A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
I. LỜI MỞ ĐẦU:
1. Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá với
mục tiêu đến năm 2020 Viêt Nam sẽ từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở
thành nước công nghiệp hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định
thắng lợi của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế là
con người, là nguồn lực người Việt Nam được phát triển về số lượng và chất
lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao. Việc này cần được bắt đầu
từ giáo dục phổ thông. Nói chung đó là một hệ thống phẩm chất và năng lực
được hình thành trên một nền tảng kiến thức, kỹ năng đủ và chắc chắn.
Do sự phát triển nhanh, mạnh với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học
công nghệ thể hiện qua các lý thuyết, các thành tựu mới và khả năng ứng dụng
cao, rộng và nhanh vào thực tế buộc ngành giáo dục cần xem xét, điều chỉnh
về chương trình sách giáo khoa, quan trọng hơn là phương pháp dạy học. Nghị
quyết TƯ lần thứ 2 khoá VIII-1997 khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp
giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư
duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến,
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Học vấn mà Nhà trường phổ thông trang bị không thể thâu tóm được mọi
tri thức mong muốn. Vì vậy phải coi trọng việc dạy phương pháp, dạy cách đi
tới kiến thức của loài người. Trên cơ sở đó mà tiếp tục học tập suốt đời, mọi
người sống trong xã hội học tập. Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại
không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn, đã lĩnh
hội ở Nhà trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các
tri thức mới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng,
các hiện tượng một cách thông minh, sáng suốt khi gặp trong cuộc sống. Nội
dung học vấn được hình thành và phát triển trong Nhà trường phải góp phần
quan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh, cung
1
cấp cho học sinh những kỹ năng cần thiết cho việc tự học và tự giáo dục sau

tập đối phó, chưa có ý thức học tập một cách tích cực, chủ động, biết phát hiện
và giải quyết vấn đề.
Do tình trạng học tập môn Toán ở cấp THPT của nhiều em học sinh chỉ
mang tính chất đối phó dẫn đến năng lực cảm thụ “ cái hay, cái đẹp ’’ của môn
Toán trong từng bài học gần như thụ động lúng túng. Đây chính là điều khiến
cho các giáo viên dạy Toán rất băn khoăn, suy nghĩ. Từ những nguyên nhân
này dẫn đến các tình trạng như:
1.1) Tiếp thu kiến thức chưa được nhanh, vận dụng lý thuyết vào giải toán
chậm.
1.2) Việc chuẩn bị bài ở nhà của nhiều em học sinh còn mang tính chất đối
phó, không chịu nghiên cứu làm bài tập mà giở sách giải ra chép.
1.3) Trong giờ kiểm tra, nhiều học sinh không chịu tư duy suy nghĩ mà có tư
tưởng chép bài của những bạn khá giỏi.
1.4) Định hướng lời giải cho một bài toán chưa rõ ràng.
1.5) Nhiều học sinh không chịu tìm tòi nghiên cứu các tài liệu môn Toán để
nâng cao kiến thức của mình.
Những thực trạng trên ảnh hưởng rất lớn đến kết quả và chất lượng học
tập môn Toán của các em học sinh ở cấp THPT, trong đó Trường THPT Triệu
Sơn 3 – Thanh Hoá, đơn vị tôi công tác là một minh chứng.
2. Kết quả của thực trạng :
Từ thực trạng trên dẫn tới:
- Một số học sinh chưa hứng thú học tập môn Toán.
- Sau khi học, nhiều học sinh rất nhanh quên kiến thức.
- Chưa thành thục kỹ năng, ứng dụng vào giải toán.
Là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 12 tôi đã mạnh dạn cải
tiến nội dung, phương pháp dạy học trong tiết bài tập về tính đơn điệu của
hàm số. Tôi nhận thấy các em học sinh linh hoạt tích cực chủ động phát hiện
và giải quyết vấn đề và phát triển được tư duy lôgic và tính sáng tạo của mình.
3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

x
+
=
−
; d)
2
3 6
1
x x
y
x
− +
=
−
Trước khi học sinh giải bài tập thì GV yêu cầu học sinh nhắc lại các bước
tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số.
Lời giải:
a) Tập xác định: D = R

2
' 3 3 0 1y x x= − = ⇔ = ±
4
' 0, ( ; 1) (1; )
' 0, ( 1;1)
y x
y x
> ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
< ∀ ∈ −

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng

{ }
\ 1D R=
2
2
' 0,
( 1)
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
Vậy: Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
d) Tập xác định:
{ }
\ 1D R=
2
2 2
1
2 3 ( 3)( 1)
' 0
3
( 1) ( 1)
x
x x x x
y
x
x x
= −

