TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
i
KHOA VẬT
LÝ

NGUYỄN DANH TÙNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ
VÀ TÍNH HỐN ĐỘN
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GS.TSKH. NGUYỄN ÁI VIỆT

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Vật
lý, các thầy cô giáo đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường và tạo
điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy – GS.TSKH.
Nguyễn Ái Việt đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn
chế. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và
toàn thể bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015

2.1. Không gian pha ............................................................................... 18
2.2. Mặt phẳng Poincaré ......................................................................... 21
2.3. Lịch sử về bài toán ba vật thể ........................................................... 22
Chƣơng 3: Một số vấn đề về bài toán ba vật thể ..................................... 27
3.1. Điểm Lagrange................................................................................ 27
3.1.1. Điểm L1 .................................................................................... 28
3.1.2. Điểm L2 .................................................................................... 29
3.1.3. Điểm L3 .................................................................................... 29
3.1.4. Điểm L4 và L5 ........................................................................... 29
3.2. Một số trường hợp của bài toán ba vật thể ........................................ 30
3.3. Mô phỏng bài toán ba vật thể trên máy tính ...................................... 37
Kết luận .................................................................................................. 44
Tài liệu tham khảo .................................................................................. 45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
“Bài toán ba vật thể” (Three body problem) do Isaac Newton nêu lên từ
năm 1687 trong tác phẩm Principia (Nguyên lý) nhằm nghiên cứu chuyển
động của các thiên thể trong mối quan hệ tương tác hấp dẫn giữa chúng: “Hãy
xác định vị trí của 3 vật thể chuyển động trong không gian nếu biết vị trí ban
đầu của chúng.”
Thoạt nghe, bài toán có vẻ khá đơn giản, nhưng thực ra lại phức tạp và
khó đến mức thách thức những bộ óc siêu việt nhất của nhân loại. Các nhà
toán học vĩ đại như Euler, Lagrange,… đã từng lao vào giải, nhưng chỉ tìm
được lời giải cho những trường hợp đặc biệt. Đến cuối thế kỷ 19 vẫn chưa có
ai tìm được lời giải cho trường hợp tổng quát với n vật thể.
Năm 1887, nhà toán học Poincaré đã đưa ra một phương pháp độc đáo
để khảo sát hành vi chuyển trạng thái (hành trạng) của các hệ động lực, rồi xét
cho một hệ quy giản từ hệ động lực nói trên; và ông đã hết sức bất ngờ phát

nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu của
đề tài. Phần nội dung gồm có ba chương:
Chương 1: Giới thiệu sơ bộ về hỗn độn cũng như các biểu hiện của nó.
Chương 2: Một số nội dung về hỗn độn và bài toán ba vật thể.
Chương 3: Trình bày một số trường hợp đặc biệt và mô tả về tính hỗn
độn của bài toán ba vật thể.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
MỘT VÀI NÉT SƠ BỘ VỀ HỖN ĐỘN
1. 1. Sơ lƣợc về sự phát triển của khoa học hỗn độn
Vào năm 1905, với lý thuyết tương đối của mình Einstein đã xóa nhòa
sự tin chắc của Newton về một không gian và thời gian tuyệt đối. Rồi vào
những năm 1920 - 1930, cơ học lượng tử đã đập tan sự chắc chắn của khả
năng hoàn toàn đo được một chính xác nhất có thể. Vận tốc và vị trí của một
hạt cơ bản của vật chất không thể đồng thời đo được với độ chính xác vô hạn.
Khoa học về hỗn độn đã loại bỏ sự chắc tin của Newton và Laplace vào một
quyết định luận tuyệt đối của Tự nhiên. Trước khi lý thuyết hỗn độn xuất
hiện, từ “trật tự” được coi là từ chủ đạo. Trái lại, từ “lộn xộn, vô trật tự” đã bị
coi là cấm kỵ và từ đó bị loại ra khỏi ngôn ngữ khoa học. Tự nhiên phải vận
động một cách chính quy và tất cả những gì tỏ ra thiếu chính quy hoặc lộn
xộn đều bị coi là quái dị. Khoa học về hỗn độn đã làm thay đổi tất cả. Nó đã
đặt cái không chính quy trong cái chính quy, cái vô trật tự trong cái trật tự. Nó
đã thổi bùng lên trí tưởng tượng của các nhà khoa học và cả của công chúng,
bởi vì khoa học này quan tâm đến cả những đối tượng ở thang bậc của con
người và đề cập tới cả cuộc sống thường nhật.
Thuyết tương đối có vị trí của mình là thế giới của những cái vô cùng

