BUỔI 01
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
A. Lý thuyết
1. Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức , nhân đa thức với đa thức và viết
dạng tổng quát.
A.(B+C) = AB+ AC
( A+B).(C+ D) = AC+ AD+ BC+BD
2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A+B)
2
= A
2
+2AB +B
2
2. (A-B)
2
=A
2
-2AB +B
2
3. A
2
- B
2
=( A-B)(A+B)
4. (A+B)
3
=A
3
+3A
2

)
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm các hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp
- Thêm, bớt cùng 1 hạng tử - Tách hạng tử
- Đặt biến phụ - Nhẩm nghiệm của đa thức
Bài 1: Làm tính nhân:
b) ( -2x
3
+
3
4
y
2
-7xy) 4 b) ( 5x – y)
2

c)
( ) ( )
3 2 3 2− +
d)
2 2
2 2
x y . x y
5 5
   
+ −
 ÷ ÷
   
e) (x

3
- 2x
2
+ x b) x
2
– 2x – 15
c) 5x
2
y
3
– 25x
3
y
4
+ 10x
3
y
3
d) 12x
2
y – 18xy
2
– 30y
2
e) 5(x-y) – y.( x – y) f) y .( x – z) + 7(z-x)
g) 27x
2
( y- 1) – 9x
3
( 1 – y) h) 36 – 12x + x

Bài 7: Làm tính chia: ( x
4
– 2x
3
+ 2x – 1): ( x
2
– 1)
Bài 8: a, Giá trị của m để x
2
– ( m +1)x + 4 chia hết cho x -1
Bài 1: Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến x, biết:
a) A= (2x +5)
3
- 30x (2x+5) -8x
3

b.Tìm a để đa thức f(x) = x
4
– 5x
2
+ a chia hết cho đa thức g(x) =x
2
– 3x + 2
Bài 2: Tìm x, biết
a) 7x
2
– 28 = 0 b)
( )
2
2

a) Chứng minh AE vuông góc với BF
b) Tứ giác ECDF là hình gì ? Vì sao?
c) Tứ giác ABED là hình gì ? Vì sao?
d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B . Chứng minh tứ giác BMCD là
hình chữ nhật.
e) Chứng minh M, E, Dthẳng hàng
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M, N theo thứ tự là trung
điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD
với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD
a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang
b) PMQN là hình gì?
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông
Bài 5: Cho tam giác ABC (AB<AC), đường cao AK. Gọi 3 ®iÓm D, E , F lần lượt
là trung điểm của AB, AC, BC.
a) BDEF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh DEFK là hình thang cân
c) Gọi H là trực tâm của tam gíac ABC. M,N, P theo thứ tự là trung điểm
của HA, HB, HC. Chứng minh các đoạn thẳng MF, NE, PD bằng nhau và cắt nhau
tại trung điểm mỗi đoạn.
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm, BC=10cm,. Gọi AM là trung
tuyến của tam giác.
a) Tính đoạn AM
b) Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc Với AC. Tứ giác ADME có
dạng đặc biệt nào?
c) DECB có dạng đặc biệt nào?
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC.
Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh các tam gíac ABD, ACD vuông
b) Gọi I là trung điểm AD. Chứng minh IA=IB=IC=ID
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 60

trung điểm của GM.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật , AMGN là hình thoi.
c) Chứng minh AMBN là hình thang. Nếu AMBN là hình thang cân thì
∆
ABC có thêm đặc điểm gì?
Bài 3. Cho
∆
ABC vuông tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH. Trên
tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA .
a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh: BC // ID.
c) Chứng minh: Tứ giác BIDC là hình thang cân.
d) Vẻ HE
⊥
AB tại E , HF
⊥
AC tại F. Chứng minh: AM
⊥
EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C. GọI M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC và AB. Gọi P là điểm đốI xứng của M qua điểm N
a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật
c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh: BQ = 2PQ
d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình
vuông ? Hãy chứng minh ?
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm BC. Gọi M là điểm đối
xứng của D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng của D
qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ADBM là hình gì? Vì sao?

A(x)
B(x)
là một phân thức của biến x. Hãy nêu điều kiện của biến x để
giá trò của phân thøc ®ỵc x¸c ®Þnh
B. Bµi tËp
Bµi 1: Cho ph©n thøc:
2
3
3x 6x 12
x 8
+ +
−
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ ph©n thøc ®· cho ®ỵc x¸c ®Þnh?
b) Rót gän ph©n thøc?
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa ph©n thøc sau khi rót gän víi x=
4001
2000
Bµi 2: Cho biĨu thøc sau:
2
3 2
1 x x x 1 2x 1
A . :
x 1 1 x x 1 x 2x 1
 
+ + +
= −
 ÷
− − + + +
 
a) Rót gän biĨu thøc A?

