>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 1
HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
3. Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
2
3 2 4 2
3x 2 x 2x + 3
a)y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c)y d)y
x 1 x 1
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3
2
b) Hàm số
2
y x x 20
nghịch biến trên khoảng
;4
và đồng biến trên
khoảng
5;
.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
5
a) y x sinx, x 0;2 b) y x 2cosx, x ;
66
Bài 5. Chứng minh rằng:
a)
f x cos2x 2x 3
nghịch biến trên R.
.
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn
k ; k 1 , k Z
44
.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x;
f '(x) 0 sin2x 1 x k , k Z
4
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn
k ; k 1
44
Nếu
f '(x) 0, x K
thì f(x) nghịch biến trên K.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 3
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có biệt thức
2
b 4ac
. Ta có:
a0
f(x) 0, x R
0
a0
f(x) 0, x R
0
2a 5
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
5
f '(x) 0, x R 0 a
2
.
Bài 2
Với giá trị nào của m, hàm số
32
f(x) mx 3x m 2 x 3
nghịch biến trên R ?
Giải:
TXĐ: R
Ta có:
2
f '(x) 3mx 6x m 2
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
2
f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 4
m = 0, khi đó f’(x) =
1
Vậy, với
m1
thì thỏa mãn bài toán.
Bài 3
Với giá trị nào của m, hàm số
2
3x mx 2
fx
2x 1
nghịch biến trên từng khoảng xác định
của nó.
Giải:
TXĐ:
1
D R \
2
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải:
TXĐ:
D R \ m>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 5
Đạo hàm:
2
2
m1
y'
xm
. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi
2
y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1
Bài 5
Tìm m để hàm số
32
(vì x
2
– 2x +
3 > 0)
Bài toán trở thành:
Tìm m để hàm số
2
6 2x
f x m, x 2
x 2x 3
Ta có
2
2
2
2
2x 12x 6
f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6
x 2x 3
2
mx 6x 2
y
x2
nghịch biến trên nửa khoảng
1;
.
Giải:
Ta có:
2
2
mx 4mx 14
y'
x2
Hàm số nghịch biến trên
2
1; y' 0, x 1 mx 4mx 14 0, x 1
x
1
f’(x)
f(x)
0
14
5
Ta cần có:
1;
14
min f(x) m m
5
. Vậy
14
m
5
là các giá trị cần tìm của m.
Bài 4. Cho hàm số
2
m 1 x 2x 1
y
x1
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng
khoảng xác định của nó.
ĐS:
1 m 2
Bài 5. Cho hàm số
3 2 2
y x m 1 x m 2 x m
. Chứng minh rằng hàm số luôn
nghịch biến trên R với mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x
3
– 2x
2
+ mx – 4 đồng biến trên khoảng
0;
.
.
VẤN ĐỀ 3:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 8 Phƣơng pháp: Sử dụng kiến thức sau:
f(x) đồng biến trên đoạn
a; b
thì
f a f x f b , x a; b
f(x) nghịch biến trên đoạn
a; b
thì
f a f x f b , x a; b
Bài 1
Cho hàm số
f x 2sinx tanx 3x
.
2
22
1 cosx 2cosx 1
1
f '(x) 2cosx 3 0, 0;
cos x cos x 2
. Do đó, hàm số
f đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
(đpcm).
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,
x 0; 2sinx tanx 3x, x 0;
22
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2
và có
2
2
1
f '(x) 1 tan x 0,
cos x
x 0;
2
. Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
và có đạo hàm
2 2 2
2
1
g'(x) 1 x tan x x 0, x 0;
cos x 2
,
do
tanx x, x 0;
2
.
Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
, với mọi x > 1.
Giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
2(x 1)
lnx 0, x 1
x1
Xét hàm số
2(x 1)
f(x) lnx , x 0;
x1
. Ta có:
2
22
x1
14
f '(x) 0, x 0;
c)
3
x
sinx x , x 0
6
và
3
x
sinx x , x 0
6
d)
sinx tanx 2x, x 0;
2
e)
2x
sinx , x 0;
2
.
b) Từ đó suy ra rằng:
tanx x, x 0;
44
.
Bài 3. Chứng minh rằng:
2
1 x 1
1 x 1 x 1 x
2 8 2
với
x 0;
VẤN ĐỀ 4:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ
CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT
Bài 1
Cho hàm số
2
f x 2x x 2
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng
2;
.
b) NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên
c 2;3
sao
cho f(c) = 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên
2;
nên
c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 2
Cho hàm số f(x) = sin
2
x + cosx.
a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn
0;
3
1
f '(x) 0 cosx x
23
BBT:
x
0
/3
y’
+ 0
y
5/ 41
1
Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn
0;
3
. Theo định lí về giá trị trung
gian của hàm số liên tục thì
5
m 1;1 1;
4
, tồn tại số
c;
3
sao cho f(c) =
0. Số c là nghiệm của phương trình sin
2
x + cosx = m. Vì hàm f nghịch biến trên
;
3
Giải:
Đặt
53
f(x) x x 1 3x 4
với
1
x
3
Ta có f(x) là hàm liên tục trên nửa khoảng
1
;
3
và có đạo hàm
42
31
f '(x) 5x 3x 0, x
3
2 1 3x
.