dù phải mất nhiều thời gian mới có thể xuất hiện như một lĩnh vực nghiên cứu
hoàn toàn riêng biệt, khoa học hỗn độn đã có những vị tiên phong thiên tài.
Một trong số những người tiên phong ấy là nhà toán học Pháp Henri Poincaré
(1854- 1912), người đã từng chống lại sự chuyên chế của quyết định luận
Newton ngay từ cuối thế kỷ XIX.
Mặc dù hàng loạt lý thuyết ra đời trong thế kỷ XX dẫn tới những cuộc
cách mạng đảo lộn vũ trụ quan cổ điển, đến nay tư tưởng chủ đạo của khoa
học vẫn là chủ nghĩa tất định – tư tưởng cho rằng vũ trụ vận hành theo những
4


quy luật xác định và do đó, về nguyên tắc, khoa học phải dự báo được tương
lai một cách chính xác. Nhưng thực ra Tự nhiên phức tạp, hỗn độn và khó dự
đoán hơn ta tưởng rất nhiều: Tính ngẫu nhiên và bất định không chỉ tác động
trong thế giới lượng tử, mà ngay cả trong những hệ phức tạp của thế giới vĩ
mô. Trong Tự nhiên cũng như trong đời sống hàng ngày, có rất nhiều tình
huống lại phụ thuộc một cách cực kỳ nhạy cảm vào những điều kiện ban đầu.
Một sự thay đổi rất nhỏ trong trạng thái ban đầu của hệ có thể dẫn đến một
thay đổi rất lớn về sau, sự thay đổi đó tăng theo hàm số mũ với thời gian.
Có những hệ vật lý phụ thuộc một cách rất nhạy cảm vào các điều kiện
ban đầu. Một vài ví dụ của những hệ thống nhạy cảm với điều kiện ban đầu là
khí quyển trái đất, hệ mặt trời, kiến tạo học, đối lưu chất lỏng, kinh tế, tăng
trưởng dân số...Chỉ cần một nhiễu loạn nhỏ là kết quả sẽ hoàn toàn khác hẳn.
Ví dụ như nếu ta điều chỉnh chỉ một chút ít thôi vị trí hoặc vận tốc ban đầu,
thì đường đi của vật sẽ bị nhiễu loạn, lúc đầu rất gần với quỹ đạo của vật khi
chưa bị nhiễu, nhưng rồi sự chệch xa của hai quỹ đạo đó sẽ tăng theo hàm số
mũ cho đến khi chúng không còn liên quan gì với nhau nữa. Đó là cái mà
người ta gọi là “hỗn độn”.
Về mặt ngữ nghĩa, từ “hỗn độn” trong ngữ cảnh khoa học mang nghĩa
khác với thông thường được sử dụng là trạng thái lộn xộn, thiếu trật tự. Thực

điểm tiếp theo. Song, ngay cả khi các quy luật của Tự nhiên không còn là điều
bí mật đối với chúng ta đi nữa, chúng ta cũng chỉ biết được tình trạng ban đầu
của vũ trụ ấy một cách gần đúng mà thôi. Nếu điều đó cho phép chúng ta dự
báo được tình trạng sau này với cùng một cỡ gần đúng như vậy, thì đó là tất
cả những gì mà chúng ta cần và chúng ta sẽ nói hiện tượng này là tiên đoán
được, và nó là do các quy luật chi phối. Song tình hình không phải bao giờ
cũng như vậy. Có thể xảy ra trường hợp trong đó những khác biệt nhỏ trong
các điều kiện ban đầu lại sinh ra những khác biệt rất lớn trong các hiện tượng
cuối cùng; điều này cũng có nghĩa là một sai số nhỏ trong các điều kiện ban