2
22
+







+

+

+
=
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định ?
b) Tính giá trị của A tại x = 20040 ?
Bài 6: Cho phân thức
2
2
x 10x 25
x 5x
+

a) Tìm giá trị của x để phân thức bằng 0?
b) Tìm x để giá trị của phân thức bằng 5/2?
c) Tìm x nguyên để phân thức có giá trị nguyên?
Bài 7: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành 1 phân thức đại số:
1

3
2 2 2
1 x x 1 1
e) .
x 1 x x x 2x 1 1 x


+
ữ
+ +

Bài 8: Chứng minh đẳng thức:
3 2
9 1 x 3 x 3
:
x 9x x 3 x 3x 3x 9 3 x


+ =
ữ ữ
+ + +

Bài 9: Cho biểu thức:
2
x 2x x 5 50 5x
B
2x 10 x 2x(x 5)
+
= + +
+ +

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD =
5cm và
·
·
DAB DBC=
a) CMR: ABD BDC
b) Tính cạnh BC; DC
Bài 5: Cho tam giác ABC; có AB = 15cm;
AC = 20cm; BC = 25cm.
a) Chứng minh: ABC vuông tại A
b) Trên AC lấy E tuỳ ý , từ E kẻ EH
⊥
BC tại H và K là giao điểm BA với HE.
CMR: EA.EC = EH.EK
c) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Qua E kẻ đường thẳng bất kỳ cắt AB; CD lần
lượt tại M; N. Tính
ME
?
NE
=
Bài 3: Cho tam giác ABC vng tai A có AB = 6 cm; AC = 8cm. Trên một nửa
mặt phẳng bờ AC khơng chứa điểm B vẽ tia Ax song song với BC. Từ C vẽ CD
⊥
Ax ( tại D )
a) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng.
b) Tính DC.
c) BD cắt AC tại I. Tính diện tích tam giác BIC.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D,E
theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.
a) Chứng minh

Ta có hệ phương trình:
7
2
.x =
5
2
(x + 20)
=> x = 50 (thoả ĐK)
Vậy qng đường AB là: 50. 3,5 =
175km
* Bài tập tự giải:
1) Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi
cháu , biết rằng sau 10 năm nửa thì tuổi
ông chỉ còn gấp 4 lần tuổi cháu . Tính
tuổi mỗi người hiện nay.
( ĐS: Cháu 10 tuổi ; ông 70 tuổi)
2) Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết
thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì
số ấy tăng thêm 1219 đơn vò .
x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện nay.
Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau .
x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm sau
Theo đề bài ta có phương trình:
3(x + 8) = x + 38
 3x + 24 = x + 38
 2x = 14
 x = 7 ,thoả ĐK
Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi mẹ là
37 tuổi .
2) Lúc 6h sáng, một xe máy khởi

Giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x >
20)
x + 20 (km/h) là vận tốc của ơtơ
7
2
.x là qng đường xe máy đi được
(ĐS: số 135)
3) Một người đi xe đạp từ A đến
B với vận tốc trung bình15km/h.
Lúc về người đó đi với vận tốc
12km/h nên thời gian về nhiều
hơn thời gian đi là 45 phút. Tính
độ dài qng đường AB.
4) Một canơ xi dòng từ bến A
đến bến B mất 5 giờ và ngược
dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ.
Tính khoảng cách giữa hai bến A
và B, biết rằng vận tốc của dòng
nước là 2km/h.
5
2
(x + 20) là quãng đường ôtô đi
được
Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm
việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết
5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 2. Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h .
Sau khi đi được
2

3
−
> -7;
IV. Các bài tập đại số khác khác:
1)Tìm x biết: a)
2
1
x 1
>
−
; b) x
2
< 1; c) x
2
– 3x + 2 < 0
2) Tìm x để phân thức:
2
5 2x−
không âm .
3) Chứng minh rằng: 2x
2
+4x +3 > 0 với mọi x
4) Giải các phương trình: a) x
2
– 7x – 30 = 0;
b) (x
2
+ x + 3) (x
2
+ x + 4) = 12;