
= = + + =
(7.1)
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
2
. . 0a b c

+ + =

là nghiệm đơn thì
*
.
n
n
u k n
à
=
3) Nếu
à
=
là nghiệm kép thì
* 2
. .
n
n
u k n
à
=
Thay
*
n
u
vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính đợc hệ
số k . Biết
1 2
,u u
từ hệ thức
0 *
n n n

n n
n n
u A B n A Bn u k= + = + =

Thay
*
n
u
vào phơng trình , ta đợc
1 1
.2 2 .2 .2 3.2 6
n n n n
k k k k
+
+ = =
9
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
Vậy
* 1
6.2 3.2
n n
n
u
+
= =
. Do đó
0 * 1
3.2
n

u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
, , . , 2
n n n n n
u u au bu c u f g n

+
= = + + = +
(8.1)
trong đó a # 0 ,
n
f
là đa thức theo n và
.
n
n
g v
à
=
Phơng pháp giải
Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +
trong đó
0
n
u
là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần

+ + =
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
0; 0, 2 3 2 , 2
n
n n n
u u u u u n n
+
= = = +
(8.2)
Bài giải Phơng trình đặc trng
2
2 3 0

=
có nghiệm
1 2
1, 3

= =
Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +

trong đó

2014
Do đó
( )
*
1
1
4
n
u n

= +
Thay
*
2n
u
vào phơng trình
1 1
2 3 2
n
n n n
u u u
+
=
, ta đợc
1 1
2
.2 2. .2 3. .2 2
3
n n n n
k k k k

vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình
1 4 61
3 1
2 3 48
3 8 25
9 0
4 3 48
A B A
A B B

+ = = + = =Vậy
( ) ( )
1
61 25 1 1
. 1 .3 . 1 .2
48 48 4 3
n
n n
n
u n
+

n n n
u u u= +
, trong đó
0
n
u
là nghiệm tổng quát của phơng trình tuyến tính thuần nhất,
*
n
u
là một nghiệm riêng của phơng trình tuyến tính không thuần nhất
Xét phơng trình đặc trng
3 2
0a b c d

+ + + =
(a.2)
1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp
ba thuần nhất
a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực
1 2 3
, ,

phân biệt thì
0
1 1 2 2 3 3
. . .
n n n
n
u a a a

= + +
2) Xác định nghiệm riêng
*
n
u
của phơng trình (a.1)
Xét
n
f
là đa thức của n ta có
a) Nếu
#1

thì
*
n
u
là đa thức cùng bậc với
n
f
b) Nếu
1

=
(nghiệm đơn ) thì
*
.
n n
u n g=
,

n
g
là đa thức cùng bậc với
n
f
Xét
.
n
n
f v
à
=
ta có
a) Nếu
#
à
thì
*
. .
n
n
u k n
à
=
b) Nếu
à
=
(nghiệm đơn ) thì
*
.

2014
Bài giải Xét phơng trình đặc trng
3 2
7 11 5 0

+ =
có 3 nghiệm thực
1 2 3
1, 5

= = =
Vậy
1 2 3
5
n
n
u c c n c= + +
Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc
1 2 3
1 3 1
, ,
16 4 16
c c c= = =
Vậy
( )
1
1 3 1
1 .5
16 4 16
n

+
= +
(10.2)
Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta đợc
1 2
2 1
n n n
a a a

= +
(10.3)
Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu đợc
1 1 2
3 3 0
n n n n
a a a a
+
+ =
(10.4)
Phơng trình đặc trng của (10.4) là
3 2
3 3 1 0

+ =
có nghiệm
1

=
là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (10.4) là



= + +

= =

= + +


Ta thu đợc
( )
1
2
n
n n
a
+
=
và từ đó ta có
( )
2
2
2
4 . 1 3 1
n n
A a a n n
+
= + = + +
Điều này chứng tỏ A là một số chính phơng
Bài toán 11: Cho dãy số

