TUY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNHMIN - MAX

C
ẨM NANG CHO M
ÙA THI

NGUY
ỄN HỮU BIỂNEmail:
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề

= + +
+ + +

Hướng dẫn
Ta có
1 1
+ + = ⇒ + = −
x y z x y z
, ta có:
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
x y z z
xy z xy x y x y

1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
y z x x
yz x yz y z y z

1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −

x z3
1 1 1
3 . . 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
− − −
≥ =
− − − − − −
z x y
x y y z x z
.
Vậy
3
=
MinP
đạt được khi
1
3
= = =
x y z

Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng với
1
a
∀ ≥
ta luôn có :
1 1 1

− − ≤

, .
x y R
∀ ∈
Suy ra
x y y x
x y x y
a a a a
+ ≤ +
(1)
Chứng minh tương tự
y z y z
y z z y
a a a a
+ ≤ +
(2)
z x z x
z x x z
a a a a
+ ≤ +
(3)
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được
2( )
x y z x y z
x y z y z z x x y
a a a a a a
+ + +
+ + ≤ + +
(4)

CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
2

NGUYỄN HỮU BIỂN - Suy ra
1 1 1
.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + +
( do x + y + z = 3 )
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)
Bài 3: Cho
, ,
a b c
là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
3.

≤
+ +

Tương tự ta có:
2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c
≤ ≤
+ + + +

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + ≤ + + = =
+ + + + + +
□
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1, 3 1, ( , , 0).
abc ab bc ca a b c a b c
= + + = ⇒ = = = >

Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
0,0,221221 >>+−<<−− zyx

)1(8
1
)1(
1
)1(
1
)1(8
1
)1(
1
)1(
1
xzyxyz
P
+−
+
+
+
+
=
−−−
+
−−
+
−−
=
Ta sẽ chứng minh
yzzy
+
≥

222
)1()222)(1( yzzyyzyzyz +++≥+++++⇔

22
2
)()1)((2)1(
)1(2))(1()1(2)1)((2
yzzyyzzy
yzzyzyzyyzzyyz
++++++≥
++−++++++⇔
04)()1(242))(1(
22222
≥−−−+−+++−+⇔ yzzyyzzyyzzyzy

0)1()(
22
≥−+−⇔ yzzyyz
(hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra khi
1
=
=
zy
.
Ta lại có
yz
zy
≥
+

BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
3

NGUYỄN HỮU BIỂN - Do đó
2
2
22
)1(4
4

+
++
≥⇒
xx
P

Do
221221 +−<<−− x
nên
)8;0[)1(
2
∈+x
.
Đặt
)8;0[)1(
2
∈⇒+= txt
và
P
t
t
−
+
+
≥
8
1
4
4


tf
−+
−+−
=
−
+
+
−=

20;402407230)('
2
==⇔=−+−⇔=
tttttf (loại)
Bảng biến thiên
t
0 4
8
f’(t) - 0 +
f(t)
8
9

∞
+
4
3


x
zyx
zy
x

Vậy
4
3
min =P khi 1,3
=
=
−
=
zyx
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
(
)
(
)
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −

Hướng dẫn
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)

2
1
4
t t
t t
t
P
t
t
t
−
− −
≥ =
−
− +

Xét hàm số
2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.


2 4 +∞

f’(t) - 0 +
f(t)
+ ∞ +∞
8
Do đó min P =
(2; )
min ( )
f t
+∞
= f(4) = 8 đạt được khi
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
 
⇔
 
= =
 

Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
3
a b b c c a

3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
− − −
≥
− − − − − −
=3 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c
= = =

Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
1
yz zx xy
x y z
+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
A
x y z
= + +
− − −
.
Hướng dẫn

1
2
b c
b c
bc b c
bc
b c b a c a b a c a
+
 
+
≤ = ≤ +
 
−
+ + + + + +
 
−
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX

 
và
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ab a b
ab
a c b c
 
≤ +
 
−
+ +
 

từ đó: A
3 9
3
2 2
≤ + =
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3
Bài 8: Cho
, ,
a b c
là các số thực dương và
3
a b c
+ + =
.

