(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:
3
3
2
0
1
x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt


2
tan 1 tan
x t dx t dt
   
Đổi cận
3
3

   

 
 
23 3
0 0
cos
tan 3
tan tan ln cos ln2
3
cos 2 2
0
d t
t
td t t
t
 

 
    
 
 
 

Nhận xét: Đối với tích phân dạng
 
 
2 2
, ,
I R u u a du u u x

 


 


 



Khi đó
       
3 3
2 2 2 2 2
0 0
1 13
ln 1 ln 1 3ln2 ln 1 1
2 2
0
J
I x x x x dx x d x
       
 


Tính
   
3
2 2
0





 

 
 

 


Khi đó
     
3
2 2 2
0
1 33
3ln2 1 ln 1 1 ln 2
2 2
0
I x x d x
 
       
 
 
 


Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì

n
u f x
du
Q x
v
dv dx
Q x





 





Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
Nhận xét: Ta có
3 2
.
x x x
 và


'
2
1 2
x x




Đổi cận
4
3
1
0
t
x
t
x






 






Khi đó


 
4 4

0 0 0
2
3 3
2
2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
1
1 33 3
1 ln 1 2ln 2
2 2 2
1
0 0
x
x
I d x d x d x
x x x
d x
x
d x x
x
 
 
       
 

         
 
  
 
  

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa
thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có


3 2
1
x x x x
  

Khi đó


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln2


Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích






3 2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
x x x x x x x
        

Khi đó






2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
3
3 2 3 2
x x x x x x
x

2 2
3 7ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1
2 2
x x
x x x x C x x x C
               

Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích








3 2
3 2 3 1 1 2 3
x x x x x x x
       










3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
        
 
 
   
 

2
2
2
9 2 3
3 3 9ln 2 ln 3 2
2 3 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 
 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức

 
2
1
2
7 6
3 3
3 2 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính
1
I
bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
 
1
3
2 2 2
3 9 8 9 8
3 3
3 2 3 2 3 2
I
x x x
I dx x dx x dx dx

Giải:
Cách 1: Phương pháp đổi biến số
Đặt
1
1
du dx
u x
x u


  

 


Khi đó
 
3
3 2 2
2 2 2
1
3 3 1 3 1 1
3 3 3ln
2
u
u u u u
I du du u du u u C
u u u u u

  


2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 1 1
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

 
2
2
3 1 1
2 2 3ln 1
1 2 1
1
x
x dx x x C
x x
x
 
         
 
 

2 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

2
2
2
1 3 2 2 3
2 2 ln 1 ln 2 1
1 2 2 1 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 
 

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức

2
1
2
3 2
2 2
2 1 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính I
1
bằng phương pháp đồng nhất thức
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản
   
3 3
2 2 2
2
3 1
2
1
2 1
1 1
1
2 3ln 1
2 1

u x
du x dx
dx
dv
v
x
x







 

 
 





Khi đó
3 2 3 2
3 3 2
1 1
3 3
1 1 1 1
1





Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Phân tích
     
2
2
2
1 1 1 2 1 1
x x x x
       
 
 

 
 
       
2
2
39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x
   

t t t t t t t

          
   

Nhận xét:
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

5
Đặt
 
 
2
38
39
2
1
38 1
1
du xdx
u x
dx
v
dv
x

…. đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Bài 5: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x




Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Sử dụng đồng nhất thức:
       
3
3 2
3
1 1 1 3 1 3 1 1
x x x x x
         
 
 

3
10 7 8 9 10
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x

x t
 
nên
dx dt


 
3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt
t t
   

  
     
     

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
     

1 1

3
9 1 1
I
x
I x dx
x x
  
 



đến đây rùi ta có thể tính
1
I
bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích






2 2
1 1 1 1 1
x x x x
      

Nhận xét :
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì ta
sử dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của


x a

là
1,2
n


Đặt:


 
 
'
n
u f x

 

HD:
Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho
2
x

   
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
1 1
dx dx xdx
I
x x
x x x x
  

 
  

Đặt
2
2
1
1
2
x t

3 3
2
2
00 0 0
3 3
2
1
13 3
ln ln 1
2
1
1 6
ln
2
0
2
1
0
dx x dx
I dx
d x
x x
x
x x
x
    


