1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. B󰖤ng các nguyên hàm thư󰗞ng g󰖸p


1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a



 
     
 

 


   
1
cos ax b dx sin ax b
a
  

    


1
ax b ax b
m dx m c
a ln m
 
 


   
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
   


2 2
1dx x
arctg c
a a
a x
 



 
 
2






2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
   



2 2
x x
arcsin dx x arcsin a x c
a a
   


2 2
dx x
arcsin c
a
a x
 




x x a
 
  



 
2 2
2
x x a
arc cotg dx xarccotg ln a x c
a a
   


   
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
 
     
 
 


 
1
2
dx ax b
ln tg c

ax
ax
e asinbx bcosbx
e sinbx dx c
a b

 



 
2 2
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbx dx c
a b

 

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

2

II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại

d x l n c
2 a x a x a 2 a x a x a 2 a x a
x a

   
     
   
    
   

   

 
2 2
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx l n c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
a x
 
 
 
     
   
    
   

   

2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:


1
x x a x a x x a x a x a
 
 
    
 
      
 

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
a
a x
 


(với
x
tgu
a

)
Đặt
x
tgu
a

,

a x
 


(với
x
sin u
a

, a > 0)
Đặt
x
sin u
a

,u
,
2 2
 
 

 
 



 
2 2
2 2
d x d a sinu

III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

3


1
n
n
x x
;
 
m m
n
n k
m m
n n k
x x ; x x



 
1
n
n
n
n
1 1
x ; x

…

d(x ± p)
adx

d(ax ± 1)

d(ax ± 2)

…

d(ax ± p)




x p
1
x 1 x 2
dx d d d
a a a
a

 
 
   
 
 
L


 


2 3 2
1
1 1
1 dx l n 1
1 3 2
d x
x x x x x x c
x

        

 

2.
 
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x     
 
 

         
3 5 31
2 2 2 2
1 1 22
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7



 
1 10
arctg
5
10
x c
 
 
 
 

4.



 
 
x
d x 1 2 1 1 1 1 2
2 l n
l n 2 5ln2 5ln2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
x x
x
x x x
x x
d

3 4
2 3
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c
      
 

III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI








1
x 1 x 2 x 3 x 4
J d x
x x
   


;
2
7x 3
J dx


   
3 2 3 2
7 8
15 3 0
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
     
 
 
 
















 dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
33

  

 
9 3
1 5 16 17
4 2 2
1 0
5
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
2 3x
  
   

  

  
     
1 8 1 9 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
  
 
   
  



2 2
x x
1 1 1 1
x
28 29 30 3 1
x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 e
e dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e


 
   
  
   

l n 2 ln 4 1 e
3x
32 3 3 34 35
x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 l n x
J ; J ; J ; J dx
x
e e 4e 1 e

  

    
 
   

B À I 2 . T Í C H P H Â N C Á C H À M S Ố C Ó M Ẫ U S Ố C H Ứ A T A M T H Ứ C B Ậ C 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.

 


2 2
du 1 u
arctg c
a a
u a

4.

 

d u
2 u c
u

2.


 


2a a u
a u

6.
   


2
2
du
ln u u p c
u p

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.

 

 
    
 
 
 
 
 
2
2
2
2
b b 4ac

 
 
 
2 2
2
d x dx 1 mx n
arctg c
mp p
ax bx c
mx n p 
 
  
 
 
 
 
2 2
2
mx n pd x dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c
mx n p

2. Các bài tập mẫu minh họa
•
 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
A
3x

4x 2 

;
2 3
2 2
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
 
    
 

2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
  
     
  

II. Dạng 2:





 
 
 
 
 
 

2
2
d ax bx c
m mb
n A
2a 2a
a x b x c



 
   
 
 
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a

Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)

,

.
Với

,

vừa tìm ta có:




 

2
mx n
B dx
ax bx c



l n
  

0
0
x x c
x x




.
Với

,

vừa tìm ta có:


dx


 

2
mx n
B
ax bx c



l n l n
   
1 2
x x x x c
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•


 
 
 
2
2 2
1 9 6 1 11 3 1 2 11
l n 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1
3 1
d x x d x
x c
x
x x
x
  
     

 

 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:






1 2 3

Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
 
   
2
2 2
dx dx 1
l n
C mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
       
 
 
 

 
 
2 2
2
dx d x 1
arcsin 0
mx n
C p
m p
ax bx c
p mx n

   
 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2
2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x
5 12x 4 2 x
  
   
 
  