(1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0
a b c abc a b c
+ + + ≥ + ∀ >
. Thật vậy:
( )( )( )
2 3
3 3
3
1 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 )
a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc
+ + + = + + + + + + + ≥ + + + = +

Khi đó:
3
3
2
3(1 ) 1
abc
P Q
abc abc
≤ + =
+ +
(1).
Đặt
6
abc t
=
; vì a, b, c > 0 nên
3
0 1

5
2 2
3 2
2 1 1
( ) 0, 0;1
1 1
t t t
Q t t
t t
− −
′
⇒ = ≥ ∀ ∈
+ +
.
Do đó hàm số đồng biến trên
(
]
0;1
( ) ( )
1
1
6
Q Q t Q
⇒ = ≤ =
(2). Từ (1) và (2):
1
6
P
≤
.

+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 
≤ +
 
+ +
 

Vì theo BĐT Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ≥
+ +
+ +
, dấu đẳng thức xảy ra
⇔
b = c
Tương tự
1 1
2
3
ca ca
b a b c
b ca
 

2
khi a = b = c = 1. TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
6

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Vì theo BĐT Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ≥
+ +
+ +
, dấu đẳng thức xảy ra
⇔
b = c
Tương tự
1 1
2
3
ca ca
b a b c
b ca
 
≤ +
 
+ +
+
 
và
1 1
2
3
ab ab

4
+ b
4
+ c
4
.
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a
2009
ta có:

2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 1 2009. . . . 2009. (1)
+ + + + + + + ≥ =

a a a a a a a a a

Tương tự:
2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 1 2009. . . . 2009. (2)
+ + + + + + + ≥ =

b b b b b b b b b2009

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3 3 3
3
16
x y z
P
x y z
+ +
=
+ +

Hướng dẫn
Trước hết ta có:
( )
3
3 3
4
x y
x y
+
+ ≥
(biến đổi tương đương)
( ) ( )
2
0
x y x y
⇔ ⇔ − + ≥

Đặt x + y + z = a. Khi đó

ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
7

NGUYỄN HỮU BIỂN - Xét hàm số f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
với t
[
]

Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2.
Tìm GTNN của biểu thức: P = x
4
+ y
4
+ z
4

Hướng dẫn
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2( )
= 2 2 2
= 16 2 2 16
P x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xy yz zx
= + + − + +
   
+ + − + + − + + − + +
   
− + + − + + −   
   

(
)
2
2 6 4 0
x x x
⇔ − − + ≥
(*)
Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc:
3 5 2
x
− ≤ ≤

+ Khảo sát hàm số t theo biến x với
3 5 2
x
− ≤ ≤
ta tìm được:
5 5 1
5
2
t
−
≤ ≤

i

( )
2
2 2
16 2 2( 16) 2 64 288

= − = =max
18
P
=
đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1
Bài 14: Cho các số thực
;
x y
thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1 2
P x y x x y x y
= + + + + + − + + −
.
Hướng dẫn
2 2 2 2
2 1 2 1 2
P x y x x y x y
= + + + + + − + + −

Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
⇔
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 4
x y x y y
− + + + + ≥ +


Trang
8

NGUYỄN HỮU BIỂN - TH1: y ≤ 2:
2
( ) 2 1 2
f y y y
= + + −
⇒
2
2
'( ) 1
1
y
f y
y
= −
+

2
2
0
3
'( ) 0 2 1
3
3 1
TH2: y ≥ 2
:
2
( ) 2 1 2
f y y y
= + + −

≥

2 5 2 3
> +

V
ậ
y
2 3 ;
P x y
≥ + ∀ .
Do
đ
ó
2 3
MinP = +
khi x = 0 ; y =
3
3

Bài 15:

Hướng dẫn
Xét
2 2 2
1 a bc b ca c ab
P
3 3b 3ca 3c 3ab 3a 3bc
+ + +
= + +
+ + +

Ta có
3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca
+ = + + + = + + + +
mà
2 2
a c 2ac
+ ≥
nên
2 2 2
3b 3ca ab b bc ca a c
+ ≤ + + + + +

Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
ta có:
2 2 2

khi a = b = c = 1.
Bài 16:
Cho 3 s
ố
d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn xy + yz + zx = 3xyz.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4
xy yz zx
x y x z y z y z y x z x z x z y x y
+ + ≤
+ + + + + + + + +