6


đầu có thể dẫn đến một sai số cực lớn trong những hiện tượng sau đó. Do vậy
mà sự tiên đoán, dự báo trở thành không thể thực hiện được”.
Mặc dù có lời báo động đó, nhưng khoa học về hỗn độn vẫn chưa thể
cất cánh được. Poincaré đã vượt quá xa thời đại của mình. Hơn nữa, thời đó
máy tính lại chưa xuất hiện để cho phép nhà toán học có thể ngoại suy xa hơn
nữa hành trạng của các hệ rất nhạy cảm với những điều kiện ban đầu này và
để kiểm chứng trực giác thiên tài của ông. Mọi chuyện cứ dậm chân tại chỗ
như thế trong hơn một nửa thế kỷ. Và ngọn đuốc chỉ được nhen lại, gần như
tình cờ, vào năm 1961 bởi nhà khí tượng học người Mỹ Edward Lorenz.
1.2. Lorenz và hiệu ứng con bƣớm
Lorenz làm việc tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) nổi
tiếng, ông thường xuyên được sử dụng một máy tính để tính toán khí tượng.
Vào đầu những năm 1960, các máy tính còn rất cồng kềnh và chẳng có chút
mỹ quan nào với một mớ bòng bong những dây điện và các đèn điện tử.
Chúng rất hay trục trặc và sẽ là một điều thần kỳ nếu như chúng có thể chạy
đều trong vòng hơn một tuần mà không có hỏng hóc gì. Thậm chí, chiếc máy
mà Lorenz sử dụng chiếm cả một phòng, nhưng nó không có được tốc độ và

Lúc đầu Lorenz tưởng rằng máy tính bị trục trặc, nhưng sau một lát suy
ngẫm, ông thấy rằng sự thực không phải vậy. Nguyên nhân gây ra sự khác
biệt giữa hai đường biểu diễn nằm ngay ở chính các con số mà ông đưa vào
máy tính như những điều kiện ban đầu của lần tính mới. Máy đã đưa ra con số
0,145237 vào lúc chương trình b ị ngắt, bộ nhớ của máy chỉ có thể lưu trữ 6
8


con số lẻ sau dấu phẩy. Nhưng khi đưa trở lại vào máy con số đó với tư cách
là điều kiện ban đầu của lần tính mới, do lười nên ông đã làm tròn số, và chỉ
gõ vào máy 0,145 chứ không gõ cả 6 số lẻ vào. Theo quán tính tư duy khoa
học trước đó, một sai lệch vô cùng nhỏ ở đầu vào sẽ không có ảnh hưởng gì
đáng kể ở đầu ra. Quán tính tư duy này sẽ đúng nếu đối tượng khảo sát chưa
đạt tới mức độ đủ phức tạp. Ông nghĩ rằng một sự khác biệt dưới một phần
nghìn chắc sẽ không gây ra chuyện gì nghiêm trọng lắm. Nhưng ông đã lầm:
một sự thay đổi rất nhỏ lúc ban đầu thực sự đã dẫn đến những thay đổi cuối
cùng rất to lớn. Hệ thống dự báo thời tiết là một hệ thống phức tạp, nên quán
tính tư duy nói trên không còn đúng nữa.
Ngoài ra, khi biểu diễn trạng thái của hệ bằng một điểm di chuyển
trong không gian hay được gọi là không gian pha, Lorenz còn thấy rằng, theo
thời gian, điểm này vẽ nên một đường cong dường như tự cuộn lại xung
quanh một vật có cấu trúc phức tạp, có tên là nhân hút lạ và ngày nay gọi là
nhân hút Lorenz. Lorenz nghiên cứu hiện tượng này, cuối cùng công bố kết
quả của mình. Trong ấn phẩm của ông, ông đã trình bày một tập hợp đơn giản
của phương trình vi phân đã mô tả hiệu ứng này. Với các phương trình vi
phân (1.1):