  


x x x x x x x x x x
x x
   
        
   


Khi đó
2
2
3 2
2 2
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1
ln
3 1 5
ln 2 ln
8
ln 1
2
1
2
2
2
1
x
I dx dx dx x x
x

( 1) ( 1) 1 1
1
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x x x
x x

  
  
       
   


tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
Phân tích
   
2 2
2
1
3 2 2
1
1 1 1
.
1 1
I dx dx
x
x x x x




Đổi cận
1
2
2
1
1
x
t
x
t






 




Khi đó
1
1

2 2
3 2 4 2
1 1
1
1 1
x
I dx dx
x x x x
 
 
 

Đặt
2
1
2
dt
t x xdx
   

Đổi cận
2 5
1 2
x t
x t
 
 

 
 

 
hoặc phân tích


1 1
t t
  
hoặc đồng nhất thức
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
     
 
 
 
   
 
 
2 2 2
2
3 2 4 2 4 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 2
4
4 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1
2
1 1 1

x x
 

 
ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
 
3 2 2
3 2
1
1
1
A B C Dx E
xx x x
x x

   


đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm
, , , ,
I A B C D E

tuy
nhiên việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3
là hiệu quả nhất
Cách 6: Đặt


2

2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

8






2 2 2
1 1 1 1
x x x x x
      

Khi đó
1 1
2
1 2
3 2
0 0
1
1 1
x x
I dx dx I I
x x x

   
  

Tính
2
I
phân tích
 
1 1
1 2 1
2 2
x x
   
(kĩ thuật nhảy tầng lầu)
Ta có
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
1 1 2 1 1
2 21 1
1 3
2 4
x x dx
I dx dx
x x x x
x
 
  
   
 
 
 

ln2
3
3 3
I

 
Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
 
 


     
1 1 1
3
2
2
0 0 0
1
1
1 1
1 1 3 1 3
dx dx d x
I
x
x x x
x x x

  

 

2 2
1 1 1 1
dt 1 3 3 3 1 dt 3
dt
3 3
3 3
3 3 3 3
t t t t t
dt
t
t t
t t t t t t
 
    
   
 
 
   
 
   





2 2 2
2
2 2
1 1 1
2


   
 
 
 
  

Bài 15: Tính tích phân bất định:
 
4 3
50
3 5 7 8
2
x x x
I dx
x
  



.
Giải :
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
2
2
x t
x t
dx dt
 


Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

9
Phân tích
       
4 3 2
4 3
3 5 7 8 2 2 2 2
x x x a x b x c x d x e
           
… đồng nhất để tìm a, b, c,
d, e …
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt


4 3
4
3 5 7 8
P x x x x
   

Áp dụng khai triển taylor ta có
 

       
 
         
         
2 3 4
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 2 48 2 29 2 3 2
2
66 2 149 2 48 2 29 2 3 2
66 149 48 29 3
49 2 48 2 47 2 46 2 45 2
x x x x
I dx
x
x x x x x dx
C
x x x x x
    
       
 

 
         
 

     
    


1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
  
 


 

 
 
 
 
 



 







Khi đó
1
2
0
1
dt
I
t



. Đặt


2
tan 1 tan
t u dt u du
    .
Đổi cận
0

1 1 tan
0
dt u
I du du u
t u
 



    
 
  

Cách khác:
Ta có thể gộp hai lần đặt là
 
2
2
1 1
tan 1 1 tan
x u dx u du
x
x
 
     
 
 
… bạn đọc tự giải
Bài 17: Tính tích phân:
I

2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1
2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 

Đặt
2
1 1
1
u x du dx

 



Cách 2: Phân tích






2
4 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1
x x x x x x x
        
và sử dụng đồng nhất thức
2
4
2 2
1
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x x x x
  
 

   

x
  
 
  
  

 đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
   
 
 

Tương tự ta có thể giải bài toán này
1. Tính tích phân sau
I
2
2
4
1
1
1
x
dx
x


2
1 1
1
u x du dx
x
x
 
    
 
 

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:
  
2 2
2
2 2
1 1 5 1
ln
8
3 1
5 1 3 1
x x x
I dx C
x x
x x x x
  
   
 