Hướng dẫn
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz
1 1 1
3
⇔ + + =
x y z

V

+
+ + + + + + +
 

3 3 2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 2
xy xy
(x y) (x y) z
x y x z y z (x y )z
 
 
⇒
≤ + ≤ +
 
 
+ +
+ + + +
 
 
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V

 
(1)
Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
:
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
yz
y z x
y z y x z x
 
≤ + +
 
+ + +
 
(2)
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
zx
z x y
z x z y x y
 
≤ + +
 

5( ) 9( 2 )
x y z xy yz zx
+ + = + +
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 3
1
( )
x
P
y z x y z
= −
+ + +
.
Hướng dẫn
Theo gi
ả
thi

y z y z y z y z

Vì v
ậ
y
( )
+
≤ − = −
+
+
+ + +
+
3 3
2
2( ) 1 4 1
1
27( )
2( )
( )
2
y z
P
y z
y z
y z y z
y z

Đặ
t
− +


= +
=



= ⇔
 
 
= =


+ =

1
2( )
3
1
1
12
6
x y z
x
y z
y z
y z

Bài 18:
Cho các s
ố

ứ
c:
2 2
3 3 1 1 1
( 1) ( 1)
x y
M
y x x y x y x y
= + + − − ⋅
+ + +

Hướng dẫn
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta suy ra
ln( 1) 3( 1) ln(3 ) 3.3
x y x y xy xy
+ + + + + = +
. TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI

(0; )
+∞
, ta có
1
'( ) 3 0
g t
t
= + >
v
ớ
i
0
t
∀ >
, suy ra
( )
g t

đồ
ng bi
ế
n trên
(0; )
+∞
, t
ừ

đ
ó
( 1) (3 ) 1 3

x y x y t t
+ − − − + −
− − = − = − =
(3)
Theo Cô si
1 1 1
2
2
x y
xy
≤ ≤
+
(4). T
ừ
(2), (3), (4) ta có
2
5 1 1
4 2
t
M
t
−
≤ +
.
Xét hàm s
ố

2
5 1
( )

∞
, b
ở
i v
ậ
y
max
[1; )
3
max ( ) (1) 1 1.
2
M f t f t x y
+∞
= = = ⇔ = ⇔ = =

Bài 19:
Cho x, y, z là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng và th
ỏ
a mãn:
(
)
1
z z x y x y
− − = + +

+
1
.
Khi
đ
ó T =
[ ]
3
44
)1)(1().1).().(1).(( ++++++ yxxyxyyx
yx
=
[ ]
4
2
44
)1)(1(.)(
+++
yxyx
yx
Áp d
ụ
ng B
Đ
T Côsi cho các s
ố
d




+++=+
;
( )
27
.4
27
41
333
1
3
4
4
4
3
4
4
yyyyy
y =








≥

6
33
8

3
4
3
.
.4.4 yx
yx
xy
=≥
suy ra
9
6
4
3
≤
T
( * )

D
ấ
u “=”
ở
( * ) x
ả
y ra
7,3,3
1

ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
11

NGUYỄN HỮU BIỂN - Bài 20:
Cho x, y là hai s
ố

2222
+−−+−+=
xyxyyxyxP
.
Hướng dẫn
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c x, y ta luôn có
2
(x y) 4xy
+ ≥
, nên t
ừ

đ
i
ề
u ki
ệ
n suy ra
3 2 3 3 2
( ) ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) 2 0 1
+ + + ≥ + + ≥
⇒

x y
2
+
+ ≥
nên t
ừ
(3) suy ra
2 2 2 2 2
9
P (x y ) 2(x y ) 2015
4
≥ + − + +

Đặ
t
2 2
x y t
+ =
thì
1
t
2
≥
(do
x y 1)
+ ≥
.
Xét hàm s
ố


ế
n trên
1
;
2
 
+∞


 
. Suy ra
1
t ;
2
1 32233
min f (t) f
2 16
 
∈ +∞


 
 
= =
 
 
.
Do
đ
ó GTNN c

ằ
ng:
2
2.
3 3 2 3 3
a a a b c
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
+ + + + + +

Hướng dẫn
+) Vì a, b, c là 3 c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác nên ta có:
; ;
a b c b c a c a b
+ > + > + >
.
T
ừ
(1),(2) và (3) ta có
2 2 2
2
x y z x y z
y z z x x y x y z
+ +

(1).