dx
   y  x,
dt

tới thời tiết sẽ như thế nào. Và kết quả: người ta sẽ thấy rằng trong vòng vài
ngày đầu, thời tiết được dự báo và thời tiết thực tế không khác nhau là mấy.
Ngược lại, nếu sau 6 hoặc 7 ngày lại là chuyện khác, những dự báo sẽ trở
thành không chính xác, thậm chí rất sai. Cái giới hạn của sự hiểu biết đó là
không thể đảo ngược. Và những mầm mống của nó không thể tách rời khỏi sự
vận động của Tự nhiên. Để hiểu biết được khí hậu, chúng ta có thể phủ kín

10


mặt đất cả một hệ thống các trạm khí tượng chằng chịt, cái nọ sát cạnh cái kia,
mặc dù vậy vẫn luôn có những thăng giáng nhỏ trong bầu khí quyển, nhỏ đến
mức không thể phát hiện được, song chúng vẫn có thể được khuếch đại để tạo
ra những cơn gió nhẹ hay những luồng gió xoáy gây tàn phá, và làm biến đổi
khí hậu trên toàn hành tinh. Chính vì vậy mà hỗn độn thường vẫn được giải
thích bằng cái mà người ta gọi là hiệu ứng con bướm: “một cái đập cánh của
con bướm ở Braxin có thể gây ra bão tố ở Texas”, hay là khi có sự phụ thuộc
cực kỳ nhạy cảm vào điều kiện ban đầu.
Sự hiểu biết của chúng ta không chỉ bị giới hạn bởi sự vận động của Tự nhiên,
mà còn bởi công cụ tính toán chúng ta sử dụng để phá vỡ các bức màn bí mật
của tạo hóa. Các máy tính không có những bộ nhớ vô hạn để lưu trữ những
con số kéo dài vô tận. Cũng giống như Lorenz, chúng ta luôn vấp phải vấn để
phải làm tròn các con số. Vì vậy, chúng ta không thể dự báo thời tiết dài hạn
được, việc đó chỉ là ảo tưởng mà thôi.
1.3. Một số biểu hiện của hỗn độn.
1.3.1. Tính bất định của các phép đo.
Một trong những nguyên lý cơ bản của khoa học thực nghiệm là ở chỗ
không có một phép đo nào trong thực tế có thể đạt tới độ chính xác tuyệt đối.
Điều đó có nghĩa là các phép đo phải chấp nhận một mức độ bất định nào đó.
Dù cho công cụ đo lường có hoàn hảo đến mấy thì mức độ chính xác cũng chỉ

mỗi ngôi sao tương ứng với một điểm trên mặt phẳng ấy. Nếu quỹ đạo của
ngôi sao được lặp đi lặp lại đúng như cũ, thì điểm tương ứng trên mặt phẳng
Poincaré vẫn là điểm ấy. Còn nếu nó không lặp lại, tức là nếu vòng quay
không tự khép kín, quỹ đạo của ngôi sao sẽ cắt mặt phẳng Poincaré ở một chỗ
khác và điểm tương ứng sẽ đổi chỗ. Chính nhờ theo dõi sự di chuyển liên tục
của các điểm tương ứng đó mà Hénon đã phát hiện thấy hỗn độn cũng xuất
hiện trong thế giới các vì sao. Tuy nhiên, hỗn độn đó không biểu hiện ngay
lập tức. Những quỹ đạo đầu tiên được tính toán cho các ngôi sao có năng

12


lượng chuyển động trung bình khá là ổn định. Mặc dù chúng chưa thật ổn
định và cũng không bao giờ lặp lại một cách hoàn toàn, song hành trạng của
chúng vẫn còn tiên đoán được. Các điểm tương ứng không phân bố một cách
tán loạn và ngẫu nhiên trên mặt phẳng Poincaré, mà vạch nên một đường
cong có dạng xác định, trông giống như hình một quả trứng (Hình 1.3b). Điều
này nói lên rằng trong lòng đĩa thiên hà, các vì sao di chuyển bên trong một
thể tích có dạng được gọi là hình xuyến (Hình 1.3a).