IV. Dạng 4:




2
mx+ n dx
D =
a x + bx + c

1. Phương pháp:



2 2
2 d x
d x

7

• D
1
=
   
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
 
 
     
  



 
 


1 1
1
2
2 2
2 2



1 2 3
2 2 2
5 4xdx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
  
  
     
  V. Dạng 5:

 

2
dx
E =
px + q ax + bx + c

1. Phương pháp:
Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;
px q p x q
t p t
t


3
1
2
2
dx
E =
x - 1 x - 2 x + 2
. Đặt
2
2 1
1
1 1
3
1 ;
2
dx
x t
t
x t
x x
t t
dt
t
  




  

 

 
1
1
2
2
1 2
1 2
dt 1 5 2 2 2
l n t t 1 ln 1 2 l n ln
2
1 5
t 1
 
       




3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
     
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
d x d x d x
E ; E ; E
2x 3 x 3 x 1 3 x 4 2x 3 x 7 x 1 x 1
  

mx n
p p
F
px q ax bx c px q ax bx c
 
  
 

 
 
     
 

 
2 2
d x dxmq mqm m
F n C n E
p p
p p
ax bx c px q ax bx c
   
     
   
   
    
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
 
 

x x

 

 
   
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
l n 1 1 1 l n
1 2
1 1
x x
x

      

 


 
1
2
0
1 2 2
dx



. Khi đó:
   
1 2
1
2
1
2
2 2
1 2
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J l n t t 1 l n
1 5
1
t 1
1 1
1 2 1 2
t t
t
 
     


   
 



2 1
2 2
2 1 4 3
x
dx
x x x


 

   
 
- 3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F =
2x + 1 -x - 4x - 3 
3 2 3 2
2 2
2 2
1 d x 5 dx 1
5
I J
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3





   
 


 
3 2
2
2
2 1 4 3
dx
J
x x x



   

. Đặt
2
1
2
3
1 1
3
1
2 1







1 2 1 3
2
2 2
1 3 1 2
1 3
1 3
2 2
1 2
1 2
dt 2 t dt
J
1
5 t 6 t 1
1 1 1
1 2 1 3
4 t t
t
1 d t 1 5t 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
t

5
1 2 1
F I J arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4

    

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

 
 
 
 
 
 
1 1 1
1 2 3
2 2 2
0 0 0
4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx
F ; F ; F
8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1
  
  
        
  

VII. Dạng 7
:
 



 
 
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 

1
1
2 2
0
xdx
G =
5 - 2x 6x + 1
. Đặt
2
0 1
6 1 1 7
6
x t
t x x t
x dx t dt
  



     

 

  
 


 
 
 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
     
2 2 1
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 0
xdx x dx xdx
G ; G ; G
4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1
  
     
  

VIII. Dạng 8:

 

2 2
dx
H =

t c
td t c
cx d
 

  



. Khi đó ta có:
 
 
 
2
2 2
2
2
dx dt dt
H A
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
t c
 
   
 
 
 
 

2
x t
x
xt x t
x
x t

  


    


  


và
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2
2
3 3tdt
x t x 3 t 1 x 3 x xdx
t 1
t 1

        



t
 


  
  
2 3
7 2
1 2 5 1 2 2 1 5 14 2 5
l n l n
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
  


 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
   
2 2 2
2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 1 1
d d 5
; ; d
2

 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 
 
 


   
3
2 2
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
x x
 

 
   
 
 
3
1
2 2
2
4x + 3 dx
I =
x - 2x - 4 3x - 6 x + 5

2 2
2
3 2
3 3
t tdt
t u u udu

     

 
 
1 4
2 14 14
2
2
2 2
1
5 5
5
udu tdt dt 1 t 17
J l n
2 17 t 17t 17
t 17 t
u 5 3 u 2

   


 
  


 

. Đặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
      




 
 
 
 
2
2
2 2
2
2
2
2tdtt 3
2tdt du udu dt
udu
u ut

t 3
   
 

 
 
 

 
  14 2
2
1 1 17 t 5
l n
5 2 1 7 17 t 5

 





  
1 7 0 2 1 7 2 5 1 7
l n
2 8 5
7 0 2 1 7 2 5 1 7
 

2 2
2 1
2 1 1
1 5 2 1 3
x dx
x x


 

 
   
 
 