L
ạ
i có:
2z
( ) 2z( )
z
x y z z x y z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
.
CM t
ươ
ng t
ự
ta có:
2 2
(2); (3).
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + + TUY

th
ự
c d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn: xyz = 3.
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
= + + + + +
P x y z
2 2 2
3 3 3
log 1 log 1 log 1

Hướng dẫn
NX: nh
ữ
ng d

(log ;1), (log ;1), (log ;1)
= = =

 
, và
n a b c n
(1;3)
= + +
⇒
=

   

- Ta có:
a b c a b c x y z
2 2 2 2 2
3 3 3
log 1 log 1 log 1 1 3
+ + ≥ + + ⇒ + + + + + ≥ +
 
   

P
10
⇒
≥ , d
ấ
u = x
ả
y ra khi ba vecto

3Bài 23:
Cho ba s
ố
th
ự
c a, b, c th
ỏ
a:
[
]
[
]
[
]
0;1 , 0;2 , 0;3
a b c∈ ∈ ∈
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
(

)
(
)
( )( )
1 0
2 3 2
2 2
2 0
a b c
b c ab ac
a b c ab bc ac
a c ab bc
b a c
− + ≥
+ ≥ +


⇒ ⇔ ⇒ + + ≥ + +
 
+ ≥ +
− + ≥




(
)
(
)
2 2 2 2

V
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c x, y, z, ta có

( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
0 2 2 2 2
3
x y y z y x x y z xy yz xz
x y z x y z
− + − + − ≥ ⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
12 3 27 3 2 3 2 3 2 3 2

ab bc ac
P
ab bc ac ab bc ac
+ +
−
≤ + +
+ + + + + + + + +
+ +
⇒ ≤ +
+ + + + + +

Đặ
t t
[
]
2 0;13
ab bc ac t= + + ⇒ ∈
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-

+ +

( )
( ) ( )
( )
2 2
2 8
' , ' 0 6
1 8
f t f t t
t t
= − = ⇔ =
+ +

( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
16 47 16
0 1; 6 ; 13 0;13
7 21 7
f f f f t t
= = = ⇒ ≤ ∀ ∈

Do
đ
ó:
16
7
P
≤
. Khi

ự
c thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
5
[ 1, ]
4
−
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
5 4 1
5 4 2 1 6

[0, ]
2
π
α
∈
v
ớ
i
a=3sin ,2b=3cos
α α
. Khi
đ
ó:
3
3sin cos
2sin cos
2
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4
a b
P
a b
α α
α α
α α α α
−
− −
= = =
+ + + + + +

Xét hàm s

+ +
= > ∀ ∈
+ +

Suy ra hàm s
ố
f(x) luôn luôn
đồ
ng bi
ế
n trên
[0, ]
2
π

Do
đ
ó:
[0, ] [0, ]
2 2
1 1
min ( ) (0) ;max ( ) ( )
6 2 3
x x
f x f f x f
π π
π
∈ ∈
= = − = =


abc
=
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1
2 2 2
a b c
b a c b a c
+ + ≥
+ + +
.
Hướng dẫn
Ta có
1
2 2
a a a
a ba
b a a ba
= ≥
+ +
+ +
, do
1 2
a a
+ ≥
.

Đ
T trên ta có: TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
14

NGUYỄN HỮU BIỂN -

u ph
ả
i ch
ứ
ng minh).
D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a = b = c = 1
Bài 26:
Cho a, b, c là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng tho
ả
mãn
a b c 3
+ + =
.
Tìm giá tr
ị
l

(
)
(
)
2
3 , , ,x y z xy yz zx x y z
+ + ≥ + + ∀ ∈
ℝ
ta có:

(
)
(
)
2
3 9abc 0
ab bc ca abc a b c
+ + ≥ + + = >

3
ab bc ca abc
⇒ + + ≥
Ta có:
( )( )( )
(
)
3
3
1 1 1 1 , , , 0.
a b c abc a b c

+ + + = +

Khi
đ
ó
( )
( )
3
3
2
1
1
3 1
abc
P Q
abc
abc
≤ + =
+
+

Đặ
t
6
abc t
=
. Vì
, , 0
a b c
>

+
+

( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
]
5
2 2
3 2
2 1 1
' 0, t 0;1
1 1
t t t
Q t
t t
− −
⇒
= ≥ ∀ ∈
+ +