Hình 1.3. Quỹ đạo các sao và hỗn độn.
13


Hénon muốn gia tăng năng lượng chuyển động của các vì sao để quan sát xem
chúng chuyển động như thế nào. Đường cong hình quả trứng liền biến dạng
thành một hình phức tạp hơn với những hình số 8 hoặc chia nhỏ ra thành các
vòng kín riêng rẽ, giao điểm của các đường cong này và mặt phẳng Poincaré
tạo nên một đường liên tục khép kín chừng nào năng lượng chuyển động của
các sao còn chưa vượt qua một giá trị tới hạn, vậy các quỹ đạo vẫn ổn định và

thức không đổ chuông, anh ta phải lỡ hẹn, thế là mất một việc làm đã dành
cho anh ta, để rồi phải làm một công việc khác hẳn với những gì anh ta đã dự
kiến. Một người bị chậm vài giây vì thang máy của ngôi nhà bị trục trặc. Do
chậm lại một chút đó mà chậu hoa từ tầng thứ 10 rơi xuống đã không rơi
trúng đầu người đó, mà chỉ sượt qua vài xentimet...Đó là những tình huống rất
đặc trưng cho hỗn độn: những thay đổi nhỏ nhặt nhất trong cuộc sống có thể
làm cho nó đảo lộn hoàn toàn. Những sự kiện thoạt đầu chẳng quan trọng gì
lại quyết định toàn bộ chiều hướng của cả một đời người. Chỉ cẩn thay đổi
một chút những điều kiện ban đầu là số phận của bạn sẽ hoàn toàn thay đổi.
Hỗn độn thậm chí cũng có tác động đến sự tiến hóa của các loài. Chẳng
hạn như một đàn thỏ sống trong một khu rừng. Điều gì sẽ xảy ra nếu như các
nguồn thức ăn trong khu rừng đó đang cạn kiệt dần hoặc đã hết hẳn? Và điều
gì sẽ xảy ra nếu một con sói săn mồi đột ngột xuất hiện, chắc nó sẽ hài lòng
khi được ăn mỗi bữa một con thỏ? Rồi chuyện gì sẽ sẽ xảy ra đối với một cụm
dân cư nếu một bệnh dịch xảy ra và một loại virút mới xuất hiện? Để trả lời
cho những câu hỏi đó, một ngành khoa học mới đã ra đời, ngành sinh thái
học. Các nhà sinh học đã bắt đầu bằng việc tạo ra những mô hình đơn giản để
nghiên cứu sự tiến hóa của các quần thể sinh vật. Trong lĩnh vực nghiên cứu
quần thể sinh học có những thí dụ phức tạp rắm rối. Chẳng hạn những thí dụ
về quần thể ruồi dấm hoặc quần thể bọ chét dưới nước mà ta nuôi dưỡng
chúng trong phòng thí nghiệm. Chúng ta không thể nào tiên đoán được mức
độ tăng trưởng của chúng trong một số tình huống nhất định. Dưới điều kiện
15


nhiệt độ và sinh trưởng nào đó, chúng phát triển đều đặn và hoàn toàn có thể
tiên đoán được, giống như động lực học Newton cổ điển vậy. Nhưng dưới
điều kiện nhiệt độ hoặc môi trường khác, chúng trở nên vô cùng hỗn độn, và
mặc dù những phương trình dùng để mô tả sự tăng trưởng của chúng rất đơn
giản, mức tăng trưởng của chúng là không thể dự đoán được. Sự sinh trưởng

đã vượt ra ngoài phạm vi của các khoa học tự nhiên và chiếm lĩnh nhiều
ngành hoặc nhiều chuyên ngành rất khác nhau và đã được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực: toán học, nhân chủng học, địa chất học, lịch sử, kiến trúc hồi
giáo, chữ tượng hình Nhật Bản, ngôn ngữ học, âm nhạc, viễn thông, sinh học,
khoa học máy tính, kinh tế học, công nghệ học, hệ thống tài chính, triết học,
vật lý, chính trị, động học về mức tăng trưởng của các quần thể, tâm lý học và
khoa học robots. Một trong những ứng dụng thành công nhất của lý thuyết
hỗn độn là trong sinh thái học, trong đó mô hình của Ricker đã được sử dụng
để chỉ rõ các quần thể sinh học tăng trưởng như thế nào,… và vô số ứng dụng
khác nữa.