6 -1
2
2 2
2 -1
2x + 1 dx
I =
x + 2x + 6 2x + 4x - 1 
     
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 d u u d u d u
2 2J L

 
6 3 3
2
2
2 2
1 1
2
u d u tdt d t 2 3 1
J a r c t g a r c t g
t 1 3
1 3 1 3 1 3
t 1 3 t
u 5 2u 3
 
    
 


 
 
  

Xét L


 
6
2 2
2
5 2 3

2
2
2
2
2
3tdt 2 t
du udu dt
u u t
2 t
3t 2 t
2u 3

  



. Khi đó:
 
 
3 6 3 6 3 6
6
2
2 2
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
d u d t d t 1 d t
L
1 3

 
  
 





  
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg l n
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
 
 
    
 
 
 

BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

12

Các bài tập mẫu minh họa:
•


 
  
1 x 4 x 5
d x
9 x 5 x 2 x 4

  

   
 
2
d x
A =
x 5 x+2 x+4

     




  




  
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 6 3 5 2 1 8 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4

2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
dx 1 x x 3 1 xdx d x
dx
3 3 x
x 3
x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3
l n x 3 l n x c ln c
3 2 x 3 2 6
x 3 x

 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 

    
2
7 3
d x
B =
x 1 0 x



 
2 2
2 3 2
2
2
1 1 d x dx 1 1 x 10 1
l n c
10 2 20
x x
10 x 10
x 10
 
 

    
 
 
 
 

 

2 2
2 2 2 2
d x 1 x 1 x 1 1 x 11
d x l n a r c t g x c
2 4 x 12
x 1 x 1 x 1 x 1

   
    


   
  
1
4
d x
C =
x 1



  
 
2 2
2
2 2 2
2 2
1 d x 1 1 1 1 x 1
d x l n c
2 4 4

x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
ln arctgx c
2 2 4 x 1 2
x 1 x 1

  
 
  
 
  
 
 

    

 
  
 
2
3
4
x dx
C =
x 1

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

13



  
       

  
   
4
5
4
x d x
C =
x 1



 
 
2
2
2
2
1 d x 1
arctg x c
2 2
x 1

  

 
6

 


 
2
2
2
2
2
1
1 1
1
d x x 2
1
x x
x
d x l n c
1
1
2 2
1
x 2
x
x 2
x
x
x


  

x
x
dx arctg c
1
2 x 2
1
x
x 2
x
x



   

 
  
2
9
4
x + 1
C = dx
x + 1





 
2 2 2 2

C =
x + 1





 
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2
2 x 2 2 2x x 2 1

 
    
  
 
  
 
 
  

 
 
 
4
12
4
x d x
C =
x + 1

 
 


   
  
2
2
2
2
2
2 2
1
1
1 d x
d x
x
x
1 1
1 1

4 3 2
x -1d x
C =
x 5 x 4 x 5 x + 1•




2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
d x d x d x
2 2
x x 1 x x 1 x x 1
 
    
  
 
     
 
   
1 4
4 2
d x
C =
x + x + 1


 
 
 
   
 
 
   
   
 
 
   
 
   
 
   
   
 
 
   
 
 
   

2 2
2
1 1
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
x x
arctg l n c arctg l n c

  
1
3
dx
D =
x 1

 




 
 
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
 
    
   
 
 
 
   
   

22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3

 
 
  
    
 
  
2
3
dx
D =
x + 1

 




 
 
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t

 
 
 
 
  

2 2
2 2
1 1t 2t 3 1 x 2x 11 2x 1
l n 3 a r c t g c l n arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
 
   
    
 
   
 

•
 
 


 
 
 
2
2

 
 
2 2
2
1 d x 1 2x 1 d x 3 d x
3 x 1 2 2
x x 1
3
1
x
2 2
 

  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
  2
1 1 2x 1
l n x 1 l n x x 1 3 a r c t g c

D =
x + 1

 


2 2 2
2
1 1 x 1 1 d x 1 2x 1 d x 3 d x
d x
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
2 2
 
   
 
    
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 

dx 1 dx dx 1
D D
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
 
    
 
   
 
   
1
6
dx
E =
x 1 
  
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 11 2x 1 1 x 2x 11 2x 1
l n a r c t g l n a r c t g
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 11 2x 1 2x 1

1 d x 1 d u 1
D
2 2 2
u 1
x 1
  
 

  
2
6
xdx
E =
x 12 4 2 2
2 4 2
1 1u 2 u 11 2 u 1 1 x 2 x 1 1 2 x 1
l n a r c t g c l n a r c t g c
2 6 1 2
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
 
     
     
 
   