Do hàm s
ố

đồ
ng bi

t
đượ
c khi và ch
ỉ
khi:
1
a b c
= = =
.
Bài 27:
Cho 3 s
ố
th
ự
c
, ,
x y z
khác 0 th
ỏ
a mãn:
x 5
y z
+ + =
và
. . 1
x y z
=
.Tìm giá tr
ị
l

CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
15

NGUYỄN HỮU BIỂN - Hướng dẫn
( )
1 1 1 1 1
5
y z
P x x
x y z x yz x
+
= + + = + = + −

Ta có:
( ) ( )
2 2
4

ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
đ
úng
Tính
đượ
c:
(
)
(
)
( ) ( )
1 2 3 2 2 1 4 2
1 2 3 2 2 1 4 2
− = + = −
+ = − = +
f f
f f

V
ậ
y giá tr
ị
l
ớ
n nh

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3
2 3
P
x xy xyz x y z
= −
+ + + +

Hướng dẫn
Ta có
3 3
1 1
2 .8 2 .8 .32
4 8
x xy xyz x x y x y z
+ + = + +

≤
( ) ( )
2 8 2 8 32 32 4

ng bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm f(t) ta
đượ
c
min
3
2
P
= −
t
ạ
i t=1
D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
16
21
1
4
2 8
21
2 32
1

Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
5a 5 5 4
P ab bc ca b c
= + + + + + +

Hướng dẫn TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-

2
3 9
a b c
⇔ ≤ + + ≤3 3
a b c
⇔ ≤ + + ≤

Đặ
t
t a b c
= + +
v
ớ
i
3; 3
t
 
∈
 

Mà
( )
(
)
2
2 2 2
2

.
V
ậ
y
ax
22
m
P
=
v
ớ
i
3 1
t a b c
= ⇔ = = =

Bài 30:
Cho
cá
c s
ố
th
ự
c a, b, c
thỏ
a
mã
n
cba
≥

+
−
−
−
cabcabaccbba4))()()((
≤
+
+
−
−
−
=
⇔
cabcabcacbbaP

Do
cba
≥
≥
nên
N
ế
u
0
ab bc ca
+ + <
thì

ca
cbba
−
≤−−

)1(
4
)(
))()((
3
ca
cacbba
−
≤−−−⇒

Á
p
dụ
ng B
Đ
T Bunhiacopski:
[
]
222
)()()(2 cacbba
−≥−+−

và
222222
)(2)(2)(2)(4 cacbbacabcabcba

)5(
9
32
.
4
)(
xxx
ca
P
−≤
−
≤

Xé
t
hà
m s
ố
[
]
5;0;)5()(
3
∈−=
xxxxf




=
=

MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
17

NGUYỄN HỮU BIỂN - [ ]
[
]
5;0;36)5()(36)(
3
5;0
∈∀≤−=⇒=
xxxxfxfMax

436.
9
32







=++
=−
−=−
=
⇔
0
1
2
5
2
1
2
5
2
2
222222
c
b
a
cba
ac
ab
cabcab
cba

= + +
+ + +

Hướng dẫn
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c AM – GM ta có

2
1 1
2 2
yz
x x
x y z
x yz x yz
= − ≤ −
+ +
+ +
(1)
T
ươ
ng t
ự
ta có

c cùng chi
ề
u (1), (2), (3) ta
đượ
c
2 2 1
P P
≤ ⇔ ≤

D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi x = y = z.
V
ậ
y Max P = 1 khi x = y = z.
Bài 32:
Cho b
ố
n s
ố
d
ươ
ng a, b, c, d tho
ả
mãn a + b + c + d = 4
Ch

THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
18

NGUYỄN HỮU BIỂN - Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Bài 33:
Cho a,b là hai s
ố
th
ự
c d
ươ
ng th
ỏ
a
5
2
4
a b
+ =

