SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(3.0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2
2
2
10
1
2 12
x
x
y y
x x
y

  




  


( 1)
2013
n
n
n n
n
u
u u n






  



Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số


n
u
?

Câu 3:(2.5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a,
AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Biết SD vuông góc với AC.
a) Tính SD.

HẾT Trang:
1

-

Đáp án Toán 11

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
(Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập

a) ĐK:
0
y

. Đặt
1
1;a x b
y
  

Ta có hệ phương trình trở thành

2 2
11
5 7 2 3
( )
6 18 3 2
13

 

 


TH2:
3
1
( ; ) 2;
2
2
a
x y
b


 
 

 

 


1,5 điểm0,25

0,75

x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x
x x x k k Z
x
x


  
    
 
     
 
    
 

 


      
 







          

Ta có:


2
2
4 2 2
4 2 2
2 4
1
1
1 1
lim 1 lim lim
2
1 1
1
1 1
n
n
n n n
n n n
n n
 

 
 

 
     

0,25

0,25

0,25

0,25 b)
*
0,
n
u n N
  
1 1
1 1
1 1
2013 2013
n n n n
n n n n
n n
u u u u
 
 
    



Suy ra:
1
1
1
1 2 1
1
1
1 1 1
2013

2013 2013 2013 2012
n
n
n
n
u u


 

 
 
     1
1
1
2013

   
 
      
(Cô si)
Mặt khác
2013
lim 1 1
n
 
 
 
 
. Vậy
lim 1
n
u
1,5 điểm

0,25
Q
J

2,5 điểm 0,25

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.
Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD.
Ta có: DT=AC=
3
a
.
Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a,
0
120
SCT 
7
ST a
 

Xét tam giác vuông SDT có DT=
3
a
,
7 2


2 .
.
3
2( 3)
3
a
a x
NJ AN OM SD OM
NJ a x
a
SD AD OD OD
 

 
 
      



2 . 3
. 2
( 3 )
3 3
a a x
KM BM SD BM
KM a x
SD BD BD
a


khi
3
4
x a
 0,25

0,25
0,25
0,25 0,25

Mặt khác
lim ( )
x
f x

 
, nên tồn tại 2 số
0; 0
 
 
sao cho
( ) 0; ( ) 0
f f
 
 
. Do đó
(0). ( ) 0; (0). ( ) 0
f f f f
 
 
.
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng
( ,0)


và
(0, )


1.0 điểm

 
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
( 1) ( 1)
a b c x a c x ax c x
x x x x
 
 

 
            
 
 
 
 

2 2
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
ax c x ax c x
x x x x
   


 
 
   

 
với
2
0
2
0
1
2
t x
x
  

Mặt khác:
2
2
4
3 4 4 0 ( 2)(3 2) 0
1 3
t
t t t t
t
        

(đúng do
2
t

 
)
1.0 điểm
0,25

0,25
0,25
0,25