thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 1
(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:
3
3
2
0
1
x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt


2
tan 1 tan
x t dx t dt
   
Đổi cận
3
3
0

 
 
2
3 3
0 0
cos
tan 3
tan tan ln cos ln 2
3
cos 2 2
0
d t
t
td t t
t
 

 
    
 
 
 

Nhận xét: Đối với tích phân dạng
 
 
2 2
, ,I R u u a du u u x





 




Khi đó
       
3 3
2 2 2 2 2
0 0
1 13
ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1
2 2
0
J
I x x x x dx x d x       
 


Tính
   
3
2 2
0
ln 1 1J x d x  


Đặt

 
 

 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 3
Khi đó
     
3
2 2 2
0
1 33
3ln 2 1 ln 1 1 ln 2
2 2
0
I x x d x
 
       
 
 
 


dv dx
Q x




 





Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
Nhận xét: Ta có
3 2
.
x x x
 và


'
2
1 2
x x
  từ đó ta định hướng giải như sau
Phân tích
3 3
3 2
2 2
0 0

1
0
t
x
t
x






 






Khi đó


 
4 4
1 1
1
4
1 1 1 1 3
1 ln ln 2
1

0 0
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 21 1 1
1
1 33 3
1 ln 1 2ln2
2 2 2
1
0 0
x
x
I d x d x d x
x x x
d x
x
d x x
x
 
 
       
 
  
 

       

  
 

để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có


3 2
1
x x x x
  
Khi đó


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln 2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x



Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích






3 2 2
3 2 3 3 2 7 1 1x x x x x x x        
Khi đó






2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       








3 2
3 2 3 1 1 2 3x x x x x x x       


















2 2
3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3x x x x x x x x x x x x x                   
 

3 3 9ln 2 ln 3 2
2 3 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 
 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích




3 2 2
3 2 3 3 2 7 6x x x x x x x       
Khi đó




2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 6

 
1
3
2 2 2
3 9 8 9 8
3 3
3 2 3 2 3 2
I
x x x
I dx x dx x dx dx
x x x x x x
 
 
      
 
     
 
   


Tính
1
I bằng phương pháp đồng nhất thức….
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:
 
3 3
2
2
2 1
1



Khi đó
 
3
3 2 2
2 2 2
1
3 3 1 3 1 1
3 3 3ln
2
u
u u u u
I du du u du u u C
u u u u u

  
 
          
 
 
  

với
1u x 

Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích



3 1 1
2 2 3ln 1
1 2 1
1
x
x dx x x C
x x
x
 
         
 
 

 
 


Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu
Phân tích
   
 
3 2 2
3
2 1 2 2 1 1 2 2
2
x x x x x x x        
Khi đó
   
 
2 2

 

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích




3 2 2
2 1 2 2 1 3 2x x x x x x x       
Khi đó




2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
      
 
   
 

 

I dx dx x dx
xx x
x x
x
x x C
x
 
      
 
 
 
 
     

  

Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
3
2
2
3
1
1
1
u x
du x dx
dx
dv

1 1
3 3
1 1 1 1
1
3 1 3 ln 1
1 1 1 2
x x x x
I dx dx
x x x x
x x x
x dx x x C
x x x
 
     
   
 
 
           
 
 
  
 
 
 


Bài 4: Tìm nguyên hàm:
 
2
39

   
    
    

           
37 38 39 36 37 38
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
36 37 38
1 1 1 1 1 1
I dx dx dx C
x x x x x x
      
     
  

Cách 2:
Đặt
1 1t x x t dx dt       

 
2
39 39 38 37 38 37 36
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
38 37 36
t dt
I dt dt dt C
t t t t t t t



 





Khi đó
   
2
38 38
1 1
19
38 1 1
x
I x dx
x x
 
 

…. đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Bài 5: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x


dx dx dx dx
I
x x x x
C
x x x x
    
   
     
   
   

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 7
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
1t x 
ta có:
1
x t
 
nên
dx dt

 

3
1
1 9 1
u x du x dx
dx
dv v
x x
 
 
 

 
  
 
 
 

Khi đó
   
1
2
3
9 9
1 1

3
9 1 1
I
x
I x dx



thì đặt
t x a 
là một phương pháp hiệu quả nhất
- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng


 




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì ta sử
dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của


x a
 là 1,2n 
Đặt:



x x
 


 

HD:
Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho
2
x

   
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
1 1
dx dx xdx
I
x x
x x x x
  

 
  

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32

Cách 4: Đưa vào vi phân
Phân tích tử


2 2
1 1 –
x x
 
Khi đó


2
3 3
2
2
00 0 0
3 3
2
1
13 3
ln ln 1
2
1
1 6
ln
2
0
2
1
0

x x
  
 
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
x x x x
x
x
x x x x x x x x x x
x x
   