4
a b
a b
+ + + −

B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Côsi cho :
2
8 8
a
a
+ ≥
và
1
4 2
4
b
b
+ ≥

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

2
a ab c ab c ab c ab c ab abc
a a a a a

+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+(
)
2
cd a
c cd a cd a cd a cd cda
c c c c c
d a
1+d a d a
2 2
2
1
(3)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+(
)
2
da b
d da b da b da b da dab

a c b d
ab bc cd da a c b d
2
4
2
 
+ + +
+ + + = + + ≤ =
 
 
.
D
ấ
u "=" x
ả
y ra ⇔ a+c = b+d
•
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d
abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a
2 2
2 2
   
+ +
+ + + = + + + ≤ + + +
   
   

⇔
( )( ) ( )( )

2 2 2 2
4 4
4
4 4
1 1 1 1
+ + + ≥ − −
+ + + +a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
⇔ + + + ≥
+ + + +

⇒

đ
pcm. TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V

đạ
t khi
2
8
1
1
4
2
4
1
5
2
4
4
, 0
a
a
a
b
b
b
a b
a b

=



=


3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −

Hướng dẫn
Đặ
t t = x + y ; t > 2. Áp d
ụ
ng B
Đ
T 4xy ≤ (x + y)
2
ta có
2
4
t
xy
≤

3 2
(3 2)
1
t t xy t
P
xy t

− +

Xét hàm s
ố

2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t
2 4 +∞

f’(t) - 0 +
f(t)
+ ∞ +∞
8

Do
đ

ôi m
ộ
t khác nhau th
ỏ
a mãn
2
a c
≤
và
2
2
ab bc c
+ =
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
a b c
P
a b b c c a

≤
nên
4
3
b
c
≥
.
Đặ
t
c
t
b
=
thì
3
0
4
t
< ≤

2
2
1 2 1 1 2 7
1
2 1 1 2(1 ) 2 1 6(1 )
1 1
a b
t t
c c

GIA
2015

Trang
20

NGUYỄN HỮU BIỂN - Xét hàm s
ố

2 7 3
( ) 1 , 0;
2 1 6(1 ) 4
f t t
t t
 
= − + ∈


+ −
 
. Ta có:
3
'( ) 0, 0;
4
f t t
 
> ∀ ∈

i
3
4
t
=
, suy ra
27
max
5
P
=

Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi
2
2
8 3 4
2
ab bc c
a b c
a c

+ =
⇔ = =

=

ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P
+ +
+ + +
=

Hướng dẫn
Vì a + b + c = 3 ta có
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 
≤ +
 
+ +
 

ca ca
b a b c
b ca
 
≤ +
 
+ +
+
 
và
1 1
2
3
ab ab
c a c b
c ab
 
≤ +
 
+ +
+
 

Suy ra P
3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +
≤ + + = =

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c
3
3
1 1
1 1
 
 
= + + + + +
   
 
 
S x y
x y

Hướng dẫn
Theo b
ấ
t
đẳ

y y

C
ộ
ng t
ừ
ng v
ế
c
ủ
a (1), (2) ta có
3
3 2
3
1 1 7 7 1 1
1 1 3. 2
2 2
   
   
+ + + + + + ≥ + + + +
       
   
   
x y x y
x y x y

M
ặ
t khác ta l
ạ


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
21

NGUYỄN HỮU BIỂN - Theo gi


+ + =



+ + =
⇔ = =


=


+ =

x
x
y
x y
y
x y
x y

V
ậ
y
343
min
4
=S


x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xy
+ + +
= + +
.
Hướng dẫn
Ta có :
2 2 2 2 2 2
x x y y z z
P
y z z x x y
= + + + + +
(*)
Nh
ậ
n th
ấ
y : x
2
+ y
2
– xy ≥ xy ∀x, y ∈ R
Do
đ
ó : x
3
+ y
3
≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay

ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c v
ừ
a nh
ậ
n
đượ
c
ở
trên, k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (*), ta
đượ
c:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1
H
ơ
n n
ữ
a, ta l
ạ
i có P = 2 khi x = y = z =

(1 2 ) 3
2
xy
P x y
xy
+ −
= + +

Hướng dẫn
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU

ươ
ng th
ỏ
a mãn
2 3 7
x y
+ ≤
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c
2 2 2 2
3
2 5( ) 24 8( ) ( 3)
P xy y x y x y x y
= + + + − + − + +
.
Hướng dẫn
Ta có
2

