TỔNG HỢP LỜI GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Vậy là kỳ thi THPT QUỐC GIA đã tới và đã trôi dần qua những môn thi đầu tiên nhưng có lẽ để lại nhiều sức
hút nhất đó vẫn chính là môn TOÁN, môn học yêu thích bởi đại đa số học sinh, sinh viên. Đề thi thì cũng đã
xuất hiện cũng như rất nhiều đáp án, các bạn có thể xem trên moon.vn nơi cập nhất đáp án nhanh và chuẩn
xác. Rõ ràng có nhiều ý kiến trái chiều xung quanh đến cái đề TOÁN đó, lời ra tiếng vào, người này cho là thế
này, người kia lại đánh giá khác. Đó cũng là sự thú vị mà nó mang lại, nhưng riêng bản thân mình thì cho rằng,
đã là một đề thi THPT QUỐC GIA là nó sẽ hay, thực tế cũng chỉ ra điều đó, năm nào cũng có cái hay cái đẹp.
Và để lại ấn tượng với mình nhất chính là câu 10: Tìm giá trị lớn nhất … Một câu bất đẳng thức đẹp cũng như
người con gái đẹp vậy, nhiều chàng trai mê mẩn, cưa cẩm nhưng chẳng dễ mà đổ được, thì câu này cũng thế,
rất đẹp và rất nhiều lời giải đẹp xung quanh nó. Cuối cùng là chờ đón số điểm 10 môn TOÁN năm nay sẽ là
con số bao nhiêu, khi BẤT ĐẲNG THỨC năm nay nhẹ hơn năm ngoái nhưng cũng chẳng dễ dãi. Do vậy,
mình viết bài này là tổng hợp các lời giải của bài BẤT ĐẲNG THỨC từ mình, từ một số nguồn … để người
đọc, người đam mê TOÁN HỌC có cái nhìn cụ thể và tổng quát hơn. Nào chúng ta đi bắt đầu …

“ Cho các số thực
, ,a b c
thuộc đoạn
 
1;3
và thỏa mãn
6
a b c
  

, , 1;3
1; 2; 3
6
a b c
a b c
a b c



   

  


. Và rồi thay ngược lại biểu thức cực trị, điểm rơi
nào cho GTLN lớn hơn ta lấy điểm rơi đó.

Xong cơ sở phân tích, tiếp tục quan sát biểu thức cực trị và giả thiết, ở tử số có xuất hiện tổng của các bình
phương của ba hạng tử, ta phải nghĩ ngay ra là
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c

abc
, được hiểu là ba biểu thức chứa
, ,a b c
nhân
với nhau, vậy nên khi kết hợp với điểm rơi đã cho cùng giả thiết, ta có được
   
   
1 1 1 0
3 3 3 0
a b c
a b c

   


   


. Khi
đã xác định được biểu thức này, ta nhân phá ra như sau
      
   
   
1 1 1 0 1 1
1 0
5 0 5 1
a b c ab a b c
abc ab bc ca a b c
abc ab bc ca abc ab bc ca
        

2
12
3
a b c
ab bc ca
 
   
. Về cái điều kiện đó mình sẽ không bàn
đến nữa. Bây giờ, quan trọng là tìm chặn dưới như thế nào. Nếu các bạn loay hoay tìm nó, mà chưa có ý tưởng,
vậy thì hãy đạo hàm biểu thức cực trị ngay lập tức, đó là
 
2
72 5
2
t t
P f t
t
 
  
với
12
t

thì hàm số
 
f t

này nghịch biến, và điều khá thú vị xảy ra là nếu
   
t y f t f y

 
3 27 5 11
ab bc ca abc ab bc ca ab bc ca
           
. Coi
như bài toán của chúng ta đã giải quyết xong. Nhưng khi kết luận điểm rơi, cần cho thêm … và các hoán vị.

Ở trên, mình đã đi phân tích cái hướng để mình giải quyết trọn bài toán này và theo cá nhân nghĩ thì cách trên
chắc sẽ là cách của BỘ GIÁO DỤC đưa ra, hoặc là BỘ GIÁO DỤC có một đáp án thú vị hơn, hãy cùng chờ
đón nhé, dưới đây mình sẽ tổng hợp lại một số lời giải vắn tắt khác …

Cách 1 ( Nguyễn Thế Duy – moon.vn – facebook ).
Bài ra, chúng ta có
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c
a b b c c a abc
       
     
   

Do đó suy ra

5
11
3 27
3 3 3 0
a b c
abc ab bc ca
ab bc ca
abc ab bc ca
a b c

   
   

 
    
 
   
   





Và từ đó, ta có được
 
2
72
5
2
ab bc ca

, , 0;2
3
x y z
x y z




  


và biểu thức cực trị đã cho
tương đương với:
 
 
2
72
1 72 1
2 2
72 1
9 4
9 2
ab bc ca
P abc ab bc ca abc
ab bc ca ab bc ca
xy yz zx xy yz zx xyz
xy yz zx
  
      
   

        

Lại có điều sau do các biến đối xứng nên giả sử
 
       
2
2
max , , 3 3 1
1 2 0 5 1 2 5 3 5
x x y z x y z x x
x x x x x x
       
            

Từ đó suy ra
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2
3 5
5 2
2 2
x y z x y z
x y z xy yz zx
    

        
, đồng thời kết hợp

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
12
ab bc ca a b b c c a a bc ab c abc
a b b c c a abc a b c
a b b c c a abc
       
     
   

Do đó suy ra
 
2
2 2 2 2 2 2
72
12 72 1 1
2 2
ab bc ca
a b b c c a abc
P abc abc
ab bc ca ab bc ca
  
   
   
   

Đặt

5 0 5
5
3 27 0 3 27
11 12
0 ' 36 3 0
f x
q r r q
r q
q r r p
q
q


    

 



      
  
 

 
     



Và cuối cùng, suy ra
 

 
2
2 2 2 2 2 2
72
12 72 1 1
2 2
ab bc ca
a b b c c a abc
P abc abc
ab bc ca ab bc ca
  
   
   
   

Với
 
, , 1;3
a b c 
suy ra
      
   
 
1 1 1 0 1 1
1 0
5 0 5
a b c ab a b c
abc ab bc ca a b c
abc ab bc ca abc ab bc ca
        

do đó bộ
 
3;2;1
trội hơn bộ
 
; ;a b c
, mà
 
' 2
f x

suy ra
 
f x
là hàm lồi. Vậy áp dụng bất đẳng thức Karamate chúng ta có
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
36 14
3 2 1 14 11
2 2
a b c a b c
a b c ab bc ca
    

           

Với


Nguyễn Thế Duy
Hà Nội, 2 – 7 – 2015
Facebook: Nguyễn Thế Duy
E – mail: [email protected]