   


 
 
 

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

11
Khi đó
 
1 2
4
3 4 4 5
0 1
2
1 1 31
1 .
1
4 20 20
I x x dx t dt t
 
    
 
 
 

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số

4 4 4 5 20
t
I t dt t t t t dt t t t t
 
            
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân
     


5
4
1 1
4 4
3 4 4 4
0 0
1
1
1 1 31
1 1 1 .
0
4 4 5 20
x
I x x dx x d x

      
 

 
 
 

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người,
theo tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau:
 
1
6
5 3
0
1
1
168
I x x dx  


Giải:
Ta có
   
1 1
6 6
5 3 3 3 2
0 0
1 1
I x x dx x x x dx
   
 


 
 

   
 
0 1 1
7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 1
1 1
3 3 3 3 7 8 168
t t
I t t dt t t dt t t dt
 
         
 
 
  

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân
         
       
   
1 1 1 1
6 6 6 7
5 3 2 3 3 2 3 2 3
0 0 0 0
7 8
3 3



6
5 3
1
x x
  cách này không khó nhưng khai triển
phức tạp… chỉ tham khảo thôi
Chú ý: Nếu ta đặt
3
t x

cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

12
Bài 20: Tính tích phân sau
 
2
2
0
1
I x x dx
 





Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Ta có










2 2 3 2
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
        
 
 

Khi đó
           




4 3
2 2 2 2
3 2 3 2

 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
3 3
4 3
2 3 2
1 1
3
34
1
1
4 3 3
t t
I t t dt t t dt
 
      
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 

0 0
2 2
34
1 1 6 6
0 0
2 4 3 3
x x x
I x x x dx x x dx

 
          
 
 
 

Bài 21: Tính tích phân sau:
 
0
9
2
1
1
I x x dx

 


Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt

I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

         
 
      
 
 
   

Cách 2: Phương pháp phân tích
Phân tích
   
2
2
1 2 1 1
x x x
    

Khi đó
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

13
             
     
0 0 0


1
x

như sau
 


     


       
9 9 9 11 10 9
2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
x x x x x x x x x x
 
                
 
 
 

Nhận xét:
- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển
 
9
1
x

hay phương pháp tích phân

 
 

 
 
 
.
10 11 11 11 11
6 6
10
1 1
6
6 1 6
1
1
2 2 22 22 22 22
dt t t
I t dt
      
 

Cách 2: Đưa vào vi phân
 
     
   
 
1
1
10 10 '
2 2 2

Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau:
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x

 


Đs:
9ln3 8
I
 

Bài 2: Tính tích phân sau:
  
2
2
2 2
1
1
3 1 1
x
I dx
x x x x

2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
    
 
 

Cách 2: Biến đổi vi phân
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

14
2 2
2
1 1
1
1
1
2
1 1 1
ln 1 ln 3
1 1 1 1
1
2

Cách 3: Đồng nhất thức
Bài 3: Tính tích phân sau:
1
5
2
0
.
1
x
I dx
x




HD:
Đồng nhất thức:
5 3 2 2
( 1) ( 1)
x x x x x x
    

1
1
3 4 2 2
2
0
0
1 1 1 1 1
ln( 1)] ln 2 .


HD:
Phân tích
 
     
3 2 3
1 1 1 1
1 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
x
x x
x x x
 
     
 
  
 
 
ta được
1
18
I 
Hoặc đặt
1 2
t x
 
Hoặc tích phân từng phần
Bài 10: Tính tích phân:
 

4 2 2 2
3 2 1 2
x x x x x x
    
và sử dụng đồng nhất thức
Bài 5: Tính tích phân:
  
1
2 2
0
2 5 1 5
ln
2 4
3 2 7 12
x
I dx
x x x x

 
   


HD:
Phân tích







 
       
 

Bài 6: Tính tích phân:
1
2
4 3 2
1
2
2 3
44
2 5 4 4
x
I dx
x x x x

  
   