        
   


Khi đó
2
2
3 2
2 2
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1
ln
3 1 5



4 2 2
4 4 2
3
3 2 3 2 2 3 2
3 2
1 1
1 1 1 1
( 1) ( 1) 1 1
1
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x x x
x x

  
  
       
   


tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
Phân tích
   
2 2
2


 



Đổi cận
1
2
2
1
1
x
t
x
t






 




www.MATHVN.com

 

 



 
đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số
   
2 2
3 2 4 2
1 1
1
1 1
x
I dx dx
x x x x
 
 
 

Đặt
2
1
2
dt
t x xdx   
Đổi cận
2 5

  
 
   
 
 

Hoặc các bạn có thể đặt
1u t 
hoặc phân tích


1 1t t   hoặc đồng nhất thức
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
     
 
 
 
   
 
 
2 2 2
2
3 2 4 2 4 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 2
4
4 2 2 2
1 1 1


1
dx dx
x
x x
 

 
ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
 
3 2 2
3 2
1
1
1
A B C Dx E
x
x x x
x x

   


đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm , , , ,I A B C D E tuy nhiên
việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả
nhất
Cách 6: Đặt




2 2 2
1 1 1 1x x x x x      
Khi đó
1 1
2
1 2
3 2
0 0
1
1 1
x x
I dx dx I I
x x x

   
  
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 10
Tính
1
I bằng cách đặt

1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
1 1 2 1 1
2 21 1
1 3
2 4
x x dx
I dx dx
x x x x
x
 
  
   
 
 
 
 
  

Cách 2: Đồng nhất thức
Xét
 
  
2
3 2
1
1 1 1
1

1 1 1
3
22
0 0 0
1
1
1 1
1 1 3 1 3
dx dx d x
I
x
x x x
x x x

  

 
  
    
 
  

Đặt
1
x t dx dt
   

Đổi cận
0 1
1 2

 
    
   
 
 
   
 
   





2 2 2
2
2 2
1 1 1
2
2
1 dt 1 3 3 3 dt
3
3 2 2
3 3
3
2
4
2
1 1 2 3 1
ln 3arctan ln 2
13 2 3

3 5 7 8
2
x x x
I dx
x
  



.
Giải :
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
2
2
x t
x t
dx dt
 

  




Khi đó
 
     
4 3
4 3

            … đồng nhất để tìm a, b, c, d, e
…
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt


4 3
4
3 5 7 8P x x x x   
Áp dụng khai triển taylor ta có
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4
2 3 4
4 4 4 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1! 2! 3! 4!
P P P P

 

 
         
 

     
    



Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:
1 5
22
4 2
1
1
1
x
I dx
x x



 


Giải:
Ta có
1 5 1 5 1 5


 

 
 
 
 
 
 
 
 
  

Đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x
 
    
 
 
.
Đổi cận
1
0
1 5
1
2
x


2
tan 1 tant u dt u du    .
Đổi cận
0
0
1
4
u
t
t
u







 






Khi đó
1
2
4 4

2
2
1 1
tan 1 1 tan
x u dx u du
x x
 
     
 
 
… bạn đọc tự giải
Bài 17: Tính tích phân: I
2
2
4
1
1
1
x
dx
x





Giải:
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho
2
0x  ta được

1u x du dx
x x
 
    
 
 

Khi đó I
5
2
2
2
1 2
ln
2
2 2 2
du u
u
u

 



5/2
2
1 (5 2 2)(2 2)
ln
2 2 6 2
 

- Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích
phân đơn giản hơn
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai


2
1P x x  còn mẫu là một đa thức
bậc 4:


4 3 2
Q x ax bx cx dx e     sao cho hệ số
1a e 

- Tích phân trên đưa về dạng
2
1 1
1I f x dx
x x
  
 
  
  


đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x

1
2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 
. Đặt
2
1 1
1u x du dx
x x
 
    
 
 

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32

1I x x dx 


Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
4 3 3
1 4
4
dt
t x dt x dx x dx     
Đổi cận
1 2
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
1 2
4
3 4 4 5
0 1
2

 
1 1
5
4
2 3 4 2 3 4
0 0
1
1 1 1 31
1 1 4 6 4 2 2
04 4 4 5 20
t
I t dt t t t t dt t t t t
 
            
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân
     


5
4
1 1
4 4
3 4 4 4
0 0
1
1

31
1 4 6 4
020 4 2 2 4 20
x x x x x
I x x dx x x x x x dx
 
            
 
 
 

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo
tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau:
 
