SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ
GIỎI LỚP 12 THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN
ĐIỆU, CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ f'(x)

Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC...................................................................................................................................2
I. MỞ ĐẦU.................................................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài...............................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................1
II. NỘI DUNG............................................................................................................................1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.........................................................................1
2.1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành.........................................1
2.1.2. Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch biến và điểm cực đại, điểm cực tiểu của
hàm số bằng đồ thị hàm số f'(x)..........................................................................................1
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..........................................2

trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số
y = f ′( x ) .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành là nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm f ( x) = 0.
2.1.2. Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch biến và điểm cực đại, điểm
cực tiểu của hàm số bằng đồ thị hàm số f'(x).
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình
vẽ. Khi đó:
+ Hình 1: Hàm số đồng biến trên ( −∞; x0 ) , nghịch
biến trên ( x0 ; +∞ ) và đạt cực đại tại x0 .
+ Hình 2: Hàm số nghịch biến trên ( −∞; x0 ) , đồng
biến trên ( x0 ; +∞ ) và đạt cực tiểu tại x0 .

Trang 1


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Hiện nay, đa số các em học sinh còn rất lúng túng trong việc giải các bài
toán liên quan đến đồ thị hàm số f ′ ( x ) . Với mong muốn có một hệ thống các
bài tập liến quan đến liên quan đến đồ thị hàm số f ′ ( x ) để các em làm tốt hơn
các bài tập thuộc dạng này, đặc biệt có liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của
hàm số.
Vì vậy, bản thân tôi cũng đã viết được sáng kiến kinh nghiệm cho mình:
"Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 12 thông qua các bài
toán về tính đơn điệu , cực trị liên quan đến đồ thị hàm số f'(x)"

A. Hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị.
B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng
( 1;3) .
C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng
( −∞;2 ) .
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 4;+∞ ) .
Hướng dẫn:
Trên khoảng ( 1;3) ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm trên trục hoành nên
chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ
thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Mệnh đề nào sau
đây ĐÚNG?
A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng
( −∞; −2 ) , ( 0; +∞ ) .
B. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng
( −2;0 ) .
C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −3; +∞ ) .
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
Hướng dẫn:
Trên khoảng ( −3; +∞ ) ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm trên trục hoành
nên chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ
thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Mệnh đề nào sau
đây ĐÚNG?
A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −4;2 ) .
B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .
C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng
( −∞; −4 ) và ( 2; +∞ ) .
Hướng dẫn:

định, liên tục trên ¡ và f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1) và
( 1; +∞ ) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 1; +∞ ) .
D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ¡ .
Hướng dẫn:
Trên khoảng ( 1;+∞ ) đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm
phía trên trục hoành nên chọn đáp án C.
4
3
2
Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e
( a ≠ 0 ) . Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x )
và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó
nhận xét nào sau đây là SAI?
Trang 4


A. Trên ( −2;1) hàm số f ( x ) đồng biến.
B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn [ −1;1] .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 )
Hướng dẫn:
Chọn đáp án: B.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và
xác định trên ¡ . Biết f ( x ) có đạo hàm
f ′ ( x ) và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như
hình vẽ. Xét trên ( −π; π ) , khẳng định nào

Trang 5


A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ¡ .
B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ¡ .
C. Hàm số f ( x ) chỉ nghịch biến trên khoảng
( 0;1) .
D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;+∞ ) .
Hướng dẫn:
Trong khoảng ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ′ ( x )
nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) ta
chọn đáp án C.
Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số y = f(x), y = f(x ± a), y = f(x) ± ax
Ví dụ 12: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng
K , biết đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) trên K như
hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x )
trên K .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y = f ′ ( x ) cắt trục Ox tại bao nhiêu
điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị y = f ′ ( x ) tiếp xúc với trục Ox . Ta
chọn đáp án B.
Nhận xét: Xét một số thực a dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị
của hàm số y = f ( x + a ) hoặc y = f ( x − a ) trên K , thì đáp án vẫn không thay
đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x + a ) và y = f ( x − a ) là
bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị x0 khác nhau!
Giả thiết ở Ví dụ trên và các Ví dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:

K?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn:
Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x + 1) có đồ thị là phép tịnh
tiến của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi
đó đồ thị hàm số g ′ ( x ) = f ′ ( x + 1) vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án
B.
Ví dụ 16: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x )
của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó
trên K , hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành tại
1 điểm nên chọn đáp án A.