HD:
Phân tích


2
4 3 2 2
2 5 4 4 2
x x x x x x      
Cách 1: Đồng nhất thức



HD:
Cách 1: Đặt
tan
x t


Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
3
2
1
u x
xdx
dv
x









Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián
Phân tích


3
3
0
1
3 1
x
I dx
x





Giải:
Cách 1: Biến đối số
Đặt
3
3
2
1
3 1
3
u
x
u x
dx u du





   
3
2 2
5
2 3 4 2
1 1
1
1
2
1 1 1 46
3
2 2
1
3 3 3 5 15
u
u
I u du u udu u u du u
u


 
       
 
 
  

Cách 2: Biến đối số
Đặt
1
3






 






02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

16
Khi đó
5
2 1 28 8 8
3
3 3 3
1 1
1 1 1
3 3
1
1
8

x x
   

Khi đó
 
       
   
7 7 7 7 7
3 3 3 3 3
2 1
3 3
3 3 3
0 0 0 0 0
5 2
3 3
1 2
3 1
1 3 1 2 1 2
3 3
3 1 3 1 3 1 3 1
3 3 9 9
3 1 3 1 3 1
7 7
1 1 46
3 1 3 1
3 3
15 3 15
0 0
x
x dx


 

 

 
 
 


Khi đó
  
 
      
7 7
2
3 3
2 2 1
3
3 3 3
3
0 0
7
3 1
1 1 1 1
1 3 1 1 3 1 3 1 3 1
3
2 2 2 6
3 1
0



3 2
1
x x x x
  

C3: Đặt
2
2
1
u x
x
dv dx
x









C4: Đặt
x t
 

C5: Phân tích


tdt
x dx
t
t
   với
0;
2
t

 

 
 
hoặc
t
x
sin
1

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

17
Đổi cận
2
3
2

sin
3
cos
sin 12
1 cos
4
cos
t
t
t
I dt dt dt t
t
t
t
  
  



    

  
(vì
; sin 0
4 3
t t
 
 
  
 

Đổi cận
2
3
2 1
x
t
x t

 

 

 
 
 
 

Khi đó
 
3 3
2
2
1 1
1
1
tdt dt
I
t
t t
 


 








Khi đó
24 4
2
3 3
tan 1
4
12
tan 1
3
u
I du du u
u
 
 




   



Đổi cận
1
2
2
1
2
2
t
x
x
t





 

 








Khi đó
1

4
4 6 12
1 sin
6
u
I dx du u
u
 
 

  

     

 

Cách 5: Phân tích


2 2
1 1
x x
 
   
 

Khi đó
1 2
2 2 2
2

Đặt
2 2
2
4
4
x t
t x
xdx tdt

 
  




Đổi cận
2 3 4
3
5
x t
t
x

 



 

 

1 1

x dx dt
t
t
   
Khi đó
1/2 3 1/2 3
2
2 2
1/ 5 1/ 5
1/ 2 3
1 (2 ) 1 1 5
ln 2 4 1 ln
2 2 4 3
1/ 5
4 1 (2 ) 1
dt d t
I t t
t t
       
 
 
.
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt


2
2tan 2 1 tan

 

 







.
Khi đó:
3
1 1 5
ln tan ln
3
2 sin 2 4 3
dt t
I
t




  

(trong đó
1 cos 1
tan
2 1 cos 5


19
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  

 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 



  

 



Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
1
1 1 1 3 3 30 1 1
2 2 2 2 2 2
1 0 0
0
1 1 1 1 2 2 2
1 1
2 2 2 2 3 3 15
I t t dt t t dt t t dt t t

Cách 4.1.
Đặt
sin cos
t u tdt du
  

Khi đó
 
1
3 5
2 2 2 4
0
(1 )
3 5
u u
I u u du u u du
 
     
 
 
 

Cách 4.2.
 
