MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TẬP TÍNH TOÁN
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
$1. Đặt vấn đề
Trước hết nói chung về việc giải bài tập toán sơ cấp. Đó là một niềm say mê
của nhiều người. Đam mê lắm, có khi hơn cả trò chơi điện tử! Nhiều người lấy đó
làm một thú vui, mà chỉ cần một mảnh giấy và một cây bút chì! Giải toán sơ cấp
ví như một trò chơi rất trí tuệ.
Một bài tập khó mà hay, là bài tập được giấu mối rất khéo, không thể nhìn ra
ngay lời giải như những bài toán quen biết hay cơ bản, mà lời giải lại không quá
rắc rối.
Hôm nay, tôi muốn giành thời gian trao đổi một số kinh nghiệm với các bạn
đồng nghiệp trong một phạm vi hẹp đề cập đến bài tập tính toán các đại lượng
trong hình học phẳng Oclit (cổ điển). Tuy nhiên khái niệm “tính toán” ở đây cũng
chỉ có tính chất tương đối thôi.
Chuyên đề này chưa đề cập tới các công cụ hiện đại như véc tơ, hình học xạ
ảnh hay hình giải tích, mà hy vọng sẽ được trình bày trong một dịp khác. Mặt
khác chúng tôi cũng không xét tới kiểu giá trị logic mệnh đề.
Ví dụ 1.1.
Cho tam giác ABC, có AB > AC.
a/- Chứng minh rằng đường trung tuyến BM lớn hơn đường trung tuyến CN.
b/- So sánh các đường phân giác BD và CE.
Thế thì nếu chấp nhận bài toán tính toán với các giá trị kiểu logic mệnh đề,
ta có thể phát biểu lại thành:
Cho tam giác ABC, có AB > AC.
a/- Chứng minh rằng giá trị mệnh đề “Đường trung tuyến BM > đường trung
tuyến CN” là đúng.
b/- Tính giá trị logic của mệnh đề “Đường phân giác BD lớn hơn đường
phân giác CE”.
Như vậy, chúng ta tạm thời chỉ xét đến các đại lượng hình học cơ bản như
độ dài, góc, diện tích hoặc tỉ số các độ dài, tỷ số các diện tích, mà gác lại các
1

, mà
AD=BC.
Từ đó ⇒ ∆EAD = ∆ABC (c.g.c) (1)
Từ (1) ⇒ ED = AC = EC ⇒ ∆EDC cân. (2)
Từ (1) ⇒ ∠AED = 20
o
⇒ ∠DEC = 40
o
và ∠ADE = 80
o
. (3)
Từ (2) ⇒ ∠EDC = (180
o
-40
o
)/2 = 70
o
. (4)
Từ (3) & (4) ⇒ ∠BDC = 180
o
-80
o
-70
o
= 30
o
.
Đáp số: 30
o
.

$2. Bài tập tính toán các yếu tố cơ bản trong hình học phẳng
a/- Bài toán tính độ dài (khoảng cách)
Phương pháp 1. Đưa về việc tính cạnh của một tam giác
Ví dụ 2.1
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trong hình
vuông lấy điểm E sao cho ∠DCE =∠CDE = 15
o
.
Tính khoảng cách từ E đến A và đến B. Đây là một
bài cổ điển rất hay.
Phân tích:
Bài toán quy về việc tính cạnh của ∆ABE.
Mẹo: Vẽ ∆DCF đều ra phía ngoài hình vuông.
Chứng minh ∆FEC cân tại F ⇒ BCFE là một hình
thoi ⇒ BE = BC = a.
Và cũng có AE=a.
Bài tập thực hành:
3
A
B
C
D
E
F
Hinh 2
1/- Vẫn giả thiết đó. Tính khoảng cách từ B đến AE.
2/- Vẫn giả thiết đó. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABE
3/- Không cho sẵn 15
o
mà hỏi ∠DCE =∠CDE=? để ∆ABE đều.