 


x 1 u 1
u 1 u u 1
   
  
  
   
3
4
6
x dx
E =
x 1 
2
4 2 2
2 4 2
1 u 11 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
l n a r c t g c l n a r c t g c
1 2 1 2
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
    
     
   





1 x 2x 1 x x 11 2x 1 2x 1 x 1
l n a r c t g a r c t g a r c t g c
1 2
2 3 3 3 x 3
x 2x 1 x x 1
 
      
    
 
   
 

•


6
6
6
1 d x 1
l n x 1 c
6 6
x 1
   
 
 
5
6
6
x dx
E =

1 x 2x 1 x x 11 2x 1 2x 1
x l n arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
     
 
    
 
   
 

•
  
  
 
2 2 2
2
4 2
2 4 2
2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx
x
1
x x 1
x 1 x x 1
x 1

2
2
2
2
1
1
d x
x 3
1 1 x x 3 1
x
x
ln c l n c
1
2 3 2 3x x 3 1
1
x 3
x 3
x
x

 
 
    
 
 
 


•


x 1 x 1
    
 
 





 
 
4 4
9 8
6
2
3
2
1 x 1 x 1 1
dx E E
2 2
x 1
1 1 1 x x 3 1
arctgx arctg x l n c
2 3
2 3x x 3 1

  
   

 

2
11
6
x + x
E = d x
x + 1
(thay x
2
vào D
2
)

 
4 2 2
3
4 2
1 1 1x 2x 1 1 2x 1
arctg x ln arctg c
3 2 6
x x 1
2 3 3
 
  
   
 
 
 VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR

1
50
3x 5x + 7x 8
F = dx
x + 2
. Đặt
 
4 3
4
P x 3x 5x 7x 8
   

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4
2 3 4
4 4 4 4
4 4
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1 ! 2 ! 3 ! 4 !

 
         
 

     
    



VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

17

•
 


 
9 9 9 9 9 8
9 9
9 9 9 9
1 3 5 3 1 3
5 5
3 5
3 5 3 5
 
 
   

       
 
 
 
 
 
 

 


 
 
 
 
 
   
 
5 0 5 0 4 9
2 2
5 0
5 0 5 0
5 0 5 0 49 4 9 4 9
2 5 0 2
5 0
5 0 5 0
5 0
5 0
1 2 x 7 2 x 1 d x 2 x d x
d x

 
 
 
 

 



   
    
 
2
2
5 0
d x
G =
x 2 x +7
 
 
   
5 0
2
5 0
5 0
5 0
5 0
5 0 50
1 d 2 x 7
3 5 0



  
  
  
   
3
k
n
dx
G =
x ax + b 


 


 
n n
2 k 2 2 k 1 k
n n n
1 dx 1 d ax b 1 d ax b
nb
b nb
x ax b ax b ax b
 
 

b k 1 ax b




 
         
 

 
 
 
       
 


 
 



 


   
 
 
2000 2000 1999
2000 2000
2000 1000



 


 
 
   
 
 
10 9 10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
10 10
10
10 2
10
10
1 .10 1 1 3 3
3
10 10 10
3 3 3
1 3 3 1 3
3 ln 3
10 10
3
10 3
3


   


 
 
 
 
 
     
 
   
50 49 50
50
7 7
50 50
50 50
6 7 5 6
50 50 50 50
50 50
6 6
50 50
x .x dx 1 2x 3 3
d 2x 3
200
2x 3 2x 3
1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 1
3 c
200 200
2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3
1 2 2x 3 5 1 4x


18

•
   
n n 1
k
n
x x dx
ax b



 
2n-1
7
k
n
x dx
G =
a x + b


 
 
n
n
2 k
n
1 ax b b

    
 
 
 
     
   
 

   


  
 
  
 
n n
2 k 1 k 1
n 2 n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
c c
na
k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b
 
     
    
     

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
5
* * * *

3x 5
H = dx
x + 210 11
1 3x 5 3x 5 1 3x 5
d c
11 x 2 x 2 121 x 2
  
     
  
     
  
     


•
 
 
 
9 9 99
2
7x 1 dx 1 7x 1 7x 1
d
2x 19 2x 1 2x 1
2x 1
   
     
 


   
5 5 6 2
8
dx 1 1 dx
x 3 x 3
x 5 x 5
x 5
x 5 x 5
   
   

 
  
3
5 3
dx
H =
x + 3 x + 5

   


 
6
6
7 5 7 5

15 20 15 6
1
u 6 du
u
2 u u u u
1 u
20 15
2 1
6u 15ln u c
u
2
2 2u u 4u
     

 
      
 
 
 
       
 
 







 
 
   
    
 
   
 

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

19

Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
•
   


1
7 3
d x
H =
3 x 2 3 x + 4
;
   
1

2
3 4
d x

n
k
C
k n k
và


1 2 1
m! . . . m m
 
với qui ước 0!