 
 
 
3 5
2 2
2 2 2 4

Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

     
     
1 1
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
3
2 2 2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
        
     
 
 
….bạn đọc tự giải
Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần
02
14
2014





Khi đó
       
1 1
2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
0 0
1
1 2 1
. 1 1 1 1
03 3 3
I x x x x dx x d x       
 
bạn đọc giải tiếp
Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân:
2
1
1 1
x
I dx
x

 


Giải:
Cách 1:

2 2 2ln 1 2 2 2ln 2 4ln2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
 
 
     
 
  
 
 
 
          
  
 
 
  

Cách 2:


 
2
2 1
1 1
1 1
dx t dt

3 4 1 1
2 . 2 . 2 3 4 .
t t
t t t
I dt dt t t dt
t t t
 
  
  
 
 
     
 
 
  

3 2
2
5
2 3 4 ln | | 2ln2
1
3 2 3
t t
t t
 
     
 
 

Tổng quát:




Giải:
Cách 1: Dựa vào đạo hàm
Đặt
 
8 3
2 4
x
f x
x



. Ta biến đổi


f x
về dạng
   


'
'
8 3 1
4 4 4
2 4 2 4
x
f x x x x x x

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

21
Khi đó
 
3
2
3 3
8 3
4 3
2 2
2 4
x
I dx F x x x
x

    



Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt
2
4
4
2



Khi đó


   
2
1 2
2 3
1
2
8 3 4
2
3 4 4 3
1
t
I tdt t dt t t
t
 
      
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt 4
t x
 
…bạn đọc tự giải
Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
8 3

2
I x x xdx      


Bài 7: Tính tích phân sau:
I

x dx
x x x x
x dx
x x
2
2 2
2
2 2
4 2 2 2 3 1 3 1( ) [ ( ) ] ( )   

   

.
Giải:
Cách 1:
Đặt
2 2
3sin
1 3 cos
3cos 2 3cos 1
dx tdt
x t
x t t

(
cos
cos cos
)
t t t dt
t t
t
t t
dt
.
Cách 2:
I =
dx
x x
x dx
x x2 2
2 4
3 1 3 1
2 2 2
 


   

( )
[ ( ) ] ( )
1 2
I I
 


Tính
1
J
bằng cách đặt
2
3
t u
 
, tính
2
J
bằng cách đặt


2
3 3
t u t
  Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân:
7
2
1
2 4ln2 2ln3
2 1
I dx
x


02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

22
Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân:
7
3
0
2 231
10
1
x
I
x

 



Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân:
3
3
1
2
12
5

x x



  

III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau:
3 2
1
ln . 2 ln
e
x x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt ln
x u



Khi đó
 
3 3
3 3
3 3
3
3
4
2 3
3
2 2
3
3
3 3 2
3
3 3 3
. .
2 2 2 4
2
8
2
t
I t t dt t dt   
 

Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
ln

.
1
1 3
3 3 2 2
2 2 4 8
t dtI t  


Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

       
 
 
1 1
'
2 2 2 2
3 3
1 1
4
2
3
3
3
1 1
2 ln 2 ln 2 ln 2 ln
2 2
1 3 3
. 2 ln 3 3 2 2
12 4 8
e e

ln
3
1 3ln
2
3
t
x
t x
dx
tdt
x





  






Đổi cận
2
1 1
x e t
x t
 
 

3
t
x
t x
dx dt
x





  






Đổi cận
4
1 1
x e t
x t
 
 

 
 
 
tương tự cách 1

     
 
    
 
 
  
 

Cách 4:
ln
dx
t x dt
x
  

Khi đó
1
0
1 3 .
I t tdt
 

đến đây rùi ta có thể làm bằng nhiều cách như biến đổi số đặt
1 3
u t
 
hoặc
1 3
u t
 

1
2
t
x
x e
t






 






Khi đó


2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln 2
.2 2 2 .
3 3

e
x
I dx xd x x
x


      
 

Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt
1 ln
t x
 
hoặc
ln
t x


Bài 4: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau:
 
2
1
ln
2 ln
e
x
I dx
x x


2 2 1
1 2 2 3 1
2 ln 2 ln
0
2 2 2 2 3
2 2 2
d u d u
udu
I du u
u u u
u u u
 
 
 
 
         
 
 
  
 
  
 
   

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
ln 2
2 ln
x t
t x


   
     
   
   

 

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
 


 


 
 


 


 
 
2 2 2 2
1 1 1 1 1
ln 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 ln
ln
2 ln 2
2 ln

ln
1
1
2 ln
2 ln
u x
du
x
dv dx
x
x x
x





 

 

 
 






Khi đó



Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
1 ln
dx
t x dt
x
   

Đổi cận
1 1
2
x t
x e t
 
 

 
 
 