− − − +

các bài tập củng cố và khắc sâu kiến thức, tôi yêu cầu học sinh giải các bài tập
sau:
Bài tập 1: Tìm m để hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
a) Nghịch biến trên R.
b) Đồng biến trên khoảng (0; 3)
Bài tập 2: Tìm m để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên
[1; )+∞
.
Để học sinh linh hoạt trong quá trình giải các bài tập, GV đặt câu hỏi:
? Điều kiện cần và đủ để hàm số
( )y f x=
đồng biến (nghịch biến) trên
khoảng (a; b).
- Hàm số đồng biến (nghịch biến) khi và chỉ khi
'( ) 0 ( '( ) 0) , ( ; )f x f x x a b≥ ≤ ∀ ∈

7
. (3) ( 1)(7 12) 0
7
m m
m
a g m m
m
a g m

∆ = − + >
≥ −



⇔ = − + ≤ ⇔ ⇔ ≥
 
≥
 
= − − ≤


Bài tập 2: Ta có
2
2
4 14
'
( 2)
mx mx
y
x

S



∆ ≥
≤ −


− ≥

⇔ ≥ ⇔ ⇔

 
+ ≥



≥


<


Do m < 0 nên những giá trị của m thoả mãn là:
14
( ; ]
5
m∈ −∞ −
Bài tập tương tự:
BT 1: Tìm m để hàm số

b. Bài tập:
* Dạng 1: Vận dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình.
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) lnx = 1- x ; b)
2
4 1 4 1 1x x− + − =
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

2 7 3
tgx tgy y x
x y
π
− = −


+ =

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3
x x x
m+ ≥
có nghiệm.
* Dạng 2: Vận dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng minh
bất đẳng thức.
Bài tập 4: Cho
0
2

1
'( ) 1 0,f x x D
x
= + > ∀ ∈ ⇒
f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác, ta lại có: f(1) = 0 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
b.
2
4 1 4 1 1x x− + − =
.
Điều kiện:
2
4 1 0
1
4 1 0
2
x
x
x
− ≥

⇔ ≥

− ≥

Ta nhận thấy: số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
2
4 1 4 1y x x= − + −
với đường thẳng y = 1

tgx tgy y x
x y
π
− = −


+ =

. Điều kiện:
, ,
2
x y k k Z
π
π
≠ + ∈
Phương trình
tgx tgy x y tgx x tgy y− = − ⇔ + = +
(*)
Xét hàm số
( ) , D=R\ ,
2
f t tgt t k k Z
π
π
 
= + + ∈
 
 
2
1



. Hệ phương trình có nghiệm
( ; ) ( ; )
3 3
x y
π π
=
.
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3
x x x
m+ ≥
có nghiệm.
9
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
1 sin
sin
sin
2 3
( )
3
3
x
x

2 1
1 ( ) 3( ) 4
3 9
x x
≤ + ≤
.
Từ đó suy ra được bất phương trình có nghiệm khi
1 4m≤ ≤
.
Bài tập 4: Cho
0
2
x
π
< <
. Chứng minh rằng sinx < x.
Xét hàm số
( ) sinf x x x= −
trên miền xác định
(0; )
2
D
π
=
Ta có:
'( ) cos 1 0,f x x x D= − < ∀ ∈ ⇒
Hàm số nghịch biến trên D
Do đó:
( ) (0), sin 0, sin ,f x f x D x x x D x x x D< ∀ ∈ ⇔ − < ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈
Bài tập 5: Chứng minh rằng

x D

=


= − = ⇔

= − ∉


Bảng biến thiên
x
0
3
3
1
y’ + 0 -
10
y

2 3
9
0 0
Từ bảng biến thiên
2 3
( ) , (0;1)
9
y f x x⇒ = ≤ ∀ ∈
Đẳng thức xảy ra khi
3
3
a b c= = =
Khi làm bài tập, giáo viên cần đưa ra hệ thống bài tập, dẫn dắt giúp học
sinh phát hiện ra hướng giải quyết bài toán, tạo được một nhu cầu học tập tích
cực của học sinh.
Ví dụ như khi học sinh giải bài tập 1, giáo viên gợi ý cho học sinh xét
hàm số f(x) = lnx + x – 1 trên miền xác định
(0; )D = +∞
.Từ gợi ý đó học sinh
sẽ tự đặt ra câu hỏi vì sao lại như vậy và suy nghĩ trả lời để tìm ra con đường
hợp lý giải bài toán.
Bài tập tương tự:
BT1: Giải phương trình
2 2
3 2 1x x x x− − − + − =
BT2: Giải và biện luận phương trình:
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
BT3: Giải hệ phương trình:
11

4
6 2

BT5: Chứng minh rằng với
0
2
x
π
< <
thì
3
1
2sin
2
2 2 2
x
x tgx
+
+ >
.
4) Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần tuần tự nâng cao yêu cầu đối
với học sinh, từ đó sẽ phát huy được tính tích cực, tính sẵn sàng học tập và sự
phát triển trí tuệ của học sinh.
Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn trong quá trình giải toán, giáo
viên có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu. Sau khi học sinh đã đạt được nấc thấp
nhất này, yêu cầu lại được tuần tự nâng cao.
Đối với học sinh khá, giỏi thì giáo viên dạy cần đưa ra những bài tập đòi
hỏi tính sáng tạo cao, và dẫn dắt giúp học sinh phát hiện ra hướng giải quyết
của bài toán, tạo được một nhu cầu học tập tích cực của học sinh.
Khi học xong tính đơn điệu của hàm số, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài
tập sau:
Bài tập 1:
a, Xét tính đơn điệu của hàm số