(11.2)
Dễ thấy
( )
mod1997
n n
y x
. Do đó chỉ cần chứng minh
( )
1996
0 mod1997y
Đặt
4 11
n n
z y= +
suy ra
1 2
39, 211z z= =
. Nhận xét rằng
1 1 1 1
4 11 16 20 99 4 20 55
n n n n n n
z y y y z y
+ +
= + = + + = + +
(11.3)
Ta lại có
1 1
4 11
n n
z y

có nghiệm
1 2
1, 5

= =
Nghiệm tổng quát của (11.1) là
( )
1 5
n
n
n
z

= +
Ta có
14
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
1
2
8
5 39
3
25
25 211
3
z
z



3
z
+
=
Ta cần chứng minh
( )
1996
11 mod1997z
Do
1996
1996
5 1 1997
5 1 3





M
M
Nên
1996
5 1 3.1997 M
. Từ đó , ta có
1996
5 3 .1997 1n= +
, và khi đó
( )
1996
25 3 .1997 1

= = = +
3)
2
0 1 2 1
1, 3, 2. 5 2 2 3
n n n
x x x x x n n
+ +
= = + = +
4)
2
0 1 1 1
0, 1, 4 4 6 5
n n n
x x x x x n n
+
= = + = +
5)
1 2 2 1
1, 2, 5 6 4
n n n
x x x x x
+ +
= = + =
Bài 2: Cho dãy số
( )
n
a
thoả mãn điều kiện
15

1 2
1 2
2.
3
1, 2
n n n
b b b
n N n
b b

= +



= =


Chứng minh rằng
5
,
2
n
n
b n N


ữ

Bài 4: Cho dãy số
( )

u
thoả mãn nh sau
0 1
1 2
,
1, 9
10. , 2
n
n n n
u Z N
u u
u u u n N n
+

= =


=

Chứng minh :
, 1k N k
1)
2 2
1 1
10 . 8
k k k k
u u u u

M a a
+
+
đều là số
chính phơng
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)
16
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
Cho dãy số
( )
i
a
( i=1,2,3,4 )đ ợc xác định bởi
1 2 1 2
1, 1, 2 , 3,4,
n n n
a a a a a n

= = = =

Tính giá trị của biểu thức
2 2
2006 2006 2007 2007
2. .A a a a a= + +
Bài 8: Cho dãy số nguyên dơng
( )
n
u
thoả mãn điều kiện

Chẳng hạn dãy số
( )
n
u
đợc xác định theo công thức sau
2 1
8. 9. 0
n n n
u u u
+ +
+ + =
có thể cho
0 1
2, 8u u= =
. Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Cho dãy số
( )
n
x
xác định nh sau
17
Trng THPT Trn Hng o - Sỏng Kin Kinh Nghim Nm hc: 2013
2014
2 1
0 1
8. 9. 0
2, 8
n n n
x x x
n N


Tính giá trị của biểu thức
2006 2007
5. 4A x x= +
Ví dụ 2: Xuất phát từ phơng trình
( )
2
2
1 0 2 1 0

= + =
(12.2)
phơng trình (12.2) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của một dãy số có quy luật.
Chẳng hạn dãy số
( )
n
u
đợc xác định theo công thức sau
2 1
2. 2
n n n
u u u
+ +
+ =
có thể cho
0 1
1, 0u u= =
khi đó vận dụng thuật toán trên xác định đợc công thức tổng
quát của dãy số
( )

2 1
0 1
2 2
1, 0
n n n
x x x
n N
x x
+ +
+ =



= =

Chứng minh rằng
n
x
là một số chính phơng
Bài toán 3: Cho dãy số
( )
n
x
xác định nh sau
2 1
0 1
2 2
1, 0
n n n
x x x

Trong đó lớp 11A1 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn
lớp 11A2 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài.
Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm
như sau:
Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh)
Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh)
Điểm
Lớp
1 1 – 2,5 3 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,59 9– 10
Lớp 11A1 0% 2% 18% 20% 60%
Lớp 11A2 4% 28% 52% 14% 2%
Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực
nghiệm và lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung
đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao quát
về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không
chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng thời góp
19
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 –
2014
phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với môn Toán vì trong đó thường có
các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic.
20
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 –
2014
3. KẾT LUẬN
3.1. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì
người giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc.

giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục
6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục
- 2003
22