1
6
5 3
0
1
1
168
I x x dx  


Giải:
Ta có
   
1 1
6 6


 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

   
 
0 1 1
7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 1
1 1
3 3 3 3 7 8 168
t t
I t t dt t t dt t t dt
 
         
 

 
          
   
 

Cách 3: Khai triển


6
3
1
x
 thành tổng các đa thức


6
5 3
1
x x
  cách này không khó nhưng khai triển phức
tạp… chỉ tham khảo thôi
Chú ý: Nếu ta đặt
3
t x cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo
Bài 20: Tính tích phân sau
 
2
2
0
1I x x dx 


Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Ta có
         
2 2 3 2
1 1 1 1 1 1x x x x x x         
 

Khi đó
           
 
 
4 3
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1
34
1 1 1 1 1 1
4 3 3
x x
I x dx x dx x d x x d x
 
            
   

Cách 3: Đổi biến số
Đặt
1
1

34
1
14 3 3
t t
I t t dt t t dt
 
      
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 15
Đặt
 


2
2
2 1
1
2
du x dx

 
          
 
 
 

Bài 21: Tính tích phân sau:
 
0
9
2
1
1I x x dx

 


Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
1t x dt dx   

Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
  
 


   
2
2
1 2 1 1x x x    
Khi đó
             
     
0 0 0
9 2 9 11 10 9
2
1 1 1
12 11 10
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1
0
1
2
1
12 11 10 660
I x x dx x x x dx x x x dx
x x x
  
   
             
   
 
  
    

 



1x  là lớn
Bài 22: Tính tích phân:
1
2 10
0
(1 3 )(1 2 3 )I x x x dx   


Giải:
Cách 1: Đổi biến số
Đặt
2
1 2 3 (2 6 ) 2(1 3 ) (1 3 )
2
dt
t x x dt x dx dt x dx x dx           
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 16
Đổi cận:
0 1
1 6
x t

0
0
11
2
1
11
10
2 2
0
1
1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
1 2 3
1
1 6
1 2 3 1 2 3 1
0
2 22 22
I x x x dx x x x x dx
x x
x x d x x
        
 
       
 
Bài tập tự giải có hướng dẫn:


   


HD:
Chia cả tử và mẫu cho
2
x
ta được
2
2
1
1
1
1 1
3 1
x
I dx
x x
x x


  
   
  
  


Cách 1: Biến đổi số đặt
2
1 1

x x x x
 


 
 
   
 
       
   
 
     
   
 
       
     
     

 

Cách 3: Đồng nhất thức
Bài 3: Tính tích phân sau:
1
5
2
0
.
1
x
I dx

x
   
         
 
 
 

 


Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt
tan
x t


Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau:
 
1
3
0
1 2
x
I dx
x




HD:
Phân tích

3 21 13
ln 2 ln3
4 4
3 2
x
I dx
x x x

   
 


HD:
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt
2
t x
Cách 2: Phân tích mẫu






4 2 2 2
3 2 1 2x x x x x x     và sử dụng đồng nhất thức
Bài 5: Tính tích phân:
  
1
2 2
0

2 2 2 2
3 2 7 12 1 2 3 4 5 4 5 6x x x x x x x x x x x x             
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn
Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt
2
5t x x 
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
 
   
2 2
1
2 5 2 5 5 6 5 4
2
x x x x x x
 
       
 

Bài 6: Tính tích phân:
1
2
4 3 2
1
2
2 3
442 5 4 4
x
I dx
x x x x






HD:
Cách 1: Đặt
tan
x t


Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 18
Đặt
 
3
2
1
u x
xdx
dv
x




Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân:
7
3
3
0
1
3 1
x
I dx
x





Giải:
Cách 1: Biến đối số
Đặt
3
3
2
1
3 1
3
u
x
u x





Khi đó
   
3
2 2
5
2 3 4 2
1 1
1
1
2
1 1 1 46
3
2 2
13 3 3 5 15
u
u
I u du u udu u u du u
u


 
       
 
 
  


x
u
x






 






www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 19
Khi đó
5
2 1 2
8 8 8
3
3 3 3

Phân tích
 
1 2
1 3 1
3 3
x x   
Khi đó
 
       
   
7 7 7 7 7
3 3 3 3 3
2 1
3 3
3 3 3
0 0 0 0 0
5 2
3 3
1 2
3 1
1 3 1 2 1 2
3 3
3 1 3 1 3 1 3 1
3 3 9 9
3 1 3 1 3 1
7 7
1 1 46
3 1 3 1
3 3
15 3 15

 
 

 

 

 
 
 


Khi đó
  
 
      