3
2( ) 24 2( 3)
P xy x y x y xy
≥ + + − + + +

Đặ
t
(
]
, 0;5
t x y xy t= + + ∈
,
3
( ) 2 24 2 6
P f t t t
≥ = − +

Ta có
(
]
2
3
/
2 2
3 3
(2 6) 8
24.2
( ) 2 2 0, 0;5
3 (2 6) (2 6)
t

3
2
min 10 48 2,
1
x
P khi
y
=

= −

=


Bài 41:
Xét các s
ố
th
ự
c không âm x, y, z tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2 2 2
3


[ ][ ]
2
2 2
1 1 4
(1) 3 3 ( ) 3( ) 4 0
( ) 1 ( ) 4 0 4
1 3 3 1
(1) 1 1
1 3
ê ( ) 2 ( ) 1
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
xy x y x y xy
N n P x y x y
xy x y
⇒ + = + + ≥ + ⇒ + − + − ≥
+
⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥
⇔ = + ⇔ − =
+ +
= + + − = + + +
+

+
Đặ
t
2
3

ỂN
T
ẬP 50
BÀI TỐN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
23

NGUYỄN HỮU BIỂN - Hướng dẫn
( )
( )

2 2 2
2
2
2
3
3
3 0 3 6
2
3 9. 3 3
≤ ≤ + + =
+ + −
≤ ≤ ⇔ ≤ + + − ≤
⇔ ≤ + + ≤ ≤ + + ≤
x y z
x y z
x y z
x y z x y z
Vì 0 xy + yz + zx
Nên 0
Suy ra

( )
2
2 3
2 2
3
3
3 4
3 3,
2

.
3 3
= =
≤ ≤ ≤ ≤
f f
t tNên f khi do đó P
Khi x=y=z=1 thì P= Do đó giá trò lớn
nhất của P là

Bài 42:
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t, giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

2 2 2
( ) 5 8 32 3 24 3 12 16
f x x x x x x x

g g x g h h x h
= ≤ ≤ = = ≤ ≤ =

và
2 2
0
3 24 0 ( 3 24 0 )
8
x
x x x x
x
=

− + ≥ − + = ⇔

=

.
Do
đ
ó
2
2
2 2
8( 2)
( ) 3 12 16 0 ( ) 2 [0;8]
5 8 32 3 24
x
f x x x h x x
x x x x

max ( ) 12 2 4 7
f x
⇒ = +
khi x= 8. TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
24

l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2
8 4
P x y x y x y
= + + + + − −

Hướng dẫn
+Ta có
2 2 2
(3 2)( 1) 0 ( ) 3( ) 2
x y x y x y x y xy y
+ + − − = ⇔ + − + + = − −

Vì x,y không âm nên
2
( ) 3( ) 2 0 1 2
x y x y x y
+ − + + ≤ ⇔ ≤ + ≤

Đặ

1;2
t ∈

ta có
4
'( ) 2 1
4
f t t
t
= + −
−
v
ớ
i
[
]
1;2
t ∈
4
'( ) 3 0
2
f t
⇒ > − >
v
ớ
i
[
]
1;2
t ∈

2
x y
t
=


=

2
0
x
y
=

⇔

=


KL: Giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a P là
6 8 2
+

3 2 2 2 2 2 2
2( ) 27 3( ) 6( )
P ab bc ca a b c a b c ab bc ca
= − + + + − + + + + +

Hướng dẫn
Ta có:
3
3 . .
ab bc ca ab bc ca
+ + ≥

⇒
2 2 2 3
27 ( )
a b c ab bc ca
≤ + +

L
ạ
i có:
2 2 2 2 2 2
3( ) 3( )
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
+ + ≥ + + ⇒ − + + ≤ − + +

Do
đ
ó
3 3

BBT ta có:
[ ]
0;1
ax ( ) 2
t
M f t
∈
=
khi t=1
T
ừ

đ
ó ta có GTLN c
ủ
a P b
ằ
ng 2 khi
1
3
a b c
= = =t
0
1

f’(t) + 0