17


CHƢƠNG 2
HỖN ĐỘN VÀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ
2.1. Không gian pha
Chúng ta đang sống trong không gian ba chiều, trong không gian đó, tại
thời điểm nhất định, ta có thể biết được vị trí của một vật thể xác định bởi ba
tọa độ không gian. Để có cái nhìn toàn thể, Poincaré đã phải từ bỏ cái không
gian quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Bằng trí tưởng
tượng mạnh mẽ của mình, ông đã đưa mình vào một không gian trừu tượng
nhiều chiều, được gọi là không gian pha. Trong không gian trừu tượng này, vị
trí của một vật được xác định không chỉ bởi ba tọa độ không gian mà còn bởi
cả ba tọa độ vận tốc: vận tốc từ cao xuống thấp, từ phải sang trái và từ trước
ra sau. Như vậy đối với bài toán ba vật cũng như vậy: cần phải có 6 chiều để
mô tả Mặt trăng, 6 chiều khác để mô tả Trái đất và 6 chiều khác nữa để mô tả
Mặt trời. Do vậy để có một cái nhìn tổng thể về ba vật, cần thiết phải có một
không gian 18 chiều. Trong không gian nhiều chiều này, Hệ Mặt trời hoàn
toàn được biểu diễn chỉ bởi một điểm duy nhất, thay vì 10 điểm như trong


Một số ví dụ một số hệ trong không gian pha: Hành trạng động lực học của
một hệ có thể được biểu diễn bằng hai cách khác nhau. Cách cổ điển là biểu
diễn sự tiến hóa của hệ như một hàm số của thời gian hình (Hình 2.2) với các
hệ lần lượt a,b,c,d.

Hình 2.2. Biểu diễn của hệ theo cách cổ điển
Cách hiện đại là nghiên cứu các quỹ đạo của điểm biểu diễn trạng thái động
lực học của hệ trong không gian pha hình (Hình 2.3)

Hình 2.3. Biểu diễn của hình theo cách hiện đại
Ví dụ, ở hệ (a) hội tụ tới một trạng thái cân bằng sau rất nhiều dao động. Điều
này tương ứng với những vòng lồng vào nhau, hội tụ dẫn tới một điểm trong
không gian pha. Hệ (b) lặp lại một cách tuần hoàn và điều này tương ứng với
một quỹ đạo tuần hoàn (cyclic) trong không gian pha. Hệ (c) cũng có chuyển
động tuần hoàn, nhưng phức tạp hơn. Nó chỉ lặp lại sau ba dao động khác
nhau: người ta nói rằng nó có vòng chu kỳ (cycle of period) bằng 3, điều này
ứng với các vòng phức tạp hơn trong không gian pha. Hệ (d) là hỗn độn và
trong không gian pha nó có dạng cánh bướm và có tên là nhân hút Lorenz.

20


2.2. Mặt phẳng Poincaré.
Để khảo sát quỹ đạo của một điểm trong không gian pha, nhà toán học
Henri Poincaré đã tưởng tượng cắt quỹ đạo này bằng một mặt phẳng thẳng
đứng mà ngày nay gọi là mặt phẳng Poincaré. Các giao điểm của quỹ đạo nói
trên với mặt phẳng Poincaré vẽ nên ở đó những hình ảnh cho phép chúng ta
phân biệt được những hành trạng khác nhau của hệ. Chẳng hạn một elip trong
không gian thực tương ứng với một vòng kín trong không gian toán học này.