7 7
2
3 3
2 2 1
3
3 3 3
3
0 0
7
3 1
1 1 1 1
1 3 1 1 3 1 3 1 3 1
3
2 2 2 6


C2: Phân tích


3 2
1
x x x x
  
C3: Đặt
2
2
1
u x
x
dv dx
x









C4: Đặt
x t
 

C5: Phân tích
20
Đặt
2
1 sin
cos
cos
tdt
x dx
t
t
   với
0;
2
t

 

 
 
hoặc
t
x
sin
1

Đổi cận
2
3

sin
sin
3
cos
sin 12
1 cos
4
cos
t
t
t
I dt dt dt t
t
t
t
  
  



    

  
(vì ; sin 0
4 3
t t
 
 
  
 

Đổi cận
2
3
2 1
x
t
x t

 

 

 
 
 
 

Khi đó
 
3 3
2
2
1 1
1
1
tdt dt
I
t
t t
 


 








Khi đó
2
4 4
2
3 3
tan 1
4
12
tan 1
3
u
I du du u
u
 
 




   

     
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498 21
Đổi cận
1
2
2
1
2
2
t
x
x
t





 

 



4
4 6 12
1 sin
6
u
I dx du u
u
 
 

  

     

 

Cách 5: Phân tích


2 2
1 1
x x
 
   
 

Khi đó
1 2
2 2 2
2

Đặt
2 2
2
4
4
x t
t x
xdx tdt

 
  




Đổi cận
2 3 4
3
5
x t
t
x

 



 



1 1

x dx dt
t
t
   
Khi đó
1/2 3 1/2 3
2
2 2
1/ 5 1/ 5
1/ 2 3
1 (2 ) 1 1 5
ln 2 4 1 ln
2 2 4 3
1/ 5
4 1 (2 ) 1
dt d t
I t t
t t
       
 
 
.
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt


2
2tan 2 1 tan






 

 







.
Khi đó:
3
1 1 5
ln tan ln
3
2 sin 2 4 3
dt t
I
t




  

1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  

 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
     
1
0 1 1
2 2 2 2 2 4 3 5
1 0 0


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
1
1 1 1 3 3 30 1 1
2 2 2 2 2 2
1 0 0
0
1 1 1 1 2 2 2
1 1
2 2 2 2 3 3 15
I t t dt t t dt t t dt t t
   
         
   
   
  


DĐ: 01694 013 498 23
 
1
3 5
2 2 2 4
0
(1 )
3 5
u u
I u u du u u du
 
     
 
 
 

Cách 4.2.
 
 
 
 
3 5
2 2
2 2 2 4
0 0
sin sin 2
sin 1 sin sin sin sin sin

     
1 1
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
3
2 2 2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
        
     
 
 
….bạn đọc tự giải
Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
2
2
2
2
3

1
1 2 1
. 1 1 1 1
03 3 3
I x x x x dx x d x       
 
bạn đọc giải tiếp
Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân:
2
1
1 1
x
I dx
x

 


Giải:
Cách 1:
Đặt
2 2
1 1 1 2t x t x x t dx tdt         
Đổi cận
2 1
1 0
x t
x t
 
 

 
 
 
          
 
 
 
 
  

Cách 2:


 
2
2 1
1 1
1 1
dx t dt
t x
x t
 

   

  



www.MATHVN.com

t t t
I dt dt t t dt
t t t
 
  
  
 
 
     
 
 
  

3 2
2
5
2 3 4 ln | | 2ln 2
13 2 3
t t
t t
 
     
 
 

Tổng quát:
( )
b
a
p x




. Ta biến đổi


f x về dạng
   


'
'
8 3 1
4 4 4
2 4 2 4
x
f x x x x x x
x x
 
       
 

Xét hàm số


4F x x x  vì
   


 

2
x t
t x
dx tdt

 
  

 


Đổi cận
1
3
2
2
t
x
x
t






 




3
2 4
4
u x
du dx
dx
dv
v x
x
 

 

 

 

  






www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
thanhtong32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498


3sin
1 3 cos
3cos 2 3 cos 1
dx tdt
x t
x t t

 

  

  



Khi đó I =
  

  





3 3 2 3 1
3 3 3
1
2 3
3 3
2

( )
[ ( ) ] ( )
1 2
I I 
Tính
2
I 
( )
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2 4
3 1 3 1
2
3 3
2
3 3
2 2 2 2 2 2
x dx
x x
tdt
t t
dt
t t

   

 

 

1 2

2 1t x   Hoặc 2t x 
Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân:
 
2
3
3
0
1 1
28 3 4
10
3 2
x
I
x

  



Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân:
7
3
0
2 231
10
1
x
I
x


  
 


Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân:
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x



  

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com