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng
và
2
g(x) x 8x 14
xác định và liên tục trên
;3
, ta
có:
3x
1
f '(x) 2 . ln2 0
2 3 x
và
g'(x) 2x 8 0
với mọi
x ;3
Như vậy f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên
là hai hàm xác định
và liên tục trên khoảng
3;
, ta có:
f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến.
vì
2
45
g'(x) 0
4 x 2
nên g(x) là hàm nghịch biến.
Mặt khác ta có f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghiệm của (5) và cũng là nghiệm duy nhất.
Bài 5
Giải phương trình:
x 2 x 2
3.25 3x 10 .5 3 x 0
(6)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 14
Ta có:
x2
5
1
5 x 2 log 3
3
Xét phương trình
x2
5 3 x
, ta dễ chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của nó.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
5
x 2 log 3 và x 2
.
Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006)
Cho hệ phương trình
xy
(3)
Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng
1;
.
Đặt
x a x
f(x) e e ln(1 x) ln(1 x a)
trên khoảng
1; >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 15
Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng
1;
và có đạo hàm
x a x
11
f '(x) e e
x 1 x a 1
Từ đó ta tính giới hạn:
xa
x x x
1x
lim f(x) lim e (e 1) lim ln
1 a x
và
x ( 1)
lim f(x)
Vậy, phương trình (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng
1;
. Từ đó suy ra đpcm.
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
a)
22
f x a
có nghiệm
a min f x
d)
f x a
có nghiệm
a max f x
Bài 1
Cho phương trình
2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0
. Tìm m để phương trình có nghiệm
x
0,1 3
.
Giải:
Xét bất phương trình :
2
t’
0 +
t
2
2
1
Vậy với x
0,1 3
thì
1 t 2
.
Khi đó :
(1)
2
t2
m
t1
với
t [1;2]
2
m max f( t) f(2)
3
.
Đó là giá trị cần tìm của tham số.
Bài 2
Tìm m để phương trình
4
4
x 13x m x 1 0
có đúng một nghiệm. Giải:
Ta có:
4
4
x 13x m x 1 0
4
4
x 13x m 1 x
4
32
4
x1
;1
Ta có: f'(x) = 12x
2
– 12x – 9 = 3(4x
2
– 4x – 3)
Cho f'(x) = 0 4x
2
– 4x – 3 = 0
13
xx
22
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 18
x
–
1
2
1
f’(x)
+ 0
f(x)
I
x xy 1
có nghiệm duy nhất.
Giải:
Ta có:
(I)
2x y m 0 2x y m 0
x xy 1 xy 1 x
Với điều kiện:
xy 0
x1
(Do x = 0 không là nghiệm của hệ)
2
2
1x
x 2x 1
2x m m
xx
()
Xét hàm số
2
x 2x 1 1
f(x) x 2
xx
trên tập
D ;1 \ 0
Ta có hàm số f(x) liên tục trên D và có đạo hàm
Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)
Tìm m để phương trình
22
33
log x log x 1 2m 1 0
có ít nhất một nghiệm thuộc
3
1;3
.
Giải:
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 20
Đặt
2
3
t log x 1
. Với x
3
1;3
thì
t [1;2]
.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với :
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
có
nghiệm.
Giải:
Điều kiện xác định của phương trình :
x [ 1;1]
Đặt
22
t 1 x 1 x
. Với
x [ 1;1]
, ta xác định điều kiện của t như sau :
Xét hàm số
22
t 1 x 1 x
với
x [ 1;1]
Ta có :
22
2 2 4
x 1 x 1 x
xx
t'
1 x 1 x 1 x
Từ
2 2 4 2
t 1 x 1 x 2 1 x 2 t
. Khi đó, phương trình đã cho tương đương
với :
2
2
t t 2
m t 2 t t 2 m
t2
Bài toán trở thành tìm m để phương trình
2
t t 2
m
t2
có nghiệm
t 0; 2
t 0; 2
max f(t) f(0) 1, min f(t) f 2 2 1
Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy ra khi
t 0; 2
t 0; 2
min f(t) m max f(t) 2 1 m 1
. Đây là
các giá trị cần tìm của tham số.
Bài tập làm thêm
Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho
a. y = x
3
– mx
2
–(2m
2
-3m+2)x+m(2m – 1) đồng biến trên [2;+
)
Đáp số:
2
2
3
m
Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m sao cho:
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 22
y =
32
1
( 1) 3( 2( 1)
3
mx m x m x
đồng biến trên (2;+
)
Đáp số:
1. a. -1
, b. 0 2. -2
đồng biến trên khoảng (1;+
)
d. y =
xm
xm
đồng biến trên khoảng (-1;+
)
e. y =
22
23
2
x mx m
xm
đồng biến trên khoảng (1;+
)
f. y =
2
23
21
x x m
x
d. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Bài 7: Cho hàm số y =
1x
xm
. Tìm m để hàm số:
a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Tăng trên khoảng (0;+
)
Bài 8: Cho hàm số y =
22
1
x x m
x
. Với giá trị nào của m
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 23
a. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4)
Bài 9: Tìm tham số m sao cho y = 4mx
3
– 6x
2
+(2m-1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2)
Bài 10. Cho hàm số y = - x
Copyright: Tài liệu đại học ©