N
M
B
A
Tính khoảng cách từ trung điểm của AB tới (MN) theo a và α.
4/- Cho đoạn thẳng AB=a. Vẽ các tia Ax và By song song với về cùng khác phía
với nhau đối với (AB). Trên M và N chạy trên Ax và By sao cho luôn có MN = |
AM - BN|. Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Phương pháp 3. Đưa về việc tính yếu tố của một tỷ số các đoạn thẳng
Ví dụ 2.3
Cho một hình thang vuông ABCD đáy
là AB và CD, vuông ở A và D, CD=AD=a
và AB=2a. Gọi O là giao hai đường chéo
của hình thang. Tính khoảng cách từ O đến
các đường thẳng chứa cạnh hình thang.
Hình 4
Giải:
Theo định lý Talét ta có:
= và = .
Cộng 2 đắng thức đó, vế với vế, ta được
+ = 1 hay + = 1 ⇒ EO = và d(O;AD)= ;
= = = = 1/3 ⇒ OC = AC/3 = a/3 và d(O;BC)= a/3;
= = 1/3 ⇒ DE = a/3 và d(O;CD)=a/3.
Cuối cùng, EA=2a/3, d(O;AB)=2a/3.
Đáp số: d(O;AB)=2a/3, d(O;BC)= a/3, d(O;CD)=a/3 và d(O;AD)=2a/3.
Bài tập thực hành:
1/- Không cho hình thang này vuông, mà cho thành cân, biết 2 đáy là a và b,
đường cao là h. Tính khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của
hình thang.
2/- Không cho hình thang này vuông, mà cho biết góc tạo bởi 2 cạnh AD, BC tạo

Từ đây, dễ dàng ⇒ hàng loạt tý số bằng nhau. Cuối cùng được
= = = = ⇒ EG = HF.
Giải:
Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở I.
Khi đó: = = = ⇒ IF // BD.
Từ đó:
= = = = ⇒ EG = HF.
Gọi K là trung điểm HG, ta có:
d(G,AB) + d(H,AB) = 2d(K,AB) = d(E,AB) + d(F,AB).
Do = nên
d(E,AB) + d(F,AB) = d(E,AB) + d(E,CD) = AD = a.
Ký hiệu d đọc là khoảng cách.
Đáp số: a.
Bài tập thực hành:
6
Hinh 5
M
N
I
H
G
O
F
A
B
C
D
E
Có thể chế biến thành nhiều bài tập khác, chẳng hạn:
1/- Ta không hỏi như đã hỏi mà tính hiệu EG - HF, hay EG - GH, hay chứng

Hinh 6
H
G
O
F
A
B
C
D
E
đường thẳng // AB mà bị các đường thẳng chứa các cạnh và các đường chéo chia
thành 3 đoạn bằng nhau!
b/- Bài toán tính góc
Phương pháp 1. Đưa về việc tính góc của một tam giác
Ví dụ 2.5
Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài
tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB=120
o
và tam giác đều ACE. Gọi F là trung điểm
của BC. Tính ∠DEF.
Phân tích:
Lấy G là điểm đối xứng của D qua F.
Khi đó, ∆CFG = ∆BDF, ⇒ CG = AD.
Ta chứng minh được ∠ADE = 90
o
+ ∠A
và ∠GCE = 360
o
- ∠C
1

8
G
F
A
Hinh 7
E
D
C
B
1/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB
= 100
o
và ∆ACE cân tại E với ∠AEC = 80
o
. Gọi F là trung điểm của BC. Tính
∠DEF.
2/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB vuông cân tại D
và ∆ACE vuông cân tại E. Gọi F là trung điểm của BC. Tính ∠FDE.
3/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB cân tại D và
∆ACE cân tại E, sao cho ∠ADB + ∠AEC = 180
o
. Gọi F là trung điểm của BC.
Tính ∠FGE.
Phương pháp 2. Đưa về việc tính góc nội tiếp.
Ví dụ 2.6
Cho vòng tròn (O,R) và một điểm A
trên nó. Vẽ đường tròn tâm O’ đường
kính OA. Điểm M trên đường tròn (O) và
M’ trên đường tròn (O’) sao cho cung
AM và cung AM’ có độ dài bằng nhau,

M và từ A tới M’, quanh
tâm O và O’ tương ứng.
Tìm quỹ tích trung điểm
của MM’.
2/- Cho vòng tròn (O’,r)
tiếp xúc trong với vòng
tròn (O,R) tại M, và R=2r.
Rồi cho vòng tròn (O’) lăn
không trượt bên trong vòng
tròn (O) kéo theo tiếp điểm M chuyển động. Hỏi quỹ tích của M. (Bài này không
phải là tính toán, nhưng chứng minh 3 điểm thẳng hàng cũng coi như tính góc ).
Phương pháp 3. Đưa về việc tính góc ở hai hình đồng dạng.
Ví dụ 2.7
Cho ∆ABC có ∠A = α. Đường tròn (B,BA) và đường tròn (C,CA) cắt nhau ở
điểm nữa là D. Một đường thẳng qua D cắt hai đường tròn tại 2 điểm nữa tương
ứng là E và F (khác phía với nhau đối với D). Vẽ các tiếp tuyến với 2 đường tròn
tương ứng taij E và F, mà giao của chúng được gọi là G. Tính ∠EGF theo α.
Phân tích:
Xem hình 9. Ta có ∠GEF = ∠EAD, ∠GFE = ∠FAD, suy ra ∠GEF + ∠GFE =
∠EAF.
Dễ chứng minh được ∆AEF ∼ ∆ABC.
10
A
B
C
D
E
F
G
Vậy ∠EGF = 180