Trang 7


Ví dụ 17: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và
liên tục trên ¡ . Biết đồ thị của hàm số f ′( x)
như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số
y = f ( x) ?
A. x = 0 và x = 2.

nên đồ thị hàm số f ′ ( x + 2019 ) vẫn cắt trục hoành tại
3 điểm. Ta chọn đáp án C.
Ví dụ 20: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ
thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm số
y = g ( x ) = f ( x ) + 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:

Trang 8


Ta có y′ = g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 4 nên đồ thị là phép
tịnh tiến đồ thị hàm số f ′ ( x ) theo phương Oy lên trên
đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g ′ ( x ) cắt trục hoành tại 1
điểm, ta chọn đáp án A.

4

Ví dụ 21: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có
đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số
y = g ( x ) = f ( x ) − 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:
y′ = g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 3 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ

Trang 9


Ví dụ 23: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục
trên ¡ , có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ
sau. Đặt g ( x ) = f ( x ) + x . Tìm số cực trị của hàm số
g ( x) ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4
Hướng dẫn:
Ta có
. Đồ thị của hàm số
là
g′( x ) = f ′( x ) + 1

g′( x )

phép tịnh tiến đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) theo phương
Oy lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g ′ ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt, ta chọn đáp án B.

Ví dụ 24: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có
đạo hàm f ′ ( x ) và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị
như hình vẽ. Đặt g ( x ) = f ( x + 1) . Kết luận nào
sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực trị.
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng
( 1;3) .

Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = −1.
B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.
C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = − 2.
D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = − 2 .
Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = −2 nên
chọn đáp án C.
Ví dụ 26: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡
và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong
trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây ĐÚNG?
A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 2
và x = 0 .
B. Hàm số y = f ( x ) có 4 cực trị.
C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = −1 .
D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = −1 .
Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = −1
nên ta chọn đáp án C.
Ví dụ 27: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có
đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây ĐÚNG?
A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2 .
B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0 .
C. Hàm số y = f ( x ) có 3 cực trị.
D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2 .
Trang 12


Hướng dẫn:

⇔
x −1 > 5
x > 6

Ta chọn đáp án B.

Trang 13


Cách 2: Đồ thị hàm số g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) là
phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo
phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) cắt trục hoành
tại các điểm có hoành độ x = 2; x = 4; x = 6 và
giá trị hàm số g ′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm
khi qua điểm x = 4 . Ta chọn đáp án B.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục
trên ¡ , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) là đường
cong ở hình bên. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 3 .
B. Hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu thuộc
khoảng ( 2;3) .
C. Hàm số y = f ( x ) có đúng hai điểm cực
trị.
D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 1 .
Trả lời: Chọn D.
Bài 2: Cho hàm số đa thức y = f ( x ) xác
định và liên tục trên ¡ có đồ thị
y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Chọn phát biểu

Trả lời: Chọn A.
Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )
trên ¡ . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ′ ( x )
. Phương trình f ( x ) = m với m ∈ ¡ có nhiều nhất
bao nhiêu nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Trả lời: Chọn A.
Bài 6: Cho hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
2 f x +1
f x
y =e ( ) +5 ( ) .
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Trả lời: Chọn D.
Ta có
2 f x +1
f x
y′ = 2 f ′ ( x ) .e ( ) + f ′ ( x ) .5 ( ) ln 5
2 f x +1
f x
= f ′ ( x )  2.e ( ) + 5 ( ) ln 5
Khi đó: y′ = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 0 (do 2.e2 f ( x ) +1 + 5 f ( x ) ln 5 > 0 ).
Bài 7: (SỞ NAM ĐỊNH 2018) Cho hàm số
y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số

Trung bình
Khá
Giỏi
Thời gian
bình
Lần 1
10/43
25/43
5/43
3/43
Lần 2
15/43
18/43
10/43
Nhanh hơn
Sau khi áp dụng tôi cảm thấy hài lòng với kết quả trên, đa số các em hiểu và giải
quyết tốt được vấn đề.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm đã tương đối thể hiện đầy đủ các dạng toán liên
quan đến đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) và phương pháp giải.
Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi
giải quyết các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) từ đó đạt
kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
3.2. Kiến nghị
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng
nghiệp một số kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy được trong nhiều năm giảng
dạy. Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm này quý thầy cô giảng dạy sẽ lồng
ghép sử dụng hình động vào bài giảng của mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ
hiểu hơn cho học sinh.