1
2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC

       
 
 
 
 
2 2
1 1
1 1
cos ax b dx s i n ax b c sin ax b dx cos ax b c
a a
dx dx
t g ax b c cotg ax b c
a a
cos a x b s i n ax b
        

3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.
2.3.

Nếu 3

n lẻ (n

2p

1) thì thực hiện biến đổi:
     
 
 
2
2
1
p
p
s i n x sin xdx c o s x d c o s x
   
   
n 2p+1
1.1
A = sinx dx= s i n x d x

 
 
 
 
 

     
 
 
2
2
1
p
p
cos x cos xdx s i n x d sin x
  
   
n 2p+1
1. 2
A = cosx d x = cosx dx

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

20

 
 
 
 
 
 
 
 
 
k p
k p

cos x d x dx

 

 
 
  
6
1
A = cos xdx = 
 
 
3
2 3
1 1
1 cos 2x dx 1 3cos2x 3cos2x cos 2x dx
4 4
1 3 1 2cos4x cos 3x 3cosx
1 3cos2x dx
4 2 4
1 1
7x 6sin2x 3sin4x sin3x 3sinx c
16 3
     
 
 
   

1
1 4cos5x 6cos5x 4cos5x cos 5x d cos 5x
5
1 4 6 4 1
cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c
5 3 5 7 9
     
 
      
 
 


II. Dạng 2:


m n
B = sin x cos x d x
(m, n

N)
1. Phương pháp:
1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a.
Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b.
Nếu m chẵn, n lẻ (n

2p


k p
0 1 k p
p p p p
s i n x C C s i n x . . . 1 C s i n x 1 C s i n x d s i n x
s i n x s i n x s i n x s i n x
C C . . . 1 C 1 C c
m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m
     
 
        
 
 
 
       
 
     
 
 


c.
Nếu m chẵn, n lẻ (n

2p

1) thì biến đổi:
         
 
 
2

C C . . . 1 C 1 C c
n 1 n 3 2 k 1 n 2 p 1 n
     
 
         
 
 
 
        
 
     
 
 


d.
Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u

sinx ta có:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

21

 
   
1 1
2 2
2 2
1


    
 
 
1 1
1 cos 4x 1 cos 2x dx 1 cos2x cos 4x cos 2xcos 4x dx
16 16
1 1
1 cos 2x cos 4x cos 6x cos 2x d x
16 2
1 1 sin 2x sin 4x sin6x
2 cos 2x 2cos4x cos 6x dx 2x c
32 32 2 2 6
      
 
    
 
 
 
        
 
 
 



•
       
111 8
5 5 5

 
     
 
      
 
 



•
 
     
 
 
4 4
3
6
2
5 5
1
c o s 3 s i n 3 s i n 3 c o s 3 1 c o s 3 c o s 3
3
x x x d x x x d x
 

  
  
7
3
5


•
   


3
3 3 2 2
8
1 1
d x dx
tg x cos x cos x
sin x
cos x
cos x
 
 
 
 
  
4
3 5
dx
B =
sinx cosx

 
   

 
 


•
 
 


 
 
4 4
4 2
4 2 4 2
cos sin 1 sin sin
sin
sin cos
sin 1 sin sin 1 sin
xdx d x x x
d x
x x
x x x x
 
  
 
   
5
4
dx
B =

6
3
5
dx
B =
sin xcosx
     
 
2
5
2
2
3
5 4
2 3
3
3
3 3
2
1 u
sinx cos x d si n x u 1 u du u du
u



 

 

     

   

  
   
   
   



 
2
2
3
2
3
3
6
2
1 u 3 3 3
B u du dv v c tgx c
2 2 2
u



 
 
       
 
 

(n

N)
1. Công thức sử dụng
•
 
 
2
2
1
dx
tg x dx d tg x tg x c
cos x
    
  

•
 
 
2
2
1
dx
cotg x dx d cotg x cotg x c
sin x
       
  

•




2 2 2 4 2 6
2 2 2
t g 1 t g t g 1 t g t g 1 t g
k k k
x x x x x x
  
      
 