1
B
1
cân, ta có:
∠BKA
1
= ∠B
1
A
1
C - ∠IBC = 90
o
- (∠B + ∠C)/2 = ∠A/2.
11
A
B
C
D
E
F
G
Từ đó ⇒ 2α - ∠A=0.
12
Chú ý:
1/- Hoán vị vai trò của các các chữ A, B và C đi ta được các câu hỏi tương tự.
2/- Bài toán này có thể hỏi lại thành chứng minh tứ giác AIKB
1
nội tiếp.
3/- Thay đường tròn nội tiếp thành bẳng tiếp ta cũng vẫn được kết quả như cũ!
I

Hình 13
13
A
H
J
I
N
M
B
Phân tích:
Vẽ đoạn IJ song song với AM.
Khi đó, theo định lý Talét áp dụng vào tam giác, ta có:
= và = .
Cộng 2 đẳng thức đó lại, vế với vế, ta được
+ = IJ.( + ) = IJ. = 1.
Từ đó suy ra IJ = a không đổi ⇒ đ.p.c.m.
Bài tập thực hành:
Theo mốt của bài này ta có thể làm ra các bài tập mới:
1/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM +
1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Tìm quỹ tích của I là giao điểm của
AN và BM.
2/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM +
1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Gọi I là giao điểm của AN và BM.
Tìm vị trí của M và N để IA+IB đạt giá trị lớn nhất? nhỏ nhất?
3/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, khác phía với nhau đối với
đường thẳng (AB). Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM -
1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước. Gọi I là giao điểm của AN và BM.
Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng (AB) là không đổi.

B tương ứng sao cho + = , với a là một độ dài cho trước. Chứng minh rằng AB
luôn đi qua một điểm I cố định! Tính OI theo a và α = ∠xOy. Xem hình 15.
2/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180
O
và điểm I cố định trên đường phân giác ngoài
của góc đó. Một cát tuyến quay quanh I cắt Ox
và Oy tại A và B tương ứng. Chứng minh rằng
| - | = 1/a, với a là một độ dài xác định được.
3/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180
O
và một cát
tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và B tương
ứng sao cho - = ,, với a là một độ dài cho
trước. Chứng minh rằng AB luôn đi qua một
điểm cố định!
15
C
z
y
x
I
B
A
O
E
D
C
z
y
x

.
Bài tập thực hành:
Thay đổi giả thiết ta có thêm nhiều bài tập hay:
1/- Vẫn cho hình vuông nhưng không cho M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình
vuông, trừ những điểm M mà cho hay MH.MK = AB.AD), C, M và I vẫn thẳng
hàng. (Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt).
16
A
B
C
D
M
H
K
I
2/- Như 1/- nhưng thay thành hình chữ nhật, mọi thứ vẫn đúng!. Không cần cho
M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình chữ nhật, trừ những điểm M mà cho DH //
BK), C, M và I vẫn thẳng hàng. (Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt).
3/- Như 2/- nhưng thay thành hình bình hành. Thay “Hạ MH và MK vuông góc
với AB và AD tương ứng” thành “Vẽ MH và Mk song song góc với AD và AB
mọi thứ vẫn đúng!. Không cần cho M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình bình
hành, trừ những điểm M mà (DH) // (BK)), C, M và I vẫn thẳng hàng.
A
B
C
D
H
K
I
M

=
∠K
1
⇒ ∠H
2
= ∠K
2
. (1).
Các tứ giác OHNI và OKMI nội tiếp vì OI ⊥ MN suy ra ∠ONI = ∠H
2
và ∠OMI
= ∠K
2
.
Do đó và (1) ⇒ ∆OMN cân ⇒ = 1.
Bài tập thực hành:
1/- Bài toán này có nguồn gốc từ bài toán cánh bướm: Chúng minh IM = IN hay
tính hiệu IM - IN.
(Hiểu được cách giải rồi ta có thể chế biến thành bài trong ví dụ trên.)
2/- Cũng trong ví dụ trên ta cũng
có thể tính tý số .
3/- Ta không cho I làm điểm
giữa nữa mà là điểm tùy ý trên
đoạn AB trừ A và B.
Các đường trung trực của CF và
ED cắt đường vuông góc với AB
tại I, ở P và Q tương ứng.
Xem hình 19.
18
N