' 2 1y ax ax= − + −
. Để hàm số nghịch biến trên R thì
' 0,y x R≤ ∀ ∈

2
2 1 0,ax ax x R⇔ − + − ≤ ∀ ∈
.
TH1: a = 0. Khi đó
' 1 0,y x R= − < ∀ ∈
. (Thoả mãn).
TH2:
0a ≠
. Khi đó điều kiện là
2
0 0 0
0 1
' 0 0 0 1
a a a
a
a a a
− ≤ > >
  
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
  
∆ ≤ − ≤ ≤ ≤
  
Kết hợp các trường hợp trên ta được:
[0;1]a∈
Bài tập tương tự:
a, Xét tính đơn điệu của hàm số:

- Điều khiển phân hoá của thầy, cô giáo.
- Tác động qua lại giữa những người học.
3>Phân hoá bài tập về nhà.
- Phân hoá về số lượng bài tập cùng loại phù hợp với từng loại đối tượng để
cùng đạt một yêu cầu.
- Phân hoá về nội dung bài tập để tránh đòi hỏi quá cao đối với học sinh yếu,
kém và quá thấp đối với học sinh giỏi.
- Phân hoá yêu cầu về tính độc lập: bài tập cho diện yếu kém chứa nhiều yếu
tố dẫn dắt hơn là bài tập diện khá, giỏi.
- Ra riêng những bài tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho những học sinh
yếu kém để chuẩn bị cho những bài học sau.
- Ra riêng những bài tập nâng cao cho những học sinh khá, giỏi.
Một khả năng dạy học phân hoá thường dùng là phân hoá nội tại.
Ví dụ: Bài tập phân hoá nhằm củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

3 2 4 2
2
, y 3 1 , 10 9
3 3
, y ,
1 1
a x x b y x x
x x x
c d y
x x
= + + = − + −
− +
= =
− +

Đối với học sinh yếu và trung bình giáo viên yêu cầu các em tuần tự làm
các bài tập 1, 2. Trong khi đó những học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài tập 1,
dành thời gian làm các bài tập 2, 3.
Trong khi học sinh giải bài tập giáo viên cần chú ý đến hoạt động của từng
loại học sinh và có sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo cần thiết, cụ thể.
6) Xây dựng hệ thống bài toán như một cơ sở kiến thức và kỹ năng
để giải toán.
Muốn giải toán, trước hết cần phải phân tích kỹ để nắm được đặc điểm và
bản chất của bài toán, các yếu tố cấu tạo nên bài toán đó. Công việc sáng tạo
các bài toán mới, trước hết có thể đi từ việc thay đổi các điều kiện đã cho của
một bài toán để tìm kết quả mới. Để phát triển tư duy của học sinh trong quá
trình dạy học người giáo viên có thể từ một bài toán bằng cách thay đổi hình
thức, chuyển hoá nội dung để biến đổi thành nhiều bài toán khác.
Ví dụ: Từ bài tập xét tính đơn điệu của hàm số
ln 1y x x= + −
, ta có thể
chuyển hoá thành các dạng bài tập sau:
BT1: Chứng minh rằng hàm số
ln 1y x x= + −
đồng biến trên tập xác định của
nó.
BT2: Giải phương trình
ln 1x x= −
BT3: Chứng minh rằng phương trình
ln 1 0x x+ − =
có nghiệm duy nhất. Tìm
nghiệm đó.
Tương tự từ bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
3
sin

xét tính đơn điệu của hàm số( với cùng một đề) như sau:
Đề bài:
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
3 2
1
3 1
3
y x x x= − − +
Câu 2:Xác định m để hàm số
2
3y x mx= − +
đồng biến trên khoảng
( 1; )− +∞
Câu 3: Xác định m để hàm số
2
2 2x mx m
y
x m
− + +
=
−
đồng biến trên từng
khoảng xác định của hàm số?
Câu 4: Giải phương trình
2
1 2
2 ( 1) 2
x x x
x
− −

- Đưa tiêu chuẩn trường có đủ phương tiện dạy học, có các phòng học bộ
môn…vào tiêu chuẩn xét thi đua của trường.
3) Những khai thác về tính đơn điệu của hàm số mà tôi trình bày ở đây có
thể chưa đầy đủ. Song bài viết này tôi mong muốn được chia sẻ cùng với đồng
nghiệp những suy nghĩ, trăn trở của mình về việc rèn luyện kỹ năng giải toán,
rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua cách giải một số
bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
Vì điều kiện thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên bài viết không
thể tránh được những thiếu sót. Rất mong được các bạn độc giả góp ý.

17