2 k
1
C = t g x d x
 


 
 


 
k 1 k2k 8 0
2 2
t g x 1 t g x . . . 1 t g x 1 t g x 1 d x


       


     

2 1 2 3
2 2
tg 1 tg tg 1 tg
k k
x x x x
 
    
 
2 k + 1
2
C = tgx dx
 


 
 


 
k 1 k
2k5
2 2
tg x 1 tg x . 1 tgx 1 tg x 1 tgx dx



       


     

•
   


 


2 2 2 4
2 2
cotg 1 tg cotg 1 tg
k k
x co x x co x
 
    
 
2 k
3
C = cotgx dx

 


 
 


 
k 1 k2k 6 0
2 2
cotg x 1 c o tg x 1 c o t g x 1 c o tg x 1 d x

 

•
   


 


2 1 2 3
2 2
cotg 1 tg cotg 1 tg
k k
x co x x co x
 
    
 
2k+1
4
C = cotgx dx

 


 
 


 
k 1 k2k 5 1

 
 
        

 
 

•
         
5 4 3 2
t g 5 tg cotg 10 t g cotgx x x x x

   

 
5
5
C = t g x + cotgx dx
       
       
       
2 3 4 5
5 5 3 3
5 3 5 3
10 tgx cotg x 5tgx cotg x cotg x dx
tgx cotg x 5 tgx 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx
tgx 5 tgx 10tgx dx cotg x 5 cotg x 10cotg x dx

  


2tgx 6lnc o s x 2cotgx 6lns i n x c
4 4
 
    
 
 
    
 
   
     
   
      


   

IV. Dạng 4:

 
 
 
 
 
m m
4 . 1 4 . 2
n n
tg x cotg x
D = dx ; D = dx
cos x sin x


m m
dx
tg x tg x tg x d tg x
cos x cos x


 
  
 
 
  
m
4.1
2 k
t g x
D = dx
cosx

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

24

 
     
 
       
1 p k 1
m
0 1 2 p 2 k 1 2
k 1 k 1 k 1 k 1

 
 
 
2 2
2
2
2
1 1
h h
k
k
t g x
s i n x
t g x d x t g x d x
c o s x c o s x c o s x
c o s x
   
 
   
   
  
2 k + 1
4 .1
2 h + 1
t g x
D = d x
c o s x

 
k 2h

 
       
 


   
2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1
p k
0 1 p k
k k k k
u u u u
C C 1 C 1 C c
2 k 2 h 1 2 k 2 h 1 2 k 2 h 2 p 1 2 h 1
       
        
       

1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m

2k, n

2h

1) thì sử dụng biến đổi:
 
 
 
 
 
 

 
 
 
   
   
  
   

Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính
được D
4.1
.
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 
 
 
   
 
 
 
2
2
7 7
2
2 2
1 1
t g 3 tg 3 1 t g 3 t g 3
3
c o s 3 c o s 3


•
 
 
 
   
3
1 0
2 2
1
5
5 5
dx
cotg x
sin x sin x
 

 
 
 
1 0
2
8
cotg5x
D = dx
sin5x   
       

tg x
t g x dx
cos x cos x
 

 
 
 
7
3
9 5
tg4x
D = dx
cos4x

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

25

 
 
 
       
3 94
3
9 4 2
2
1 0 1 9 9 9 7 95
94 6 4 2
1 0 1 99 97 95

 
 
4 0
8
3
1
3
3 3
cotg x
cotg x dx
sin x s i n x
 

 
 
 
9
4
4 1
cotg3x
D = dx
s i n 3 x

 
4 40
4
4 0 2
2
1 1 1 1 1
1 d u u 1 du

      
 
 

•
 
 
   
 
22
2 2 2
1
sinx cosxdx sinx
d sinx
sinx
cosx cosx
 
  
 

 
  
2
5
tgx dx
D =
cosx

   
  


 
 


•
 
 
   
 
 
 
4 4
4 2 3
2
1
sin x cos xdx sin x
d sin x
cos x cos x
sin x
  

  
4
6
tgx
D = dx
cosx
 




 
2
2 2 2
1
1
1 du
d u
1 u
u
u
c c
1
1 u
1
1
u
u
u
u
u
u
 


 
 
      


 
 
   
 
 
 

   
 
3 3
2
1 1 1 3 1 1
d u
8 1 u 1 u
1 u 1 u 1 u
 
 
   
 
 
 
 
  
 


   
 
   
 

 
 
 
 
  
   
 
      


  
 
 
u