(Đáp án là 0).
Thực chất là chứng minh
- mà thôi.
Hình 19
4/- Cũng như 3/- nhưng thay bằng .
5/- Dễ hơn nữa thì tính hiệu - , - ,
Chú ý:
Cách giải cũng hơi khác ví dụ một chút mà thôi.
Hình 20
6/- Ta không cho I làm điểm trong đoạn AB mà cho I nằm trên đường thẳng (AB)
nhưng trừ A và B. Các đường trung trực của CF và ED cắt đường vuông góc với
AB tại I, ở P và Q tương ứng. Xem hình 18. Gợi ý: Ta chứng minh lần lượt:
∆IED ∼ ∆ICF, ∆IHD ∼ ∆IKF, ∠IHQ = ∠IKP, ∠INQ = ∠IMP, ∆INQ ∼ ∆IMP,
rồi suy ra các điều khác!
19
M
Q
N
P
B
H
O
K
F
E
D
C
I
A
d/- Bài tập tính diện tích các hình phẳng

20
A
B
C
H
45
O
Hình 22
60
O
A
B
C
D
O
H
45
O
Phương pháp 1. Tính bằng tổng/hiệu các hình có công thức.
Ví dụ 2.13
Cho một hình thang ABCD có 2
đáy là AB và CD. Biết hai đường
chéo AC = 5a, BD = 3a. Gọi M và N
là trung điểm của AB va CD. Biết
MN = 2a. Tính diện tích của hình
thang.
Hình 23
Phân tích:
Vẽ BE // AC cắt (DC) tại E thì BE = 5a. Vẽ hình bình hành DBEQ thì ta có DQ
= 5a và cũng sẽ có BQ = 2MN = 4a. Do đó ∆DBQ vuông tại B.

E
Q
J
I
K
L
M
N
P
A
B
C
D
E
F
G
H
Q
và BK= KL = LC. Các đoạn thẳng EH và FG cắt JK ở M va
N, cắt IL ở Q Hình 24
và P. Tính dt(MNPQ). Đáp số: S/9. Xem hình 24.
Ví dụ 2.14
Cho ∆ABC. Gọi A
1
, B
1
và C
1
là các điểm chia
trong các đoạn BC, CA và AB tương ứng theo tỷ

1
là các
điểm chia trong tlà khác nhau.
2/- Cũng cho giả thiết như trong ví dụ 1, nhưng tính k để dt(A
1
B
1
C
1
) đạt gia trị
mã, min.
3/- Cũng cho giả thiết như trong ví dụ 1, nhưng tìm tập hợp các trọng tâm của
∆A
1
B
1
C
1
.
4/- Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Hai đường
chéo cắt nhau ở O, mà nó chia trong AC theo tỷ số
k
1
, chia trong BD theo tỷ số k
2
. Gọi A
1
, B
1
, C

1
S
a
S
b
S
c
X
a
A
B
C
H
K
I
b
Cho ∆ABC cân ở A, có AB=AC=b, BC=a. Đường cao AH và BK cắt nhau ở
I. Tính dt(IBH) + dt(IAK).
Phân tích:
Diện tích S của ∆ABC dễ dàng tính đươc.
Ta có: ∆BHI ∼ ∆ABH, tính được IH và dt(BHI).
Ta lại có: ∆AIK ∼ ∆ACH, tính được IK và dt(AIK).
Từ đó tính được dt(IBH) + dt(IAK). Rút gọn cho đẹp được Đáp số!
Hình 26
Chú ý:
Làm như trên chưa ra đáp số đúng, vì có hai trường hợp: goc A của ∆ABC là
nhọn, xem hình 26, hay tù mà bạn chưa tính đến! Trường hợp sau cách tính cũng
tương tự.
Bài tập thực hành:
1/- Ta có thể chế biến đi như sau: Tìm hệ thức giữa a và b để dt(AIK) =

1
C
2
M
A
A
0
A
1
A
2
Phân tích:
Qua M vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác cắt các cạnh kia
tại các điểm được đặt tên như trên hình 26. Khi đó theo định lý Talét áp dụng vào
tam giác, ta có:
+ + = + + = + = = 1.
24
Ta cũng có thể tính bằng cách dùng diện tích:
+ + = + + = 1,
ở đây S = dt(ABC).
Cuối cùng ta có:
+ + = + + = 3 - 1 = 2.
Bài tập thực hành:
1/- Sửa lại bài toán thành: + + . (Đáp số: 2).
2/- Sửa lại bài toán thành: Biết S = dt(ABC),
Tính + + theo S.
Chúc toàn thể các bạn đồng nghiệp có nhiều sáng tạo và đạt hiệu
quả cao trong công việc giảng dạy, đào tạo thế hệ trẻ phục vụ đắc
lực cho sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc!
$3. Một số bài tập tập khác